§8.1 空间几何体的结构、三视图和直观图 2014高考会这样考 1.几何体作为线面关系的载体，其结构特征是必考内容；2.考查三视图、直观图及其应用． 复习备考要这样做 1.重点掌握以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特征的题型；
2.熟悉一些典型的几何体模型，如三棱柱、长(正)方体、三棱锥等几何体的三视图．
1． 多面体的结构特征
(1)
(2)
(3)
2． 旋转体的结构特征
(1)
(2)圆锥可以由直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到．
(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到．
(4)球可以由半圆或圆绕其直径旋转得到．
3． 空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图．
4． 空间几何体的直观图 画空间几何体的直观图常用斜二测画法，基本步骤：
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)．
(2)已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别平行于
(3)已知图形中平行于xy轴的线段，长度变为原来的一半．
(4)在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z[难点正本 疑点清源]
1．正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．
2．正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．
3．三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．
1． 利用斜二测画法得到的以下结论，正确的是__________．(写出所有正确的序号)
①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④圆的直观图是椭圆；⑤菱形的直观图是菱形．
2． 一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入
所有可能的几何体前的编号)．
①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．
3． 用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是
A．圆柱
C．球体
4． (2012·湖南)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是(
) ．．． B．圆锥 D．圆柱、圆锥、球体的组合体 ( )
5. 如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边边长分别为3和4，过
直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的正视图是 (
)
题型一 空间几何体的结构特征
例1 设有以下四个命题：
①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；
②底面是矩形的平行六面体是长方体；
③直四棱柱是直平行六面体；
④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．
其中真命题的序号是________．
以下命题：
①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
其中正确命题的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
( )
题型二 几何体的三视图
1例2 如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1，则该几何体2
的俯视图可以是 (
)
一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所
示，则该几何体的俯视图为 (
)
题型三 空间几何体的直观图
例3 已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积．
正三角形AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标
系xOy，则它的直观图的面积是________．
典例：(5分)一个空间几何体的三视图，如图所示，则这个空间几何体的表面积是________．
方法与技巧
1． 棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决．
2． 旋转体要抓住“旋转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状．
3． 三视图画法：(1)实虚线的画法：分界线和可见轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线；
(2)理解“长对正、宽平齐、高相等”．
4． 直观图画法：平行性、长度两个要素．
失误与防范
1．台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行．
2．注意空间几何体的不同放置对三视图的影响．
3．能够由空间几何体的三视图得到它的直观图；也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图，提升空间想象能力．
A组 专项基础训练
(时间：35分钟，满分：57分
)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1． 给出四个命题：
①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④长方体一定是正四棱柱． 其中正确的命题个数是
A．0
2． (2012·福建)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是
( )
A．球
3． (2011·课标全国)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图
可以为 (
)
B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱 ( ) B．1 C．2 D．3
4． 如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是 (
)
二、填空题(每小题5分，共15分)
5． 一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形的面积为________．
6. 如图所示，E、F分别为正方体ABCD—A1B1C1D1的面ADD1A1、面
BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面DCC1D1上的投
影是________．(填序号)
7． 图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm3的几何体的三视图，则h＝
________cm.
三、解答题(共22分)
8． (10分)一个几何体的三视图及其相关数据如图所示，求这个几何体的表面积．
9． (12分)已知一个正三棱台的两底面边长分别为30 cm和20 cm，且其侧面积等于两底面
面积之和，求棱台的高．
B组 专项能力提升
(时间：25分钟，满分：43分)
一、选择题(每小题5分，共15分)
1． (2011·山东)右图是长和宽分别相等的两个矩形，给定下列三个命题：①存
在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、
俯视图如右图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图．其中真命题的
个数是
A．3
C．1
2. 一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、侧视图如图所示，则
其俯视图为 (
)
( ) B．2 D．0
3． 在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交AA1于E，交CC1
于F，得四边形BFD1E，给出下列结论：
①四边形BFD1E有可能为梯形；
②四边形BFD1E有可能为菱形；
③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形；
④四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D；
⑤四边形BFD1E面积的最小值为
其中正确的是
A．①②③④
C．①③④⑤
6. 2 ( ) B．②③④⑤ D
．①②④⑤
二、填空题(每小题5分，共15分)
4. 在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，
则在xOy坐标系中，四边形ABCO为________，面积为________ cm2.
5． 用半径为r的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是________．
6. 如图，点O为正方体ABCD—A′B′C′D′的中心，点E为面
B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在
该正方体的各个面上的投影可能是________(填出所有可能的序号)．
三、解答题
7． (13分)已知正三棱锥V—ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．
(1)画出该三棱锥的直观图；
(2)求出侧视图的面积．
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