行胜于言
专题能力训练13 空间几何体
能力突破训练
1.(2015福建高考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于()
A.8+2√B.11+2√
C.14+2√D.15
2.(2015河北衡水中学高三一调)已知一个三棱柱的三视图如图所示,则该三棱柱的表面积为
()
A.4√+4√5
5B.2√+2√+2C.2√√3D.2√+2√3
3.平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为√,则此球的体积为
()
A.√π B.4√ C.4√π D.6√ π4.平面α截球O的球面得圆M,过圆心Μ的平面β与α的夹角为6且平面β截球O的球面得圆N.已知球Ο的半径为5,圆M的面积为9π,则圆N的半径为()
A.3 B.√C.4 D.√5.在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,√.若S1,S2,S3分别是三棱锥D-ABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则 ()
A.S1=S2=S3
B.S2=S1,且S2≠S3
C.S3=S1,且S3≠S2
D.S3=S2,且S3≠S1
6.(2015全国Ⅰ高考
)
1
行胜于言
圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视
图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( )
A.1
B.2
C.4
D.8
7.在四面体ABCD中,AB=CD=6,AC=BD=4,AD=BC=5,则四面体ABCD的外接球的表面积为 .
8.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上,且AB=6,BC=2√则棱锥O-ABCD的体积为 .
9.如图,已知多面体ABCDEFG中,AB,AC,AD两两互相垂直,平面ABC∥平面DEFG,平面BEF∥平面ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1,则该多面体的体积为
10.下列三个图中,左面是一个正方体截去一个角后所得多面体的直观图.右面两个是其正视
图和侧视图.
(1)请按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图(不要求叙述作图过程);
(2)求该多面体的体积(尺寸如图).
2
行胜于言 11.
(2015全国Ⅱ高考)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在
A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);
(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.
思维提升训练
12.(2015安徽高考)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是(
A.1+√ B.1+2√ C.2+√ D.2√13.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
) 3
行胜于言
A.54 B.60 C.66 D.72
14.(2015宁夏银川一中模拟)一个四面体的顶点都在球面上,它们的正视图、侧视图、俯视图都是下图,图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形,则这个四面体的外接球的表面积是
( )
A.π B.3π C.4π D.6π
15.若三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SA⊥平面ABC,SA=2√AB=1,AC=2,∠BAC=60°,则球O的表面积为 .
16.如图①,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿对角线AC把矩形折成二面角D-AC-B(如图②),并且点D在平面ABC内的射影落在AB上.
(1)证明:AD⊥平面DBC;
(2)若在四面体D-ABC内有一球,问:当球的体积最大时,球的半径是多少?
参考答案
能力突破训练
1.B 解析:由三视图可知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱,其表面积为
1+2S=1×2+√×2+1×2+2×2+22×1
=2+2√2+4+3=11+2√故选B.
4
行胜于言
2.D 解析:根据几何体的三视图得,该几何体是一个直三棱柱,底面三角形是钝角三角形,其三边长分别为1,√√所以三棱柱的侧面积为(2+2√+2√),底面三角形中钝角的余弦值为cos α2,所以sin α=2所以一个底面的面积为2×1×√×√√1√2=21
所以三棱柱的表面积为2√+2√3.
243.B 解析:设球O的半径为R,则R=√12+(√)=√故V球=R3=4√. 3
4.B 解析:如图,∵OA=5,AM=3,∴OM=4.
∵∠NMO=3∴ON=OM·sin3=2√
又∵OB=5,∴NB=√????2-????2=√,故选B. ππ
5.D 解析:三棱锥的各顶点在xOy坐标平面上的正投影分别为
A1(2,0,0),B1(2,2,0),C1(0,2,0),D1(1,1,0).显然D1点为A1C1的中点,如图(1),正投影为Rt△A1B1C1,其面
1积S1=2×2=2. 2
三棱锥的各顶点在yOz坐标平面上的正投影分别为A2(0,0,0),B2(0,2,0),C2(0,2,0),D2(0,1,√.
1显然B2,C2重合,如图(2),正投影为△A2B2D2,其面积S2=2×2×√=√
三棱锥的各顶点在zOx坐标平面上的正投影分别为A3(2,0,0),B3(2,0,0),C3(0,0,0),D3(1,0,√1由图(3)可知,正投影为△A3D3C3,其面积S3=22×√=√
综上,S2=S3,S3≠S1.故选D.
图(1)
图(2)
图(3)
6.B 解析:
由条件及几何体的三视图可知该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面直径的平面
所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成的
.其表面积由一个矩形的面积、两个半圆的面积、圆柱的侧面积的一半及一个球的表面积的一半组成.
5
行胜于言 =5πr2+4r2=16+20π,解得r=2.
777.2 解析:构造一个长方体,使得它的三条面对角线长分别为4,5,6,设长方体的三条边长分
别为x,y,z,则x2+y2+z2=2而长方体的外接球就是四面体的外接球,所以S=4πR2=2.
8.8√解析:如图,OO'垂直于矩形ABCD所在的平面,垂足为O',连接O'B,OB,则在Rt△OO'B
11中,由OB=4,O'B=2√可得OO'=2,故VO-ABCD=3矩形ABCD·OO'=3×6×2√2=8√ 7777∴S表=2r×2r+22r2+πr×2r+2×4πr2 11 9.4 解析:(方法一:分割法)几何体有两对相对面互相平行,
如图,过点C作CH⊥DG于H,连接EH,即把多面体分割成一个直三棱柱DEH-ABC和一个
斜三棱柱BEF-CHG.
由题意,知V三棱柱DEH-ABC=S△DEH×AD
=(2×2×1)×2=2, 1V三棱柱BEF-CHG=S△BEF×DE=(×2×1)×2=2. 21故所求几何体的体积为V多面体ABCDEFG=2+2=4.
(方法二:补形法)因为几何体有两对相对面互相平行,
10.解:(1)作出俯视图如图所示. 如图,将多面体补成棱长为2的正方体,显然所求多面体的体积即该正方体体积的一半. 又正方体的体积V正方体ABHI-DEKG=23=8, 1故所求几何体的体积为V多面体ABCDEFG=28=4.
(2)依题意,该多面体是由一个正方体(ABCD-A1B1C1D1)截去一个三棱锥(E-A1B1D1)得到的,所
以截去的三棱锥体积????-??1??1??1=3·??△??1??1??1·A1E=3×(2×2×2)×1=3,
正方体体积??正方体????????-??1??1??1??11112=23=8,
3故所求多面体的体积V=8-=3222 11.解:(1)交线围成的正方形EHGF如图
:
6
行胜于言
(2)作EM⊥AB,垂足为M,
则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.
因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.
于是MH=√????2-????2=6,AH=10,HB=6.
因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,
所以其体积的比值为7(9也正确).
12.C 解析: 97 思维提升训练
由三视图可得该四面体的直观图如图所示,平面ABD⊥平面BCD,△ABD与△BCD为全等的
等腰直角三角形,AB=AD=BC=CD=√.取BD的中点O,连接AO,CO,则AO⊥CO,AO=CO=1.由勾股定理得AC=√因此△ABC与△ACD为全等的正三角形,由三角形面积公式得
S△ABC=S△ACD=2S△ABD=S△BCD=1,所以四面体的表面积为2+√. √13.B 解析:由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形,由正视图和侧视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的.在长方体中分析还原,如图①所示,
1故该几何体的直观图如图②所示.在图①中,直角梯形ABPA1的面积为2×(2+5)×4=14,计算可得
A1P=5,直角梯形BCC1P的面积为×(2+5)×5= 22135因为A1C1⊥平面A1ABP,A1P?平面A1ABP,所以A1C1⊥A1P,故Rt△A1PC1的面积为25×3=2.又Rt△ABC的面积为×4×3=6,矩形ACC1A1的面积为5×3=15,故几何体ABC-A1PC1的表面积为14+2+2+6+15=60. 35152111514.B 解析:
由三视图可知,该四面体是一个正方体的内接正四面体,所以此四面体的外接球的直径为正
方体的对角线的长,为√所以此四面体的外接球的表面积为4π×(2)=3π.
7 √2
行胜于言 15.64π 解析:
如图,三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,因为 AB=1,AC=2,∠BAC=60°, 所以BC=√,
所以∠ABC=90°.
所以△ABC截球O所得的圆O'的半径r=1.
设OO'=x,球O的半径为R,则R2=x2+12,R2=(SA-x)2+12,
所以x2+1=(2√-??)2+1,
解得x=√R2=(√)2+12,R=4.
所以球O的表面积为4πR2=64π.
16.
(1)证明:设D在平面ABC内的射影为H,则H在AB上, 连接DH,如图,
则DH⊥平面ABC,得DH⊥BC.
又AB⊥BC,AB∩DH=H,
所以BC⊥平面ADB,故AD⊥BC.
又AD⊥DC,DC∩BC=C,
所以AD⊥平面DBC.
(2)解:当球的体积最大时,易知球与三棱锥D-ABC的各面相切,设球的半径为R,球心为O, 则V1D-ABC=3(S△ABC+S△DBC+S△DAC+S△DAB).由已知可得S△ABC=S△ADC=6.
过点D作DG⊥AC于点G,连接GH,如图,可知HG⊥AC.
易得DG=12HG=27,DH=√????2-????2=3√,S△13DAB=×4√=3√5204242
在△DAB和△DBC中,
因为AD=BC,AB=DC,DB=DB,
所以△DAB≌△BCD,
故S△3DBC=√13√3√2VD-ABC=364=2.
则??333√3(6+2√+6+
32√=2于是(4+√R=2√所以
=
4√76
8
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