一元二次方程的根与系数的关系
1．探索一元二次方程的根与系数的关系． 2．会不解方程利用一元二次方程的根与系数解决问题．
一、情境导入
2
一般地，对于关于x的方程x＋px＋q＝0(p，确定一元二次方程一次项系数和常数项．
(2014·云南曲靖)已知x＝4是一元二
2
次方程x－3x＋c＝0的一个根，则另一个根为________．
解析：设另一根为x1，则由根与系数的关系得x1＋4＝3，∴x1＝－1.故答案为x＝－1. 方法总结：解决这类问题时，利用一元二次q为已知常数，p2－4q≥0)，试用求根公式求出它的两个解x1、x2，算一算x1＋x2、x1·x2的值，你能得出什么结果？ 二、合作探究
探究点：一元二次方程根与系数的关系
已知m、n是方程2x－x－2＝0的两实1m1
n
的值为()
A．－1B.12．－1
2
．1
解析：根据根与系数的关系，可以求出m＋n
和mn的值，再将原代数式变形后，整体代
入计算即可．因为m、n是方程2x2
－x－2＝0的两实数根，所以m＋n12，mn＝－11
m1
1n＋m2nmn＝－112
故选C. 方法总结：解题时先把代数式变形成与两根和、积有关的形式，注意前提：方程有两个实数根时，判别式大于或等于0.
已知一元二次方程的两根分别是4和－5，则这个一元二次方程是()
A．x2－6x＋8＝0B．x2
＋9x－1＝0
C．x2－x－6＝0D．x2
＋x－20＝0
解析：∵方程的两根分别是4和－5，设两根为x1，x2，则x1＋x2＝－1，x1·x2＝－20.
如果令方程ax2
＋bx＋c＝0中，a＝1，则－b＝－1，c＝－20.∴方程为x2＋x－20＝0.故选D.
方法总结：先把所构造的方程的二次项系数定为1，利用一元二次方程根与系数的关系
方程的根与系数的关系列出方程即可解决．
(2014·山东烟台)关于x的方程x2
－ax＋2a＝0的两根的平方和是5，则a的值是()
A．－1或5B．1 C．5D．－1
解析：将两根平方和转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决．设方程两根为x1，x2，由题意，
得x22(x2
1＋x2＝5.∴1＋x2)－2x1x2＝5.∵x1＋x2＝a，x1x2＝2a，∴a2－2×2a＝5.解得a1
＝5，a＝a2
2＝－1.又∵Δ－8a，当a＝5时，Δ<0，此时方程无实数根，所以舍去a＝5.当a＝－1时，Δ>0，此时方程有两实数根．所以取a＝－1.故选D. 方法总结：解答此类题的关键是将与方程两根有关的式子转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决问题．注意不要忽略题目中的隐含条件Δ≥0，导致解答不全面． 【类型五】一元二次方程根与系数的关系和
已知x是一元二次方程(a－6)x2
1、x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．
(1)是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；
(2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．
解：(1)根据题意，得Δ＝(2a)2
－4×a(a－6)＝24a≥0.解得a≥0.又∵a－6≠0，∴a≠6.由根与系数关系得：x2a1＋x2＝－
a－6
，1
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