空间几何体的表面积与体积
一、选择题
1．棱长为2的正四面体的表面积是()． 3B．4C．43 D．16
13解析 每个面的面积为：×2×2×＝3.∴正四面体的表面积为：43. 22答案 C
2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的 ()．
3A．2倍B．22倍C.2倍 D.2倍
4解析 由题意知球的半径扩大到原来的2倍，则体积V＝πR3，知体积扩大到3
原来的22倍．
答案 B
3．如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为
(
)．
（三视图：主（正）试图、左（侧）视图、俯视图） 142284280140A.B.C. D. 3333
解析 根据三视图的知识及特点，可画出多面体
的形状，如图所示．这个多面体是由长方体截去[来源:学科网ZXXK] 一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积
1?1284?×2×2?×2＝V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－×?3?23?
答案 B
4．某几何体的三视图如下，则它的体积是()
（三视图：主（正）试图、左（侧）视图、俯视图）
A．8－2π 3
B．8－ D.π3C．8－2π 2π3
解析 由三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体内部挖去一个底面半径为
12π1，高为2的圆锥，所以V＝23－×π×2＝8－. 33
答案 A
5．已知某几何体的三视图如图，其中主视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为(
)
（三视图：主（正）试图、左（侧）视图、俯视图）
3ππA．24－π B．24－C．24－π D．24－ 232
解析 据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分别为：2,3,4，半圆柱的底面半径为1，母线长为3，故其体积V＝2×3×4－×π×12×3＝24－
答案 A
6．某品牌香水瓶的三视图如图 (单位：cm)，则该几何体的表面积为( ) 3π212
（三视图：主（正）试图、左（侧）视图、俯视图）
π?π???22A.?95－ cm B.?94－? cm 2?2???
π?π???C.?94＋ cm2 D.?95＋? cm2 2?2???
解析 这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、下面是一个四
ππ棱柱．上面四棱柱的表面积为2×3×3＋12×1－＝30－44
1ππ积为2π××1＝π，下面部分的表面积为2×4×4＋16×2－64－故其244
π表面积是94＋2
答案 C
7．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝3，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S-ABC的体积为( )． A．3 B．23 C.3 D．1
解析 由题可知AB一定在与直径SC垂直的小圆面上，作过AB的小圆交直径SC于D，设SD＝x，则DC＝4－x，此时所求棱锥即分割成两个棱锥S-ABD和C-ABD，
3在△SAD和△SBD中，由已知条件可得AD＝BD＝x，又因为SC为直径，所以∠3
SBC＝∠SAC＝90°，所以∠DCB＝∠DCA＝60°，在△BDC中 ，BD＝3(4－x)，所以3x3(4－x)，所以x＝3，AD＝BD3，所以三角形ABD为正三角形，3
1所以V＝△ABD3. 3
答案 C
二、填空题
8．三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC的体积等于________．
113解析 依题意有，三棱锥PABC的体积V＝△ABC·|PA|＝××22×3＝3. 334
答案 3 9．一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为________．
解析 设圆柱的底面半径是r，则该圆柱的母线长是2r，圆柱的侧面积是2πr·2r＝4πr2，设球的半径是R，则球的表面积是4πR2，根据已知4πR2＝4πr2，所
4以R＝r.所以圆柱的体积是πr2·2r＝2πr3，球的体积是r3，所以圆柱的体3
2πr3
积和球的体积的比是3∶2. 4πr3
3答案 3∶2
10．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是
________．
解析 由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为接顶点和底面中心即为高，可求得高为
2答案 6
11．如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________． 322122，所以体积V＝. 2326
解析 由球的半径为R，可知球的表面积为4πR2.设内接圆柱底面半径为r，高为2h，则h＋r＝R.而圆柱的侧面积为2πr·2h＝4πrh≤4π222r2＋h222πR2(当
且仅当r＝h时等号成立)，即内接圆柱的侧面积最大值为2πR2，此时球的表面积与内接圆柱的侧面积之差为2πR2.
答案 2πR2
12．如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自
点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________c
m.
解析 根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展52＋122＝13 (cm)．
答案 13
三、解答题
13．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH.图2、图3分别是该标识墩的主视图和俯视图．
(1)请画出该安全标识墩的左视图；
(2)求该安全标识墩的体积．
解析 (1)左视图同主视图，如图所示：
1(2)该安全标识墩的体积为V＝VPEFGH＋VABCDEFGH＝×402×60＋402×20 3
＝64 000(cm3)．
14 .一个几何体的三视图如图所示．已知主视图是底边长为1的平行四边形，左视图是一个长为3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的表面积S. （三视图：主（正）试图、左（侧）视图、俯视图） 解析 (1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为13，所以V＝1×1×33.
(2)由三视图可知，该平行六面体中，
A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，
所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形，
S3＋1×2)＝6＋23.
15．已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，主视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.
解析 由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，
其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6，高为h2的等腰三角形，如右图
所示．
11(1)几何体的体积为：V＝·S矩形·h＝64. 33
(2)正侧面及相对侧面底边上的高为：h1＝42＋32＝5.
左、右侧面的底边上的高
为：h2＝42＋42＝42. 1?1?故几何体的侧面面积为：S＝2×?×8×5＋×6×42?＝40＋242. 2?2?
16．四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a.
(1)求该四面体的体积的最大值；(2)当四面体的体积最大时，求其表面积． 解析 (1)如图，在四面体ABCD中，设AB＝BC＝
CD＝AC＝BD＝a，AD＝x，取AD的中点为P，
BC的中点为E，连接BP、EP、CP.得到AD⊥平面BPC， 111∴VA-BCD＝VA-BPC＋VD-BPC＝S△BPC·AP＋S△BPC·PD＝S△BPC·AD 333
11＝··a32a－·x＝442x2a2a
12?3a2－x2?x2
3a2136≤·(当且仅当x＝时取等号)． 12282a
1∴该四面体的体积的最大值为a3. 8
(2)由(1)知，△ABC和△BCD都是边长为a的正三角形，△ABD和△ACD是全等的等腰三角形，其腰长为a，底边长为
3216＋2××× 4226， 2?6?2? 4??∴S表＝2×a2－?
32610a3215a2＝a＋×＝a＋22424
3152＝
a. 4
www.99jianzhu.com/包含内容：建筑图纸、PDF/word/ppt 流程，表格，案例，最新,免费下载,施工方案、工程书籍、建筑论文、合同表格、标准规范、CAD图纸等内容。