第34练 直线与圆锥曲线的综合问题
[题型分析·高考展望] 本部分重点考查直线和圆锥曲线的综合性问题，从近几年的高考试题来看，除了在解答题中必然有直线与圆锥曲线的联立外，在选择题或填空题中出现的圆锥曲线问题也经常与直线结合起来.本部分的主要特点是运算量大、思维难度较高，但有时灵活地借助几何性质来分析问题可能会收到事半功倍的效果.预测在今后高考中，主要围绕着直线与椭圆的位置关系进行命题，有时会与向量的共线、模和数量积等联系起来；对于方程的求解，不要忽视轨迹的求解形式，后面的设问将是对最值、定值、定点、参数范围的考查，探索类和存在性问题考查的概率也很高.
体验高考
x2y221.(2015·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，1(a＞b＞0)，ab2
且右焦点F到左准线
l的距离为3.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若|PC|＝2|AB|，求直线AB的方程.
c2a2
解 (1)由题意，得且c＋＝3， a2c
解得a2，c＝1，则b＝1，
x22所以椭圆的标准方程为y＝1. 2
(2)当AB⊥x轴时，AB2，又CP＝3，不合题意.
当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为
y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将AB的方程代入椭圆方程，
得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，
2k22?1＋k?则x1，2＝ 1＋2k
?2k－k，且 C的坐标为??1＋2k1＋2k?
22?1＋k2?AB?x2－x1?＋?y2－y1??1＋k??x2－x1?＝. 1＋2k2
若k＝0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意. 从而k≠0，故直线PC的方程为
2k2?k1y＋x－1＋2k， k?1＋2k5k＋2?则P点的坐标为?－2，， k?1＋2k???
2?3k2＋1?1＋k从而PC＝|k|?1＋2k?
因为|PC|＝2|AB|， 2?3k2＋1?1＋k42?1＋k2?所以＝ |k|?1＋2k?1＋2k解得k＝±1.
此时直线AB的方程为y＝x－1或y＝－x＋1.
2.(2016·浙江
)如图，设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1. 2
(1)求p的值；
(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围.
解 (1)由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x＝－1的距离，由抛物
p线的定义得1，即p＝2. 2
(2)由(1)得，抛物线方程为y2＝4x，F(1，0)，
可设A(t2，2t)，t≠0，t≠±1.
2??y＝4x，因为AF不垂直于y轴，可设直线AF：x＝sy＋1(s≠0)，由?消去x得y2－4sy－4?x＝sy＋1?
＝0.
12?. 故y1y2＝－4，所以B?t??t2t又直线AB的斜率为 t－1
t2－1故直线FN的斜率为－， 2t
t2－12从而得直线FN：y＝－x－1)，直线BN：y＝－. 2tt
?t＋3，－2?. 所以N?t??t－1?
2t2t设M(m，0)，由A，M，N三点共线得＝ t－m2t＋3t－t－12t＋
2t2
于是m＝m＜0或m＞2. t－1
经检验，m＜0或m＞2满足题意.
综上，点M的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞).
x2y2
3.(2016·四川)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三ab13，?在椭圆E上. 个顶点，点P?2??
(1)求椭圆E的方程；
1(2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，2
直线OM与椭圆E交于C，D，证明：|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.
(1)解 由已知，得a＝2b， 1
41xy3x22?又椭圆＝1(a>b>0)过点P?32，故＝1，解得b＝1.所以椭圆E的方程是ab4bb4222
y2＝1.
1(2)证明 设直线l的方程为y＋m(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2). 2
?由方程组?1y＝?2＋m，x22＋y＝1，4 得x2＋2mx＋2m2－2＝0，①
方程①的判别式为Δ＝4m2－4(2m2－2)，由Δ>0，
即2－m2>0，解得－2<m2.
由①得x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－2.
所以M点坐标为??－m，m2，直线OM方程为y12，
x2由方程组??4＋y2＝1，
?y12， 得C?2?－2，2，D??2，－2
2??.
所以|MC|·|MD|＝2(－m＋22＋m)＝5
4(2－m2).
又|MA|·|MB|＝1
4AB|2
＝1
4x－x(y5
12)2＋1－y2)2]＝16[(x1＋x2)2－4x1x2]
＝5m2－4(2m25
16－2)]＝4(2－m2).
所以|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.
高考必会题型
题型一 直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用 例1 设焦点在x轴上的椭圆Mx2y22
4＋b＝1(b>0)，其离心率为2.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若直线l过点P(0，4)，则直线l何时与椭圆M相交？
解 (1)因为椭圆M的离心率为2
2
所以4－b24＝2
?22，得b2＝2. 所以椭圆M的方程为x2
4y2
2＝1.
(2)①过点P(0，4)的直线l垂直于x轴时，直线l与椭圆M相交.
?y＝kx＋4，
②过点P(0，4)的直线l与x轴不垂直时，可设直线l的方程为y＝kx＋4.由???x22
?4＋y
2＝1
去y，
得(1＋2k2)x2＋16kx＋28＝0.
因为直线l与椭圆M相交，
所以Δ＝(16k)2－4(1＋2k2)×28＝16(2k2－7)>0，
解得k<－14
2k>14
2. 消
综上，当直线l垂直于x轴或直线l的斜率的取值范围为?－∞，－?14?14?∪时，2??2?直线l与椭圆M相交.
点评 对于求过定点的直线与圆锥曲线的位置关系问题，一是利用方程的根的判别式来确定，但一定要注意，利用判别式的前提是二次项系数不为零；二是利用图形来处理和理解；三是直线过定点位置不同，导致直线与圆锥曲线的位置关系也不同.
x2y2
变式训练1 (2015·安徽)设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐ab
标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为5. 10
(1)求椭圆E的离心率e；
(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为7E的方程. 2
21?解 (1)由题设条件知，点M的坐标为??3，3?， 又kOM＝5b5＝， 102a10
c25进而得a5b，c＝a－b＝2b，故e. a5
(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB的方程为xy＋＝1，点N的坐标为bb
?5b，－1b?. 2??2
7x1， 设点N关于直线AB的对称点S的坐标为?2?则线段NS的中点T的坐标为?5x17?＋＋. 244??4
又点T在直线AB上，且kNS·kAB＝－1，
?
从而有?71＋22?x－5b?215x17＋－b＋42441，b5b5， 解得b＝3.
x2y2
所以a＝5，故椭圆E的方程为1. 459
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