行胜于言
专题能力训练18 直线与圆锥曲线
能力突破训练
1.(2015江西九江高三一模)已知点P为双曲线?1右支上一点,点F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,M为△PF1F2的内心,若??△??????=??△??????+8,则△MF1F2的面积为() 12
A.2√ B.10 C.8 D.6
点坐标为(1,-1),则E的方程为()
A.45+361
C.+1 27182??2??29162.已知椭圆E:??2+??=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中??2??2??2??2??2??2B.36+27=1 D.+=1 189??2??2??2??23.与抛物线y=8x相切倾斜角为135°的直线l与x轴和y轴的交点分别是A和B,那么过A,B两点的最小圆截抛物线y2=8x的准线所得的弦长为()
A.4 B.2√C.2 D.√
24.设抛物线C:y=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程
为()
A.y=x-1或y=-x+1
B.y=x-1)或y=-(x-1) 33√√C.y=√x-1)或y=-√(x-1)
D.y=2x-1)或y=-2(x-1) √√5.(2015山东高考)平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:??2???1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p>0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为 .不垂直的直线与椭圆交于P,Q两点,当直线PQ经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60°.
(1)求椭圆C的方程.
???? =????? (2)设O为坐标原点,线段OF上是否存在点T(t,0),使得????? ????·?????????·????? ?????若存在,求出实数t
的取值范围;若不存在,说明理由.
7.在平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:??2+??=1(a>b>0)右焦点的直线x+y-√=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为2. 1??2??2??2??26.(2015山东烟台高三一模)已知椭圆C:??2+??1(a>b>0)的右焦点F(1,0),过点F且与坐标轴??2??2(1)求M的方程;
(2)C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.
1
行胜于言
8.已知椭圆C的中心在坐标原点,右焦点为F(1,0),A,B是椭圆C的左、右顶点,D是椭圆C上异于A,B的动点,且△ADB面积的最大值为√.
(1)求椭圆C的方程.
(2)是否存在一定点E(x0,0)(0<x0<√使得当过点E的直线l与曲线C相交于M,N两点11时,|????+为定值?若存在,求出定点和定值;若不存在,请说明理由. ?????? |????? ||????
W(O为坐标原点).
(1)证明:OE⊥OF;
|????|(2)设λ=|????|,求实数λ的取值范围.
2 9.已知椭圆C:22=1与直线l:y=kx+m相交于E,F两点,且直线l与圆O:x2+y2=3??22
行胜于言
思维提升训练
10.(2015河北石家庄高三质检)定长为3的线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动,
????? . ????? =2????动点P满足????
(1)求点P的轨迹曲线C的方程;
????? 的最大值. (2)若过点(1,0)的直线与曲线C交于M,N两点,求?????? ????·?????
11.已知椭圆C:2+=1(a>b>0)的上顶点为A,右顶点为B,离心率e=,O为坐标原点,圆O:x+y=3与直线AB相切. 22??2??2??√22??(1)求椭圆C的标准方程;
(2)直线l:y=k(x-2)(k≠0)与椭圆C相交于E,F两不同点,若椭圆C上一点P满足OP∥l.求△EPF面积的最大值及此时的k2.
12.
3
行胜于言
√(2015福建高考)已知椭圆E:??2+??=1(a>b>0)过点(0,√且离心率e=2 (1)求椭圆E的方程; ??2??2
(2)设直线l:x=my-1(m∈R)交椭圆E于A,B两点,判断点G(-4,0)与以线段AB为直径的圆的
位置关系,并说明理由.
参考答案
能力突破训练 91.B 解析:设内切圆的半径为R,a=4,b=3,c=5.
∵??△??????=??△??????2+8,
∴2|PF1|-|PF2|)R=8,即aR=8,∴R=2.
∴??△????1??2=22c·R=10.故选B. 2.D 解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),
2∵A,B在椭圆上,∴{??2??2111由①-②,得
(??1+??2)(??1-??2)
??2??2
1+??=1, ① ??22+??=1,②??20, ??21??2+2(??+??)(??-??)??即??2=-(??1
+??2)(??1
-??2) (??+??)(??-??)
12∵AB的中点为(1,-1),∴y1+y2=-2,x1+x2=2,
而????1-??21-??2AB=
20-(-1)3-1=2,∴??2=2
??2??21??21∵a-b=9,∴a2=18,b2=9. ∴椭圆E的方程为18+91.故选D. 3.C 解析:设直线l的方程为y=-x+b,联立直线与抛物线方程,消元得y2+8y-8b=0.因为直线
与抛物线相切,所以Δ=82-4×(-8b)=0,解得b=-2,故直线l的方程为x+y+2=0,从而A(-2,0),B(0,-2)
.2
4
行胜于言
因此过A,B两点的最小圆即为以AB为直径的圆,其方程为(x+1)2+(y+1)2=2,而抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,此时圆心(-1,-1)到准线的距离为1,故所截弦长为2√(√2-12=2.
4.C 解析:由题意可得抛物线焦点F(1,0),准线方程为x=-1.
当直线l的斜率大于0时,如图,过A,B两点分别向准线x=-1作垂线,垂足分别为M,N,则由抛物线定义可得,|AM|=|AF|,|BN|=|BF|.
设|AM|=|AF|=3t(t>0),|BN|=|BF|=t,|BK|=x,而|GF|=2,
|????||????|????
在△AMK中,由=,得=,
|????|
|????|
解得x=2t,则cos∠NBK=
3??
|????||????|
==,
??
2
??+4????1
∴∠NBK=60°,则∠GFK=60°,即直线AB的倾斜角为60°.
∴斜率k=tan 60°=√故直线方程为y=√(x-1).
当直线l的斜率小于0时,如图,同理可得直线方程为y=-√(x-1),故选C.
5.解析:双曲线的渐近线为y=±x.由{
2
??
3??
??=????,
2
??
2????2??2????
得A(
??=2????,
,
??2
).
由{
??=-????,
2
??
得B(-2????2??2????
??=2????,
??
∵F(0,2)为△OAB的垂心,∴kAF·kOB=-1. 即
2??2????
-??2-0??
,
??2
).
·(-)=-1,解得2=??
??
4
9
3
??2
??2
??
??2
5
∴??2=4即可得e=2.
??
2
2
2
2
??2
6.解:(1)由题意知c=1,又??=tan 60°=√所以b=3,a=b+c=4,所以椭圆的方程为4+3=1. (2)设直线PQ的方程为y=k(x-1)(k≠0),代入4+31,得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0, 设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点为R(x0,y0),则x0=
2
???? =????? ???? )=????? ????? )=
0, 由????? ????·?????????·????? ????,得????? ????·(????? ????+?????????·(2????
??1+??2
??2
??2
=
4??2
3+4??
,y0=k(x0-1)=-
3??
3+4??
5
行胜于言 所以直线TR为直线PQ的垂直平分线,
直线TR的方程为y+3??
3+4??(??-??
??214??23+4??1). . 令y=0得点T的横坐标t=3+4??=
3
1+4??因为k2∈(0,+∞),所以??+4∈(4,+∞),
所以t∈(0,4. 1????? =????? 所以线段OF上存在点T(t,0),使得????? ????·????????·????? ????,其中t∈(0,4.
7.解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),
则??2+??1,??2+??=1,??2-??1=-1,
由此可得??(??2+??1)221??21??21??22??22??-??
??2(??2+??1)=-??2-??1
??2-??1=1. ??10因为x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,??0=2,所以a2=2b2.
又由题意知,M的右焦点为(√所以a2-b2=3.
所以a2=6,b2=3.
所以M的方程为6+3=1.
??+??-√=0,??=3,??=0,4√22(2)由{??解得{或{因此|AB|=由题意可设直线CD的方程为??3√??=√+3=1,??=-634√??2??2y=x+n(-5√3<??<√,
设C(x3,y3),D(x4,y4). ??=??+??,
由{??2??2得3x2+4nx+2n2-6=0. +3=16
于是x3,4=. 3因为直线CD的斜率为1,
所以|CD|=√|x4-x3|=3√9-??2.
由已知,四边形ACBD的面积S=2|AB|=
当n=0时,S取得最大值,最大值为
??2??28√18√94-2??±√2(9-??)√9-??2. 所以四边形ACBD面积的最大值为
138√3 8.解:(1)设椭圆的方程为??2+??1(a>b>0),
由已知可得2a·b=ab=√ 2∵F(1,0)为椭圆右焦点,∴a2=b2+1.
由①②可得a=√b=1,
故椭圆C的方程为2+y2=1. (2)过点E取两条分别垂直于x轴和y轴的弦M1N1,M2N2,
1111则|???????? +??????? =???????? +??????? , ????||????||????||????|1122① ② ??2即2
??1-2=0+√0解得x0=3√∴E若存在必为(3,0),定值为3.
6
行胜于言
证明如下: 设过点E(
√3
,0)的直线方程为x=ty+代入C中得(t2+2)y2+
3
2√4
√2√3
=0.
3
4
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则y1+y2=-??2+2=-3(??2+2),y1y2=-3(??2+2),
1???????? +=22+22=2·(2+2=2·????? 1111111
(??1+??2)-2??1??2
222
=2·
1
[-
8
]+3(??+2)3(??+2)2
3.
|????|
|????|(1+??)??1
(1+??)??2
1+????1
??2
1+????1??2
1+??[-43(??+2)
]综上得定点为E(√3,0),定值为3. 9.解:(1)因为直线l与圆O相切,
所以圆x2+y2=2
22
23
的圆心到直线l的距离=√3
从而m2=3
+k).
??2
由{2+??2=1,
整理,得(1+2k2??=????+??,)x2+4kmx+2m2-2=0. 设E(x1,y1),F(x2,y2),
则x4????
2??2-2
1+x2=-1+2??,x1x2=1+2??, 所以????? ????·????? ????=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)·(kx2+m)
=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2
=(1+k2)2??2
-2
-4??2??2
1+2??+1+2??2 =
3??2-2??2-21+2??=
2(1+??2)-2??2-2
1+2??=0.
所以OE⊥OF.
(2)因为直线l与圆O相切于W,??21+??=1,??2
2
2
12
2
+??22=1,
2所以λ=|????|
√|????|2
-??2√??2√??1+??22=
1-2
+1
=3
|????|=
√|????|
2
-??2
√??22+??22-3
√??2
+123
由(1)知x1x2+y1y2=0,
所以x1x2=-y1y2,即??12??22=??12??22
,
从而??=(1-??2
4-2??2
12??21??2
222)(1-22,即??2=12+3??1
√??2
1
所以λ23
=
2+3??21??2
4
.
√1
2
3
因为-√≤x所以λ∈[1
1≤√2,2]. 思维提升训练
10.解:(1)设A(x0,0),B(0,y0),P(x,y),
由????? ????=2???????
?? 得(x,y-y0)=2(x0-x,-y), 即{??=2(??0-??),??3
0=??-???{2??, 0=-2????0=3??.
因为??0
2+
??32??202
=9,所以(2??)+(3y)2=9,化简,得4
2=1,
所以点P的轨迹方程为??2
4+y2=1.
(2)当过点(1,0)的直线为y=0时,?????? ????·?????????? =(2,0)·(-2,0)=-4,
7
行胜于言
当过点(1,0)的直线不为y=0时,可设为x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2).
2+??=1,
联立{4并化简,得(t2+4)y2+2ty-3=0,
??=????+1
2??3
由根与系数的关系得y1+y2=-??2+4,y1y2=-??2+4,
??2
-2??-4??+1
?????? ·?????????? =x1x2+y1y2=(ty1+1)(ty2+1)+y1y2=(t2+1)y1y2+t(y1+y2)+1=(t2+1)2-3????+1==2??+4??+4??2+4
2
-4(??2+4)+17
17
??2+4
4+??2+4.
又由Δ=4t2+12(t2+4)=16t2+48>0恒成立,所以t∈R,
对于上式,当t=0时,(?????? ????·?????????? )max=14. 综上所述,?????? ????·?????
????? 的最大值为14
. 11.解:(1)由题意,直线AB的方程为??
????
+??
=1,即为bx+ay-ab=0.
因为圆O与直线AB相切,2
??2??2
2
=√3,??+??2=3. 设椭圆的半焦距为c,因为b2+c2=a2,e=??
√??=2
,
所以??2-??2
1
①②??2=2
由得a2
=2,b2=1.
所以椭圆C的标准方程为??2
22=1.
??2
(2)由{2+??2=1,
整理,得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0.
??=??(??-2),
设E(x1,y1),F(x8??2
8??2-2
2,y2),则x1+x2=1+2??,x1x2=1+2??,所以|EF|=1-x2|=·√(??1+??2)2
-4??1??√
8-16??22=√1(1+2??). 又点O到直线EF的距离因为OP∥l,所以S△=1|EF|d=2√√??2(1-2??2)EPF=S△EOF2
(1+2??)
又Δ=8-16k2>0,所以k2<1
2 因为k≠0,所以0<k2<1
2.
令t=1+2k2∈(1,2),则??2(1-2??2)
113
132
1
(1+2??)=-2???2+2??=-(??-4)+16, 所以当t=4
2
1
??2(1-2??2)
1
3k=6,(1+2??)16 故当k2=1
√6时,△EPF的面积的最大值为2. ??=√,
??=2,
12.解:(1)由已知,得{????=√2
,解得{??=√
??2=??2+??2,??=√所以椭圆E的方程为??2
??2
4+2=1.
(2)方法一:设点A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为H(x0,y0).
由{??=????-1,??2??2得(m2+2)y2-24+my-3=0,
2=1所以y2??
3
1+y2=??2+2,y1y2=-??
??2+2从而y0=??2+2.
①
②
8
行胜于言 所以|GH|2=(??9225250+4+??02=(????50++??02=(m2+1)??02
4+20+16
|????|2(??1-??2)2+(??21-??2)
4=4
=(1+??2)(??-??)24=(1+??2)[(??21+??2)-4??1??2]=(1+m2)(??4
02-y1y2),
故|GH|2-|????|25254=2my0+(1+m2)y1y2+16
=5??23(1+??2)252(??2+2)???2+2+16
=17??2+2
16(??2+2)0,
所以|GH|>|????|-92.
故点G(4,0)在以AB为直径的圆外.
方法二:设点A(x1,y1),B(x2,y2),
则????? ????=(??991+4,??1),????? ????=(??2+4,??2).
由{??=????-1,
??24+??2得(m2+2)y2-2my-3=0, 2=1
所以y2??3
1+y2=??2+2,y1y2=-??2+2从而????? ????·????? ????=(??1+9(??2+95544+y1y2
=(????1+4)(????2+
54+y1y2
=(m2+1)y1y2+m(y1+y25542)+162
=-3(??2+1)225??2+2+??2+2+16=17??2+2
16(??2+2)0,
所以cos<????? ????,????????? >>0.
又????? ????,????? ????不共线,所以∠AGB为锐角.
故点G(-94,0)在以AB为直径的圆外.
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