模块2 信号(2)

? 性质：

一阶原点矩为数学期望： m1 ( X ) ? E( X ) 2 ? 二阶中心矩为方

差： M 2 ( X ) ? D( X ) ? ? X
?
返回
20

2.7 随机过程
1 随机过程的基本概念
? X(A, t) －事件A的全部可能“实现”的总体； ? X(Ai, t) －事件A的一个实现，为确定的时间函数； ? X(A, tk) －在给定时刻tk上的函数值。

X(A, t) ? X(t) X(Ai, t) ? Xi (t) ? 例：接收机噪声
? 简记：

2 随机过程的数字特征：
? 统计平均值：

E[ X (ti )] ? ? xpX i ( x)dx ? mX (ti )
??
2 D [ X ( t )] ? E { X ( t ) ? E [ X ( t )]} i i i ? 方差： ? 自相关函数： RX (t1 , t 2 ) ? E[ X (t1 ) X (t 2 )]

?

返回
21

2.8 平稳随机过程
1.严平稳随机过程与宽平稳随机过程
平稳随机过程的定义：
统计特性与时间起点无关的随机过程。（又称严格平稳随机过程） ? 广义平稳随机过程的定义：平均值、方差和自相关函数等与时间起点无关的随机过程。 ? 广义平稳随机过程的性质：
? E[X(t)] ? mX ? 常数 ?
2 D[ X ( t )] ? E{ X ( t ) ? E[ X ( t )]}2 ? ? X ? 常数

? R (t , t ) ? R (t - t ) ? R ( ? ) X 1 2 X 1 2 X

? ? t1 ? t2
22

? 严格平稳随机过程一定也是广义平稳随机过程。但是，广义

平稳随机过程就不一定是严格平稳随机过程。

2. 各态历经性
? “各态历经”的含义：

平稳随机过程的一个实现能够经历此过程的所有状态。 ? 各态历经过程的特点：可用时间平均值代替统计平均值，例 ? 各态历经过程的统计平均值mX：
1 m X ? lim T ?? T

?

T /2

?T / 2

X i (t )dt

? 各态历经过程的自相关函数RX(?):

R X (? ) ? lim

1 T ?? T

?

T /2

?T / 2

X i (t ) X i (t ? ? )dt

? 一个随机过程若具有各态历经性，则它必定是严格平稳随

机过程。但是，严格平稳随机过程就不一定具有各态历经性。

23

? 稳态通信系统的各态历经性：

假设信号和噪声都是各态历经的。
? 一阶原点矩mX =

E[X(t)] －是信号的直流分量；

? 一阶原点矩的平方mX 2 ? 二阶原点矩E

－是信号直流分量的归一化功率；

[X 2( t )] －是信号归一化平均功率；

? 二阶原点矩的平方根{E ? 二阶中心矩?X2 ? 若 mX ? 标准偏离?X ? 若 mX

[X 2(t)]}1/2 －是信号电流或电压的均方根值（有效值）；－是信号交流分量的归一化平均功率; = mX 2 = 0，则?X2 = E [X 2( t )] ；－是信号交流分量的均方根值； = 0，则?X就是信号的均方根值。
24

3. 平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度
? 自相关函数的性质
? ? ? ? ?

R(0) ? E[ X 2 (t )] ? PX
R(? ) ? R(?? )
R(? ) ? R(0)

R(?) ? E 2 [ X (t )]
2 R(0) ? R(?) ? ? X
2

? 功率频谱密度的性质
? 复习：确知信号的功率谱密度： P( f ) ? lim
T ??

ST ( f ) T

? 类似地，平稳随机过程的功率谱

密度为：
PX ( f ) ? E[ P( f )] ? lim
T ??

E ST ( f ) T

2

?平均功率：PX ? ??? PX ( f )df ???? lim
T ??

?

?

E[ ST ( f ) ] T

2

df
25

? 自相关函数和功率谱密度的关系

由

E[ S T ( f ) ] T

2

T /2 ?1 T /2 ? ? j?t ? E? sT (t )e dt sT * (t ' )e j?t ' dt'? ?T / 2 ? T ?T / 2 ? T /2 ?1 T /2 ? ? j?t ? E? s (t )e dt s (t ' )e j?t ' dt'? ?T / 2 ? T ?T / 2 ? 1 T /2 T /2 ? R(t ? t ' )e ? j? (t ?t ') dt' dt T ?T / 2 ?T / 2

?

?

?

?

? ?

式中， R(t ? t ?) ? E[s(t )s(t ?)] 令? =t – t’，k =t + t’，则上式可以化简成
E[ ST ( f ) ] T
2

? ? ? ? ? ?1 ? ?T T ?
T

? ? R (? )e ? j?? d? ? ?
2

于是有

PX ( f ) ? lim
? ??

E[ ST ( f ) ] T

T ??

? ? ? lim ? ? 1? T ?? ?T ? ? T
T

? ? R(? )e ? j?? d? ? ?
26

? ? R(? )e ? j?? d?

上式表明，PX(f )和R(? )是一对傅里叶变换：
PX ( f ) ? ? R(? )e ? j?? d?
?? ?

R(? ) ? ? PX ( f )e j?? df
??

?

? PX(f )的性质：

) ? 0, 并且PX(f )是实函数。 ? PX(f ) ＝PX(-f )，即PX(f )是偶函数。【例2.1】设有一个二进制数字信号x(t)，如图所示，其振幅为+a或-a；在时间 T 内其符号改变的次数k服从泊松分布
? PX(f

( ?T ) e P(k ) ? k!
k

? ?T

x(t)

t-?

t

,

k ?0

+a

式中，?是单位时间内振幅的符号改变的平均次数。-a

0

t

试求其相关函数R(?)和功率谱密度P(f)。

?
27

解：由图可以看出，乘积x(t)x(t-?)只有两种可能取值：a2, 或 -a2。因此，式可以化简为： R(?) = a2 ? [a2出现的概率] + (-a2) ? [(-a2)出现的概率] 式中，“出现的概率”可以按上述泊松分布 P(k)计算。若在 ? 秒内x(t)的符号有偶数次变化，则出现 + a2; 若在 ? 秒内x(t)的符号有奇数次变化，则出现 - a2。因此， R(? ) ? E[ x(t ) x(t ? ? )] ? a 2 [ P(0) ? P(2) ? P(4) ? ?]
? a 2 [ P(1) ? P(3) ? P(5) ? ?]

R( ? ) ? E [ x( t )x( t ? ? )]

用 ? 代替泊松分布式中的T，得到
( ?? ) 2 ( ?? ) 3 R(? ) ? a e [1 ? ? ? ? ?] 1! 2! 3! ? a 2 e ??? e ??? ? a 2 e ?2 ??
2 ? ??
28

??

由于在泊松分布中 ? 是时间间隔，所以它应该是非负数。所以，在上式中当?取负值时，上式应当改写成 R(? ) ? a 2 e 2 ?? 2 ?2 ? ? 将上两式合并，最后得到： R(? ) ? a e

其功率谱密度P( f )可以由其自相关函数R(?)的傅里叶变换求出： ? ? ?2 ? ?
P( f ) ?

?

??

R(? )e ? j?? d? ? e
? j??

?

??

a 2e

e ? j?? d? d? ?

?

?

?

0

a e

2 ? 2 ??

d? ?

?ae
??

0

2 ? 2 ??

e

? j??

? ?

?a 2 ?2 2
4

P( f )

和R(?)的曲线：

29

【例2.2】设一随机过程的功率谱密度P( f )如图所示。试求其自相关函数R(?)。解： ∵功率谱密度P( f )已知， ∴
R(? ) ? ? P( f )e
?? ? j 2?f?

df ? 2? P( f ) cos2?f?df ? 2? A cos2?f?df
0 f1

?

f2

sin 2??f? ? 4 A?f cos2?f 0? 2??f?

式中，?f ? f 2 ? f1 ,
2

f 2 ? f1 f0 ? 2

? 自相关函数曲线：

30

即

【例2.3】试求白噪声的自相关函数和功率谱密度。解：白噪声是指具有均匀功率谱密度Pn( f )的噪声， Pn( f ) ＝ n0/2 式中，n0为单边功率谱密度（W/Hz）白噪声的自相关函数可以从它的功率谱密度求得:
R(? ) ? ? PX ( f )e
?? ? j??

n0 j?? n0 df ? ? e df ? ? (? ) ?? 2 2
?

由上式看出，白噪声的任何两个相邻时间（即 ??0 R (?)
Pn(f) n0/2
n

时）的抽样值都是不相关的。白噪声的平均功率 : n0
R ( 0) ? 2

n0/2

? ( 0) ? ?

0

f

0

?

上式表明，白噪声的平均功率为无穷大。

31

? 带限白噪声的功率谱密度和自相关函数
? 带限白噪声：带宽受到限制的白噪声 ? 带限白噪声的功率谱密度：

设白噪声的频带限制在(-fH, fH)之间，则有 Pn(f) = n0 / 2, - fH < f < fH = 0, 其他处其自相关函数为： fH n n sin 2?f H? 0 j?? R(? ) ? ? e df ? 0 f H ? fH 2 2 2?f H?
? 曲线：
Pn(f)
n0/2
Rn(?)

-fH

0

fH

f
-1/2fH

0
1/2fH

?

返回 32

2.9 高斯过程（正态随机过程）
1.高斯过程的定义：
? 一维高斯过程的概率密度：

? ?x ? a ?2 ? p X ( x, t1 ) ? exp?? 2 ? 2? ? ? 2? ? 1

式中，a = E[X(t)] 为均值 ?2 = E[X(t) - a]2 为方差 ? 为标准偏差 ? ∵高斯过程是平稳过程，故其概率密度pX (x, t1)与t1无关，即， pX (x, t1) ＝ pX (x) ? pX (x)的曲线：
33

? 高斯过程的严格定义：任意n维联合概率密度满足：

p X ( x1 , x2 , ?, xn ; t1 , t 2 , ?, t n ) ? 1 (2? ) n / 2 ? 1? 2 ?? n B
1/ 2

? ?1 exp? ? ?2 B

? x j ? a j ?? xk ? ak ?? B jk ? ?? ? ? ?? ? j ?1 k ?1 j k ? ??
n n

?? ? ?? ?? ?

式中，ak为xk的数学期望（统计平均值）； ?k为xk的标准偏差； |B|为归一化协方差矩阵的行列式，即
1 B ? b21 ? bn1 b12 ? b1n 1 ? b2 n ? ? bn 2 ? 1

|B|jk为行列式|B|中元素bjk的代数余因子； bjk为归一化协方差函数，即