模块2 信号(4)

此滤波器的冲激响应h(t)：
h(t ) ? ? H ( f )e
?? ? j?t

df ?

?

1 1 ?t / RC e j?t df ? e ?? 1 ? j?RC RC
?

51

滤波器输出和输入之间的关系：
y (t ) ? x(t ) ? h(t ) ? ? x(? )h(t ? ? )d? ?
?? ?

1 RC

?

?

??

x(? )e ?(t ?? ) / RC d?

?e ? at , x(t ) ? ? ?0, 则此滤波器的输出为：
假设输入x(t)等于：
1 y (t ) ? RC

t?0 t?0
? (1 / RC ? a ) t
0

?e
0

t

? a?

e

? (t ?? ) / RC

d? ?

e

?t / RC

e ? RC 1 / RC ? a

e ? at ? e ?t / RC ? 1 ? aRC

52

? 无失真传输条件

设：系统是无失真的线性传输系统，输入为一能量信号x(t) ，则其无失真输出信号y(t)为：
y(t ) ? kx(t ? t d )

式中，k －衰减常数， td －延迟时间。 ? 求系统的传输函数：对上式作傅里叶变换：
Y ( f ) ? kX ( f )e ? j?td

Y ( f ) ? X ( f ) ? H ( f ) ? kX ( f )e ? j?td

∴

H ( f ) ? ke

? j?t d

? ke

? j?

|H(f)|

?

k 0 f

式中， ? ? 2?ftd 0 f ? 无失真传输条件： ?振幅特性与频率无关； ?相位特性是通过原点的直线。（实际中，?难测量，常用测量td代替。）

53

3 随机信号通过线性系统
? 物理可实现线性系统，若输入为确知信号，则有

y(t ) ? ? h(? ) x(t ? ? )d?
0

?

若输入为平稳随机信号X(t)，则输出Y(t)为
Y (t ) ? ? h(? ) X (t ? ? )d?
0 ?

? 输出Y(t)的数学期望E[Y(t)]
? ? ? ? E[Y (t )] ? E ? h(? ) X (t ? ? ) d? ? ? h(? ) E[ X (t ? ? )]d? ? ? 0 ?0 ?

由于已假设输入是平稳随机过程，故 E[X(t-?)] = E[X(t)] = k，k = 常数。
? ??

E[Y (t )] ? k ? h(? )d?
0

?

∵ H ( 0 ) ? H ( f ) | f ?0 ? h( t )e? j?t dt | f ?0 ? h( t )dt ? ?
0

?

∴输出的数学期望： E?Y (t )? ? kH (0)
54

? 输出Y(t)的自相关函数

由自相关函数定义，有 RY (t1 , t1 ? ? ) ? E?Y (t1 )Y (t1 ? ? )?
? ? ? ? E ? h(u ) X (t1 ? u )du? h(v) X (t1 ? ? ? v)dv? ? ? 0 ?0 ?

??

?

0

?

?

0

h(u )h(v) E?X (t1 ? u ) X (t1 ? ? ? v)?dudv

由X(t)的平稳性知，上式中的数学期望与t1无关，故有 E?X (t1 ? u) X (t1 ? ? ? v)? ? RX ?? ? u ? v?

∴

RY ?t1 , t1 ? ? ? ? ?

?

0

?

?

0

h(u)h(v) RX ?? ? u ? v ?dudv ? RY (? )

? 由于Y(t)的数学期望和自相关函数都和t1无关，故Y(t)是广义平

稳随机过程。

55

? 输出Y(t)的功率谱密度PY( f ) ：

由于功率谱密度是自相关函数的傅里叶变换，故有
PY ( f ) ? ? RY (? )e ? j?? d?
?? ?

? ? d? ? du? h(u )h(v) RX (? ? u ? v)e ? j?? dv
?? 0 0

?

?

?

令?? = ? +u - v代入上式，得到
PY ( f ) ? ? h(u )e
0 ? j?u

du? h(v)e
0

?

? j?v

dv? R X (? ?)e ? j?? ? d? ?
?? 2

?

? H * ( f ) H ( f ) PX ( f ) ? H ( f ) PX ( f )

∴输出信号的功率谱密度等于输入信号的功率谱密度乘以 |H( f )|2。

56

【例2.5】已知一个白噪声的双边功率谱密度为n0/2。试求它通过一个理想低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声功率。解：因为理想低通滤波器的传输特性可以表示成：
? j?t ? ?ke d , H( f ) ? ? ? ?0,

f ? fH 其它处

所以有

H( f ) ? k2,

2

输出信号的功率谱密度为
PY ( f ) ? H ( f ) PX ( f ) ? k 2
2

f ? fH
n0 , 2

f ? fH

输出信号的自相关函数
RY (? ) ? ? PY ( f )e
?? ? j??

df ? k n0 / 4?
2

?

??

fH

? fH

e j?? df ? k 2 n0 f H (sin 2?f H? / 2?f H? )
返回 57

输出噪声功率： PY ＝ RY(0) = k2 n0 fH

2.12 窄带随机过程
1 窄带随机过程的基本概念
? 何谓窄带？

设随机过程的频带宽度为?f，中心频率为fc。若?f << fc，则称此随机过程为窄带随机过程。
? 窄带随机过程的波形和表示式
? 波形和频谱：

频率近似为fc

58

? 表示式

X ( t ) ? aX ( t ) cos[?0t ? ? X ( t )], aX ( t ) ? 0 式中，aX(t) －窄带随机过程的随机包络； ?X(t) －窄带随机过程的随机相位； ?0 －正弦波的角频率。上式可以改写为： X ( t ) ? X c ( t ) cos?0t ? X s ( t ) sin ?0t

式中，
X c (t ) ? aX (t ) cos? X (t )
X s (t ) ? a X (t ) sin ? X (t )

－ X (t)的同相分量－ X (t)的正交分量

59

2 窄带随机过程的性质
Xc(t)和Xs(t)的统计特性：设X(t)是一个均值为0的平稳窄带高斯过程，则 ? Xc(t)和Xs(t)也是高斯过程； ? Xc(t)和Xs(t) 的方差相同，且等于X(t)的方差； ? 在同一时刻上得到的Xc和Xs是不相关的和统计独立的。 ? aX(t)和?X(t)的统计特性： ? 窄带平稳随机过程包络aX(t)的概率密度等于：
?
2 ? aX ? p(a X ) ? 2 exp?? 2 ? ?X 2 ? X ? ?

aX

aX ? 0

?

窄带平稳随机过程相位?X(t)的概率密度等于：
p (? X ) ? 1 2? 0 ? ? X ? 2?

返回 60

2.13 正弦波加窄带高斯过程
?
?

通信系统中的正弦波加窄带高斯过程：正弦波加噪声的表示式：
r (t ) ? A cos(?0t ? ? ) ? n(t )

?

式中， A －正弦波的确知振幅； ?0 －正弦波的角频率； ? －正弦波的随机相位； n(t) －窄带高斯噪声。 r (t )的包络的概率密度：
? Ax ? ? 1 p r ( x) ? 2 I 0 ? 2 ? exp?? 2 x 2 ? A 2 ? ?? ? ? 2? x

?

?

? , ? ?

x?0

?

式中， ? 2 － n(t)的方差； I0(?) －零阶修正贝塞尔函数。 pr(x) 称为广义瑞利分布，或称莱斯(Rice)分布。当A = 0时， pr(x) 变成瑞利概率密度。

61

?

r (t )的相位的条件概率密度：
exp ? A2 / 2? 2 pr (? / ? ) ? 2? ? A2 ?? A cos?? ? ? ? ? A cos?

? ? ? ?? ? 2 ? exp?? 2 sin ?? ? ? ?? ?1 ? erf ? ? 1/ 2 1/ 2 ? 2 ? 2 ? 2?2? ? ? ? ?? ? ??

?

?

?

式中，? － r( t )的相位，包括正弦波的相位? 和噪声的相位 pr(? /? ) －给定? 的条件下， r( t )的相位的条件概率密度 r (t )的相位的概率密度:
0 ? 当? = 0时，

pr (? ) ? ? pr ?? / ? ? pr ?? ?d?

2?

? A2 ? 1 2 ? p r (? / 0) ? exp? ? 1 ? G ? [ 1 ? erf ( G )] exp G ? 2? 2 ? 2? ? ?

?

?

0 ? ? ? 2?

式中， G ? A cos? 2?

erf (G ) ?

2

?

?

G

0

e dt
62

?t 2

?

莱斯分布的曲线 ? 当A/? = 0时，包络?瑞利分布相位?均匀分布 ? 当A/?很大时，包络?正态分布相位?冲激函数

瑞利分布

概率密度

r 包络r

(a) 莱斯分布包络的概率密度

概率密度

均匀相位

相位

返回

(b) 莱斯分布相位的概率密度

63