专题3.12 函数的零点——关键抓住破题题眼
1．f(x)＝2sinπx－x＋1的零点个数为()
A．4
C．6
答案 B
解析 ∵2sinπx－x＋1＝0，∴2sinπx＝x－1，图象如图所示，由图象看出y＝2sinπx与y＝x－1有5个交点，
∴f(x)＝2sinπx－x＋1的零点个数为5. B．5 D．7
2．设函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是()
A．[－4，－2]
C．[0,2]
答案 A
解析 f(0)＝4sin1>0，f(2)＝4sin5－2，由于π<5<2π，
所以sin5<0，故f(2)<0，则函数在[0,2]上存在零点；
由于f(－1)＝4sin(－1)＋1<0，故函数在[－1,0]上存在零点，也在[－2,0]上存在零点；
5π－2令x＝[2,4]， 4
5π－25π－218－5π5π5π－2则f)＝4sin4－， 42444
而f(2)<0，所以函数在[2,4]上存在零点．选A.
??log0.5?x＋1?，0≤x<1，3．定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝?则关于x的函数F(x)?1－|x－3|，x≥1，?B．[－2,0] D．[2,4]
＝f(x)－a(0<a<1)的所有零点之和为()
A．1－2a
C．1－2a －B．2a－1 D．2a－1 －
答案 A
解析 当0≤x<1时，f(x)≤0.
由F(x)＝f(x)－a＝0，画出函数y＝f(x)与y＝a的图象如图．
函数F(x)＝f(x)－a有5个零点．
当－1<x<0时，0<－x<1，
所以f(－x)＝log0.5(－x＋1)＝－log2(1－x)，
即f(x)＝log2(1－x)，－1<x<0.
由f(x)＝log2(1－x)＝a，
解得x＝1－2a，
因为函数f(x)为奇函数，
所以函数F(x)＝f(x)－a(0<a<1)的所有零点之和为1－2a.
?ex－x－2，x≤0，?4．已知f(x)＝?则函数的零点个数为( ) 2?ln?x－x＋1?，x>0，?
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 当x>0时，由f(x)＝0，即ln(x2－x＋1)＝0，
得x2－x＋1＝1，解得x＝0(舍去)或x＝1.
当x≤0时，f(x)＝ex－x－2，f′(x)＝ex－1≤0，
所以函数f(x)在(－∞，0]上单调递减．
而f(0)＝e0－0－2＝－1<0，f(－2)＝e2－(－2)－2＝e2>0， －－
故函数f(x)在(－2,0)上有且只有一个零点．
综上，函数f(x)只有两个零点．
5．(2014·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是( )
A．(2，＋∞)
C．(1，＋∞)
答案 B
解析 f′(x)＝3ax2－6x，
当a＝3时，f′(x)＝9x2－6x＝3x(3x－2)，
22则当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；x∈(0，)时，f′(x)<0；x∈(，＋∞)时，33
25f′(x)>0，注意f(0)＝1，f＝，则f(x)的大致图象如图1所示． 39
不符合题意，排除A、C.图
1
B．(－∞，－2) D．(－∞，－1)
43当a＝－时，f′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，则当x∈(－∞，－)时，32
3f′(x)<0，x∈(－，0)时，f′(x)>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0，注意f(0)2
35＝1，f(－＝－，则f(x)的大致图象如图2所示．图2 24
不符合题意，排除D.
??kx＋1，x≤0，6．已知函数f(x)＝?则下列关于函数y＝f(f(x))＋1的零点个数的判断正确的是?lnx，x>0，?
( )
A．当k>0时，有3个零点；当k<0时，有2个零点
B．当k>0时，有4个零点；当k<0时，有1个零点
C．无论k为何值，均有2个零点
D．无论k为何值，均有4个零点
答案 B
解析 当k>0时，f(f(x))＝－1，综合图(1)分析，
1则f(x)＝t1∈(－∞，－)或f(x)＝t2∈(0,1)． k
对于f(x)＝t1，存在两个零点x1，x2；
对于f(x)＝t2，存在两个零点x3，x4.
此时共计存在4个零点．
当k<0时，f(f(x))＝－1，结合图(2)分析，
则f(x)＝t∈(0,1)，此时仅有1个零点x0.故选B.
7．已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0，且a≠1)，当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________.
答案 2
解析 由于2<a<3<b<4，故f(1)＝loga1＋1－b＝1－b<0，
而0<loga2<1,2－b∈(－2，－1)，
故f(2)＝loga2＋2－b<0，
又loga3∈(1,2)，3－b∈(－1,0)，
故f(3)＝loga3＋3－b>0，
因此函数必在区间(2,3)内存在零点，故n＝2.
8．方程2x＋x2＝3的实数解的个数为________． －
答案 2
1－解析 方程变形为3－x2＝2x＝(x， 2
1令y1＝3－x2，y2＝)x. 2
如图所示，由图象可知有2个交点．
9．已知函数f(x)＝2ax2＋2x－3.如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，则实数a的取值范围为________．
1? 答案 ?2??
解析 若a＝0，则f(x)＝2x－3，
3f(x)＝0?x＝[－1,1]，不合题意，故a≠0. 2
下面就a≠0分两种情况讨论：
15(1)当f(－1)·f(1)≤0时，f(x)在[－1,1]上至少有一个零点，即(2a－5)(2a－1)≤0a≤22
－?f?1?≤0，f????2a?
1(2)当f(－1)·f(1)>0时，f(x)在[－1,1]上有零点的条件是?－1<－<1，2a??f?－1?·f?1?>0，
1?综上，实数a的取值范围为??2?.
?|x2＋5x＋4|，x≤0，?10．(2014·天津)已知函数f(x)＝? ?2|x－2|，x>0.?1 5 解得a>2
若函数y＝f(x)－a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为________．
答案 1<a<2
解析 画出函数f(x)的图象如图所示．
函数y＝f(x)－a|x|有4个零点，即函数y1＝a|x|的图象与函数f(x)的图象有4个交点(根据图象知需a>0)．
当a＝2时，函数f(x)的图象与函数y1＝a|x|的图象有3个交点．故a<2. 当y＝a|x|(x≤0)与y＝|x2＋5x＋4|相切时，在整个定义域内，f(x)的图象与y1＝a|x|的图象有5个交点，
?y＝－ax?此时，由?得x2＋(5－a)x＋4＝0. 2??y＝－x－5x－4
由Δ＝0得(5－a)2－16＝0，解得a＝1，或a＝9(舍去)，
则当1<a<2时，两个函数图象有4个交点．
故实数a的取值范围是1<a<2.
11．已知函数f(x)＝lnx＋x2.
(1)若函数g(x)＝f(x)－ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；
(2)在(1)的条件下，若a>1，h(x)＝e3x－3aex，x∈[0，ln 2]，求h(x)的极小值；
(3)设F(x)＝2f(x)－3x2－kx(k∈R)，若函数F(x)存在两个零点m，n(0<m<n)，且2x0＝m＋n.问：函数F(x)在点(x0，F(x0))处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由．
1解 (1)g(x)＝f(x)－ax＝lnx＋x2－ax，g′(x)＝＋2x－a. x
由题意，知g′(x)≥0在x∈(0，＋∞)内恒成立，
1即a≤(2xmin. x
12又x>0,2x＋22，当且仅当x时等号成立． x2
1故(2x＋)min＝2，所以a≤2x
(2)由(1)知，1<a≤令ex＝t，则t∈[1,2]，则h(t)＝t3－3at.
h′(t)＝3t2－3a＝3(ta)(t＋a)．
由h′(t)＝0，得ta或t＝－a(舍去)，
3∵a∈2]a∈， 4
①若1<ta，则h′(t)<0，h(t)单调递减； a<t≤2，则h′(t)>0，h(t)单调递增．
故当t＝a时，h(t)取得极小值，
极小值为h(a)＝aa－3a＝－2a.
(3)设F(x)在(x0，F(x0))的切线平行于x轴，
其中F(x)＝2ln x－x2－kx.
?2ln n－n－kn＝0，②?结合题意，有?m＋n＝2x，③
2??x－2x－k＝0，④20002ln m－m2－km＝0，①
m①－②得2ln (m＋n)(m－n)＝k(m－n)． n
m2ln n所以k＝－2x0. m－n
2由④得k＝2x0. x0
m2?1?nm2?m－n?所以ln ⑤ nmm＋n1n
2?u－1?m设u＝(0,1)，⑤式变为lnu－0(u∈(0,1))． nu＋1
2?u－1?设y＝lnuu∈(0,1))， u＋1
212?u＋1?－2?u－1??u＋1?－4uy－＝u?u＋1?u?u＋1??u－1?2
＝， u?u＋1?2?u－1?所以函数y＝lnu－在(0,1)上单调递增， u＋1
因此，y<y|u＝1＝0，即lnu－2?u－1?u＋1
m2?1?mn也就是，< nm1n
所以F(x)在(x0，F(x0))处的切线不能平行于x轴．
12．(2014·四川)已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.71828…为自然对数的底
数．
(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值；
(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0,1)内有零点，证明：e－2<a<1.
(1)解 由f(x)＝ex－ax2－bx－1，
有g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b.
所以g′(x)＝ex－2a.
因此，当x∈[0,1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．
1当a≤g′(x)≥0， 2
所以g(x)在[0,1]上单调递增，
因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b；
e当a≥g′(x)≤0，所以g(x)在[0,1]上单调递减， 2
因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；
1e当a<g′(x)＝0得x＝ln(2a)∈(0,1)， 22
所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增． 于是，g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))
＝2a－2aln(2a)－b.
1综上所述，当a≤时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b； 2
1e当a<g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b； 22
e当a≥g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b. 2
(2)证明 设x0为f(x)在区间(0,1)内的一个零点，则由f(0)＝f(x0)＝0可知f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．
则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负．
故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.
同理，g(x)在区间(x0,1)内存在零点x2，
所以g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点．
1由(1)知，当a≤时，g(x)在[0,1]上单调递增， 2
故g(x)在(0,1)内至多有一个零点．
e当a≥g(x)在[0,1]上单调递减， 2
故g(x)在(0,1)内至多有一个零点．
1e<a<22
此时g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减， 在区间(ln(2a)，1]上单调递增．
因此x1∈(0，ln(2a)]，x2∈(ln(2a)，1)，必有 g(0)＝1－b>0，g(1)＝e－2a－b>0.
由f(1)＝0，有a＋b＝e－1<2，有
g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0.
解得e－2<a<1.
所以函数f(x)在区间(0,1)内有零点时，e－2<a<1.
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