模块2 信号(3)

b jk ? E ?x j ? a j ?? xk ? a k ?

? j? k

34

2 n维高斯过程的性质
(x1, x2, … , xn; t1, t2, … , tn)仅由各个随机变量的数学期望 ai、标准偏差?i和归一化协方差bjk决定，因此它是一个广义平稳随机过程。 ? 若x1, x2, … , xn等两两之间互不相关，则有当 j ? k 时，bjk = 0。这时，
? pX

? ?xk ? ak ?2 ? p X ( x1 , x2 , ? , xn ; t1

, t 2 , ? , t n ) ? ? exp?? ? 2 2 ? 2? ? k k ?1 k ? ? ? p X ( x1 , t1 ) ? p X ( x2 , t 2 ) ? p X ( xn , t n )
n

1

即，此n维联合概率密度等于各个一维概率密度的乘积。
? 若两个随机变量的互相关函数等于零，则称为两者互不相

关；若两个随机变量的二维联合概率密度等于其一维概率密度之积，则称为两者互相独立。互不相关的两个随机变量不一定互相独立。互相独立的两个随机变量则一定互不相关。 ? 高斯过程的随机变量之间既互不相关，又互相独立。
35

3.正态分布的概率密度的性质
? p(x)对称于直线

x = a，即有：
?)内单调下降，

p ( a ? x) ? p ( a ? x )
? p(x)在区间(-?, a)内单调上升，在区间(a,

并且在点a处达到其极大值
?

1 /( 2? ? )

当x ? - ?或 x ? + ?时，p(x) ? 0。

? ?

?

??

p( x)dx ? 1 p( x)dx ? ? p( x)dx ? 1 / 2
a ?

a

??

? 若a

= 0, ? = 1，则称这种分布为标准化正态分布：
? x2 ? 1 p( x) ? exp ?? ? 2? ? 2?
36

4.正态分布函数
? 将正态概率密度函数的积分定义为正态分布函数

：

? ( z ? a) 2 ? 1 F ( x) ? ? exp?? ?dz 2 ?? 2? 2? ? ? ? x ? ( z ? a) 2 ? 1 ? x?a? ? exp ? dz ? ? ? ? ? ? 2 ? ?? ? 2 ? 2? ? ? ? ? ?
x

式中，?(x)称为概率积分函数：

? ( x) ?

1 2?

? z2 ? ? dz ? ??? exp ? ? 2?
x

此积分不易计算，通常用查表方法计算。

37

5 用误差函数表示正态分布
? 误差函数定义：

erf ( x) ?

2

?

?

x

0

e

?z2

dz

? 补误差函数定义：

erfc( x) ? 1 ? erf ( x) ? 1 ?

2

?

?

x

0

e

?z2

dz ?

2

?

?

?

x

e

?z2

dz

?

正态分布表示法：
?1 1 ? x?a? ?, ? ? erf ? ?2 2 ? 2? ? F ( x) ? ? x?a? ?1 ? 1 erfc? ? ?, ? ? 2? ? ? 2 x ? a, x?a
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38

噪声是通信系统中的有害电信号（或干扰）。 2.10 通信系统中的噪声 1. 噪声分类（1）按照来源分类，噪声可分为人为噪声和自然噪声。人为噪声是由人类的活动产生的，例如开关噪声，汽车点火系统产生的电火花，电台和家用电器等产生的电磁波辐射等。自然噪声主要有大气噪声、太阳和银河系等产生的宇宙噪声，电子元器件等产生的热噪声。 （2）按照性质分类，噪声可分为脉冲噪声、窄带噪声和起伏噪声。脉冲噪声是在时间上无规律的突发脉冲干扰，例如电钻和电气开关瞬态产生的电火花，汽车点火产生的电火花，雷电等。脉冲噪声的特点是： ① 以突发脉冲形式出现； ② 干扰持续时间短； ③ 干扰幅度大； ④ 脉冲出现的时刻是随机的； ⑤ 相邻突发脉冲之间有较长的安静时间

。脉冲噪声对数字通信的影响表现为出现突发错误。

窄带噪声主要是来自电台和其他电子设备的无线电干扰，窄带噪声可以看作是一种连续的已调正弦波干扰。通常可通过合理设计系统(例如频率规划、跳频、跳时等) 来避免窄带噪声的干扰。起伏噪声是一种持续波随机噪声，例如热噪声、散弹噪声和宇宙噪声等。起伏噪声(特别是热噪声) 具有很宽的带宽，且始终存在，它是影响通信系统性能的主要因素。

2. 热噪声热噪声是由电阻性元器件中电子热运动产生的。在通信系统中，电阻器件噪声、天线噪声、馈（kui）线噪声和接收机产生的噪声都可以等效成热噪声。在一个阻值为R的电阻两端所产生的热噪声的单边功率谱为
4 Rhf Pn ( f ) ? V 2 / Hz ? hf ? exp ? ? ?1 ? KT ?

(n即noise表示噪声)

式中，T为所测电阻的绝对温度; K=1.38054×10-23J/K，为玻耳兹曼常数; h=6.6254×10-34，为普朗克常数。在室温条件下，f＜1000GHz时，其功率谱密度基本上是平坦的，这种在很宽的频率范围内具有平坦功率谱密度的噪声称为白噪声。通信系统中热噪声的功率谱密度为
Pn(f)=2RKT V2/Hz

( n即noise表示噪声)

一个电阻两端产生的热噪声电压有效值为 ( n即noise表示噪声) U n ? 2KTRB 式中，B为带宽；R为电阻值。热噪声可以看作是一个零均值的高斯随机过程，热噪声电压的一维概率密度函数为
f n (u ) ? ? u2 1 exp ? ? 2? 2 2π? n n ? ? ? ? ?

( n即noise表示噪声)

3. 白噪声理想白噪声是指其功率谱密度函数在整个频率域（－∞＜f＜∞）内为常数，即双边功率谱密度为 n0 Pn ( f ) ? W/Hz

2

对Pn(f)求傅里叶反变换可得到白噪声的自相关函数，即
n0 Rn (? ) ? ? (? ) 2

式中，δ(τ)为冲激函数。由于τ≠0时，R(τ)=0，因此，白噪声的任意两个样值都是不相关的。

Pn ( f )

Rn (?? )

n0 2

n0 ? (? ) 2

O

f

O

?

(a)

(b)

图 1-9 白噪声的特性 (a)白噪声的功率谱密度； (b) 白噪声的自相关函数在实际中，真正的白噪声是不存在的。对于带宽有限的通信系统，若噪声带宽远大于系统带宽，就可认为噪声的带宽是无限的，可将其看作是白噪声。

4. 高斯噪声高斯噪声是指其概率密度函数服从高斯分布 (即正态分布)的一类噪声，热噪声就是一种高斯噪声。 5. 高斯白噪声高斯白噪声是指噪声的概率密度函数满足正态分布统计特性，同时它的功率谱密度函数是常数的一类噪声。  在通信系统理论分析中，通常假定通信系统信道中的噪声为高斯白噪声(AWGN)。这是因为根据香农信息理论的最大熵定理，高斯白噪声具有最大噪声熵，即高斯白噪声是最有害的噪声，

在一定平均功率条件下造成最大数量的有害信息。将高斯白噪声作为设计标准，这不完全是为了简化分析，而是根据最坏的条件来设计高可靠性的通信系统。

?

6. 窄带高斯白噪声窄带高斯白噪声的“窄带”是系统的频带比起中心频率（中心频率（Fo): 通常定义为带通滤波器（或带阻滤波器）的两个3 dB点之间的中点，一般用两个3 dB点的算术平均来表示。dB就是分贝的意思，在通信方面一般都是用dB来表示一些参数。）小得多， “白”是指噪声的功率谱密度函数是常数，“高斯”是指噪声的概率密度函数服从正态分布。

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2.11 信号通过线性系统
1 线性系统的基本概念
?线性系统的特性 ? 有一对输入端和一对输出端 ? 无源 ? 无记忆 ? 非时变 ? 有因果关系：先有输入、后有输出 ? 有线性关系：满足叠加原理若当输入为xi(t)时，输出为yi(t)，则当输入为 x(t ) ? a1 x1 (t ) ? a2 x2 (t ) 时，输出为：

y(t ) ? a1 y1 (t ) ? a2 y2 (t )
式中，a1和a2均为任意常数。
47

?线性系统的示意图
?(t)
输入线性系统输出

x(t)
X(f)

h(t)
H(f)
图2.10.1 线性系统示意图

y(t)
Y (f )

0 h (t )

t

2 确知信号通过线性系统
? 时域分析法

0

t

设h(t) －系统的冲激响应 x(t) －输入信号波形
对于物理可实现系统：

y(t) －输出信号波形
则有：
y (t ) ? x(t ) ? h(t )

h(t ) ? 0,

t?0

? ??
?

?

?? ?

x(? )h(t ? ? )d? x(t ? ? )h(? )d?

?

?

??

h(t ) dt ? ?

??

48

? 频域分析法
? 设：输入为能量信号，令

x( t ) －输入能量信号 H( f ) － h( t )的傅里叶变换 X( f ) － x( t )的傅里叶变换 y( t ) －输出信号
则此系统的输出信号y( t )的频谱密度Y( f )为：
Y( f ) ? X ( f )? H( f )

?由Y( f )的逆傅里叶变换可以求出y( t )：
y(t ) ? ? Y ( f )e j?t df
?? ?

49

? 设：输入x(

t )为周期性功率信号，则有
n ??? jn?0t C ( jn ? ) e ? 0 ?

x(t ) ?

式中， ? = 2?/T 0 0 T0 －信号的周期
1 C ( jn?0 ) ? T0

f0 = ?0 / 2?是信号的基频

?

T0 / 2

?T0 / 2

x(t )e ? jn?0t dt

输出为：
y (t ) ?
? 设：输入x(
n ? ?? jn?0t C ( jn ? ) H ( n ? ) e ? 0 0 ?

t )为非周期性功率信号，则当作随机信号处理
50

? 【例2.4】若有一个RC低通滤波器，如图2.10.4所示。试

求出其冲激响应，以及当有按指数衰减的输入时其输出信号表示式。 R 解:设 x(t) －输入能量信号 C y(t) x(t) y(t) －输出能量信号 X(f) － x(t)的频谱密度图2.10.4 RC滤波器 Y(f) － y(t)的频谱密度则此电路的传输函数为：
H( f ) ? 1 / j?C 1 ? R ? (1 / j?C ) 1 ? j?RC