一元二次方程
1、认清一元二次方程的概念；
2、会用不同方法解一元二次方程，重点是因式分解的方法；
3、根的判别式及韦达定理在解题过程中的运用；
考点1、概念
含有 未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程。
例1：下列方程，哪些是一元二次方程？
（1222?3x?6x?0x?x?52x(x?3)?2x?1 ；（2）；（3； （4）2x?5
例2:将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。（1）5x2?7x；（2）?x?2??x?3??8； 2
一般式： 一般式：
二次项系数：一次项系数：二次项系数： 一次项系数：常数项： 常数项：
（3）?3x?4??x?3???x?2?2
一般式：
二次项系数：一次项系数：
常数项：
变式训练：（1）方程?m?2?xm?3mx?1?0是关于x的一元二次方程，则m的值为 。
(2）若方程?m?1?x2?m?x?1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 。
考点2、一元二次方程的解法
①直接开平方法:(x?a)2?b
②配方法：a2?2ab?b2?(a?b)2
③公式法:一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的求根公式________________。
④因式分解法:十字相乘法（重点）
例1：用直接开平方法解下列一元二次方程
22??x?5；（2）??x?5?16?0（1）??3x?1? 2
例2：用配方法解下列方程：
22（1）x?6x?5?0； （2）?x?4x?3?0
例3：用公式法解下列方程
（1）2x2?3x?1?0； （2）x2?x?25?0
例4:用因式分解解下列方程
（1）3x?11x?10?0 （2）x?3x?28?0
变式训练：选择适当方法解下列方程： 22
⑴3?1?x?2?6. ⑵?x?3??x?6???8. ⑶x2?4x?1?0⑷3x2?4x?1?0⑸3?x?1??3x?1???x?1??2x?5?
考点3、一元二次方程根的判别式 ?0；________________________。
??b2?4ac??0；________________________。
??0；_______________________。
例1：不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：
9x2?30x?25；（1）2x2?3x?5?0； （2） （3）x2?6x?10?0
变式训练：
(1)若关于x的方程x2?2kx?1?0有两个不相等的实数根，则k的取
值范围是 。
(2)关于x的方程?m?1?x2?2mx?m?0有实数根，则m的取值范围是
( )
A.m?0且m?1B.m?0 C.m?1 D.m?1
考点4、韦达定理
在一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)中，其中x1,x2是方程的两个根：
x1?x2??2bc x1.x2? aa
2例1：已知一元二次方程x?x?1?0，其中?，?是方程的两个根，求解下列
各式：
（1）
1??1? （2）??? （3）221?2?1?2
一元二次方程的概念
①直接开方法
②配方法 一元二次方程的解法 ③公式法
④因式分解法
一元二次方程 ??0?方程有两不相等实数根 一元二次方程根的判别式 ??0?方程有两个相等的实数根 ?0?方程没有实数根
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
二次函数
1、了解二次函数的的概念；
2、明确二次函数的图像及性质，熟练的对性质加以运用；
3、能结合二次函数求相关的最值问题；
考点1：二次函数的概念
一般地，如果y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)，那么y叫做x 的二次函数。 y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)叫做二次函数的一般式。
例：如果函数y=(k-3)xk2-3k+2+kx+1是二次函数,则k的值是变式训练：函数y=(a-5)xa2+4a+5+2x-1, 当a=时, 它是二次函数 考点2：二次函数的解析式
一般式：y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)
二次函数的三种形式
顶点式：y?a?x?h??k;(a?0) 2
交点式：y?a?x?x1??x?x2?；(a?0)
例：已知抛物线的顶点坐标是（－2，1），且过点（1，－2），求抛物线的解析式.
变式训练：已知抛物线在X轴上截得的线段长为6，且顶点坐标为（2，3）,求抛物线解析式.
考点3：二次函数的最值 b?4ac?b2?在二次函数y?a?x?中， ??2a?4a?
（1）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x??2b时， 2a
b是否在自变量2a（2）如果自变量的取值范围是x1?x?x2，那么，首先要看?
4ac?b2b取值范围x1?x?x2内，若在此范围内，则当x=?时，y最值?；若不4a2a
在此范围内，则需要考虑函数在x1?x?x2范围内的增减性，如果在此范围内，y
2随x的增大而增大，则当x?x2时，y最大?ax2?bx2?c，当x?x1时，
y最小?ax12?bx1?c；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x?x1时，
2?bx2?c。 y最大?ax12?bx1?c，当x?x2时，y最小?ax2
例：已知二次函数图象与x轴交点（2,0）(-1,0)与y轴交点是（0，-1）求解析式及顶点坐标。
变式：若抛物线y=x2+2x+a的顶点在x轴的下方，则a的取值范围是（ ）
A．a>1
B．a<1 C．a?1 D．a?1
考点4：二次函数的性质
（1）二次函数的性质
例1：二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象如图所示，对称轴是直线x=1则下列四个结论错误的是（） ．．
2A.c>0 B．2a+b=0 C．b-4ac>0 D．a-b+c>0
变式训练：已知二次函数y?ax2?bx?c(a?
0)①a+b+c<0；②a-b+c>1；③abc>0；④4a-2b+c<0；
⑤c-a>1其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 例2：已知二次函数y=ax2-2x-2的图象与X轴有两个交点，则a的取值范围是
变式训练：抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为
二次函数的定义（最高次数为2且a?0） 二次函数的概念y?ax?bx?c 二次函数的三种形式y?a?x?h??k 22y?a?x?x1??x?x2?
二次函数二次函数y?ax?bx?c图像的画法
①对称轴；最大最小值 ②二次函数的单调性 ③二次函数图像的平移及变换 二次函数y?ax?bx?c的性质④二次函数与一元二次方程的 关系
⑤二次函数与一元二次不等式
22
一元二次不等式
1、一元二次不等式的解法及利用不等式解相关联的题型；
2、理解分式不等式与一元二次不等式的关系；
3、高次不等式求解，正确德运用穿线法；
考点一、解一元二次不等式
口诀：二次项为“+”，小于取“中间”，大于取“两边” 例1：解下列一元二次不等式：
1、x2?5x?6?0 2、x2?5x?6?0 3、x2?7x?12?0
4、x2?7x?6?0 5、x2?x?12?0 6、x2?x?12?0
7、?x2?2x?3?0 8、?6x2?x?2?0 9、x2?3x?5?0
考点二、高次及分式不等式
1、分式不等式要转化为整式不等式求解；
2、补充知识：数轴穿根法
方法:先因式分解,再使用穿根法.
注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正. 使用方法:
①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.
②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).
③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立.
例1：解不等式
x2-4x+1 （1）(x+4)(x+5)(2-x)<0 （2）1 2 3x-7x+2 23
变式训练
1、不等式x?1?0 的解集是为 x?2
2、不等式x2-5x+6≤0的解集为
3、不等式
4、不等式
的解集是 x?2?0的解集是 x2?3x?2
一元二次不等式
不等式 分式不等式
一元二次不等式的解法 一元二次不等式的应用 ax?b?0??ax?b??cx?d??0 cx?d??ax?b??cx?d??0ax?b?0?? cx?d?0cx?d?
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