模块2 信号

模块2 信号
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2.1 信号的表示 2.2 信号分类 2.3 信号分析与处理 2.4 频谱密度 2.5 相关函数 2.6 随机变量 2.7 随机过程 2.8 平稳随机过程 2.9 高斯过程 2.10 噪声 2.11 随机信号通过线性系统

2.1 信号的表示
?

?

?

在通信系统中，信源输出的诸如文字、语音、图像等原始消息，经过信源编码器后变成了随时间变化的电压或电流（电信号），简称信号。信号可以用数学解析式描述，也可以用图形来表示。描述信号的三个主要参数有：频率、幅度A(t ) 和相位 ? (t ) 。

?

例如声波信号： f ? 20 Hz , f ? 20kHz, 次声波，超声波，通常人耳听不见；人耳能听见；
返回

20 Hz ? f ? 20kHz,

声波，

人耳听不见，具有方向性，

可以成束，广泛用于测量等应用中。

2.2 信号的分类
1. 确知信号和随机信号
? 随机信号是指其取值不确定，且不能事先确切预知的信号，

无法用一

个数学函数来准确表征，即不可预测或者具有随机性。 ? 确知信号是指其取值在任何时候都是确定的和可预知的信号，通常可用一个数学函数来表征。

2. 周期信号与非周期信号
? 若一个信号s(t)满足下面的关系

s(t)=s(t+T) -∞<t<∞ （1.2-4）则称s(t)为周期信号。其中，满足式(1.2 - 4)的正的最小T值称为该信号的基波周期(简称周期)；t为时间。显然周期信号的波形是按宽度T周期重复的、无始无终的信号。例如一个时间无限长的正弦波就是一个周期信号。 ? 若不存在满足式(1.2-4)的周期T，则称该信号为非周期信号，例如单个矩形脉冲就是一个非周期信号。 ? 有一类特殊的非周期信号，我们称之为准周期信号，例如语音信号。它们并不是周期信号，但是在一定的时间范围内，其波形具有一定的周期性，只不过周期是变化的，而且两个周期内的波形也只是相似而不是完全相同。
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3 能量信号和功率信号
? 信号的功率:

设 R = 1, 则 P = V2/R = I2R = V2 = I2 ? 信号的能量：设S代表V或I，若S随时间变化，则写为s(t), 于是，信号的能量 E = ? s2(t)dt ? 2 ? 能量信号：满足 0 ? E ? s ? (t)dt ? ?
??

? 平均功率：

1 T/2 2 P ? lim ? s ( t )dt T ?? T ? T / 2

，故能量信号的P = 0。

功率信号：P ? 0 的信号，即持续时间无穷的信号。 ? 能量信号的能量有限，但平均功率为0。 ? 功率信号的平均功率有限，但能量为无穷大。
?
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2.3信号分析与处理
信号的特性有“时间特性”和“频率特性”。 ? 信号分析信号分析方法有：时域分析（波形分析）和频域分析（频谱分析）。 ? 信号处理信号处理是指对信号进行提取、加工、分析、综合(如滤波、变

换、增强、压缩、估计、识别、合成等)等处理过程的统称。包括时域处理和频域处理两种。
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2.4 频谱密度
1.能量谱密度
设一个能量信号s(t)的能量为E，则其能量由下式决定：
E ? ? s 2 (t )dt
?? ?

若此信号的频谱密度，为S(f)，则由巴塞伐尔定理得知：
E ? ? s (t )dt ? ?
2 ?? ? ? ??

S ( f ) df

2

上式中|S(f)|2称为能量谱密度，也可以看作是单位频带内的信号能量。上式可以改写为：
E ? ? G( f )df
?? ?

式中，G(f)＝ |S(f)|2 （J / Hz）为能量谱密度。 ? G(f)的性质：因s(t)是实函数，故|S(f)|2 是偶函数，∴
E ? 2? G ( f )df
0 ?

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2.功率谱密度
令s(t)的截短信号为sT(t)，-T/2 < t <T/2，则有
E??
T /2 ?T / 2

s (t )dt ? ?
2 T

T /2

?T / 2

ST ( f ) df
T

2

定义功率谱密度为： P( f ) ? lim 1 ST ( f ) 2
T ?? ? 1 T /2 2 lim ? ST ( f ) df ? ? P( f )df 得到信号功率： P ? T ?? ?? T ?T / 2

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2.5 相关函数
1.自相关函数 ? 能量信号的自相关函数定义：
R(? ) ? ? s(t ) s(t ? ? )dt
?? ?

?? ?? ? ?

? 功率信号的自相关函数定义：
R(? ) ? lim 1 T /2 s(t ) s(t ? ? )dt T ?? T ??T / 2 ?? ?? ? ?

? 性质：

?R(?)只和 ? 有关，和 t 无关

?当? = 0时，能量信号的R(?)等于信号的能量；

功率信号的R(?)等于信号的平均功率。
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2.互相关函数 ? 能量信号的互相关函数定义：
R12 (? ) ? ? s1 (t )s2 (t ? ? )dt,
?? ?

? ? ?? ? ?

? 功率信号的互相关函数定义：

1 R12 (? ) ? lim T ?? T
? 性质：

?

T /2

?T / 2

s1 (t ) s2 (t ? ? )dt ,

?? ?? ? ?

?R12(?)只和 ? 有关，和 t 无关； ? R21 (? ) ? R12 (?? )

证：令x = t + ?，则
R21 (? ) ? ? s2 (t ) s1 (t ? ? )dt ? ? s2 ( x ? ? ) s1 ( x)dx
?? ?? ? ?

? ? s1 ( x) s2 [ x ? (?? )]dx ? R12 (?? )
??

?

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2.6 随机变量
1. 随机变量的分布函数
? 随机变量的概念：若某种试验A的随机结果用X表示，则称此

X为一个随机变量，并设它的取值为x。例如，在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。 ? 随机变量的分布函数： ? 定义：FX(x) = P(X ? x) ? 性质： ∵ P(a < X ? b) + P(X ? a) = P(X ? b), P(a < X ? b) = P(X ? b) – P(X ? a)， ∴ P(a < X ? b) = FX(b) – FX(a)

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? 离散随机变量的分布函数：

?设X的取值为：x1 ? x2 ? … ? xi ? xn，其取值的概率分

别为p1, p2, … , pi, … , pn，则有 P (X < x1) = 0, P(X ? xn) = 1 ? ∵P(X ? xi) = P(X = x1) + P(X = x2) + … + P(X = xi), ∴
?0 ? i ? F X ( x) ? ? pk ? k ?1 ?1 ? x ? x1 x1 ? x ? x i ?1 x ? xn

?

?性质：
? FX(-

?) = 0 ? FX(+?) = 1

? 若x1 < x2，则有: FX(x1) ? FX(x2) ，

为单调增函数。

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? 连续随机变量的分布函数：

当x连续时，由定义分布函数定义 FX(x) = P(X ? x) 可知， FX(x) 为一连续单调递增函数：

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2. 随机变量的概率密度
? 连续随机变量的概率密度pX (x) dFX ( x) ? pX (x)的定义： p X ( x ) ? dx
? pX

(x)的意义： ?pX (x)是FX (x)的导数，是FX (x)曲线的斜率 ?能够从pX (x)求出P(a < X ? b)：
P(a ? X ? b) ? ? p X ( x)dx
a b

? pX

(x)的性质：
FX ( x) ? ? p X ( y)dy
?? x

? ? ?

pX(x) ? 0

?

?

??

p X ( x)dx ? 1
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? 离散随机变量的概率密度

离散随机变量的分布函数可以写为：
FX ( x) ? ? pi u ( x ? xi )
i ?1 n

式中，pi － x = xi 的概率 u(x) －单位阶跃函数将上式两端求导，得到其概率密度：
p X ( x) ? ? pi? ( x ? xi )
i ?1 n

? 性质：

当 x ? xi 时，px (x) = 0，当 x = xi 时， px (x) = ?

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3. 常见随机变量举例
?正态分布随机变量
? 定义：概率密度

式中，? > 0, a = 常数
? 概率密度曲线：

? ( x ? a) 2 ? 1 p X ( x) ? exp?? 2 ? 2 ? 2? ? ? ?

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?均匀分布随机变量 ? 定义：概率密度
?1 /(b ? a) p X ( x) ? ? ?0 a? x?b

其他

式中，a，b为常数 ? 概率密度曲线：

pA(x)
1 b?a

0

a

b

x

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?瑞利(Rayleigh)分布随机变量 ? 定义：概率密度为
2x x2 p X ( x) ? exp(? ) a a x?0

式中，a > 0，为常数。 ? 概率密度曲线：

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4. 随机变量的数字特征
1) 数学期望
? 定义：对于连续随机变量 ? 性质： E (C ) ? C ?
? ?

E ( X ) ? ? xpX ( x)dx
??

?

E ( X ? Y ) ? E( X ) ? E(Y )

E( X 1 ? X 2 ? ? ? X n ) ? E( X 1 ) ? E( X 2 ) ? ? ? E( X n )
E (C ? X ) ? C ? E ( X )

? ?

E ( XY ) ? E ( X ) E (Y )

若X和Y互相独立，且E(X)和E(Y)存在。
?

E(CX) ? CE(X)

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2) 方差
2 ? 定义： D( X ) ? ? X ? E[( X ? X ) 2 ]

式中， ? X－标准偏差，

X－X的数学期望
2

? 方差的改写： D( X ) ? X 2 ? X

证： E[( X ? X ) 2 ] ? E[ X 2 ? 2 X X ? X 2 ] ? X 2 ? 2 X 2 ? X 2 ? X 2 ? X 2
? 对于离散随机变量， D( X ) ? ? ( xi ? X ) 2 pi
i

? 对于连续随机变量， D( X ) ? ( x ? X ) 2 p X ( x)dx ?
??

?

? 性质：
? D(

C)=0 ? D(X+C)=D(X)，D(CX)=C2D(X) ? D(X+Y)=D(X)+D(Y) ? D(X1 + X2 + … + Xn)=D(X1) + D(X2) + … + D(Xn)
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3) 矩
k ? 定义：随机变量X的k阶矩为 E[( X ? a) ] ? ??? ( x ? a) p X ( x)dx k ?

? k阶原点矩：a

= 0时的矩：
? ??

mk ( X ) ? ? x k p X ( x)dx
? k阶中心矩： a ? X
? ??

时的矩：

M k ( X ) ? ? ( x ? X ) k p X ( x)dx