1．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为()
A．圆
C．双曲线 B．椭圆 D．抛物线
解析：依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线．
答案：D
→→
2．长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动，AC＝2CB，则点C的轨迹是()
A．线段
C．椭圆 B．圆 D．双曲线
解析：设C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则a2＋b2＝9，①
→→
又AC＝2CB，
所以(x－a，y)＝2(－x，b－y)，
?a＝3x
即?3?b＝2y ②
1把②代入①式整理可得：x2＋42＝1.
故选C.
答案：C
3．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为()
A．x2＋y2＝2
C．x2＋y2＝2(x≠±2) B．x2＋y2＝4 D．x2＋y2＝4(x≠±2)
A．y2＝2x
1C．y＝2 2B．y2＝4x 1D．y＝4x 2
解析：设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，
→→→
∵PM⊥PF，PM＝(x0，－y0)，
→
PF＝(1，－y0)，
∴(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，
∴x0＋y20＝0.
→→
由MN＝2MP得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，
?0??x－x0＝－2x0，∴?即?1?y＝2y，y0＝.?0 x＝－x，2?
y2∴－x＋40，
即y2＝4x.
故所求的点N的轨迹方程是y2＝4x.
故选B.
答案：B
6．已知点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为
( )
y2A．x－8＝1(x>1) 2
2yC．x2＋81(x>0) y2B．x－81(x<－1) 22yD．x2101(x>1)
解析：设另两个切点为E、F，如图所示，
则|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|，|NF|＝|NB|.
从而|PM|－|PN|＝|ME|－|NF|
＝|MB|－|NB|＝4－2＝2<|MN|，
∴P点的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支． 又∵a＝1，c＝3，∴b2＝8.
y2故方程为x－81(x>1)． 2
答案：A
xy7．直线a1与x，y轴交点的中点的轨迹方程是________． 2－a
xy解析：直线a1与x，y轴的交点为A(a,0)，B(0,2－a)，2－a
aa设AB的中点为M(x，y)，则x＝2y＝1－2，消去a，得x＋y＝1.∵a≠0
且a≠2，∴x≠0且x≠1.
答案：x＋y＝1(x≠0且x≠1)
18．设抛物线C1的方程为y＝202，它的焦点F关于原点的对称
点为E.若曲线C2上的点到E、F的距离之差的绝对值等于6，则曲线C2的标准方程为________．
12解析：方程y＝20x可化为x2＝20y，它的焦点为F(0,5)，所以点
E的坐标为(0，－5)，根据题意，知曲线C2是焦点在y轴上的双曲线，
y2x2
设方程为a－b1(a>0，b>0)，则2a＝6，a＝3，又c＝5，b2＝c2－a2＝16，
y2x2所以曲线C2的标准方程为9－161.
y2x2答案：916＝1
9．曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹．给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
12③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于2.
其中，所有正确结论的序号是________．
解析：设P(x，y)为曲线C上任意一点，
则由|PF1|·|PF2|＝a2，得
?x＋1?＋y?x－1?＋y＝a2.
把(0,0)代入方程可得1＝a2，与a>1矛盾，故①不正确；
当M(x，y)在曲线C上时，点M关于原点的对称点M′(－x，－y)也满足方程，
故曲线C关于原点对称，故②正确；
11212S△F1PF2＝2|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝2asin∠F1PF2≤2a，故③正
确．
答案：②③
x2y210．设A1，A2是椭圆94＝1的长轴两个端点，P1，P2是垂直
于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为( )
x2y2A.941
x2y2C.9－4＝1 y2x2B.941 y2x2D.94＝1
解析：设交点为P(x，y)，A1(－3,0)，A2(3,0)，P1(x0，y0)，P2(x0，－y0)，
y－y0y∵A1，P1，P共线，∴① x－x0x＋3
y＋y0y∵A2，P2，P共线，∴② x－x0x－3
93y由①②解得x0＝xy0＝x
22xyx2y294＝1, 化简，得941.
11．[2014·蚌埠模拟]已知点C(1,0)，点A、B是⊙O：x2＋y2＝9
→→
上任意两个不同的点，且满足AC·BC＝0，设P为弦AB的中点．
(1)求点P的轨迹T的方程；
(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x＝－1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．
→→
解：(1)连接CP、OP，由AC·BC＝0，知AC⊥BC，
1∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝2AB|.
由垂径定理知|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，
即|OP|2＋|CP|2＝9.
设点P(x，y)，有(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9，
化简，得到x2－x＋y2＝4.
(2)根据抛物线的定义，到直线x＝－1的距离等于到点C(1,0)的
p距离的点都在抛物线y＝2px2＝1， 2
∴p＝2，故抛物线方程为y2＝4x.
2??y＝4x，2由方程组?2得x＋3x－4＝0， 2?x－x＋y＝4，?
解得x1＝1，x2＝－4，由于x≥0，
故取x＝1，此时y＝±2.
故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．
12．设M、N为抛物线C：y＝x2上的两个动点，过M、N分别作抛物线C的切线l1、l2，与x轴分别交于A、B两点，且l1与l2相交于点P，若|AB|＝1.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)求证：△MNP的面积为一个定值，并求出这个定值． 解：(1)设M(m，m2)，N(n，n2)，则依题意知，切线l1，l2的方程
mn分别为y＝2mx－m，y＝2nx－n，则A(20)，B(20)． 22
2?x＝??y＝2mx－m，设P(x，y)，由?得?2?y＝2nx－n，? m＋n2，?y＝mn. ①
因为|AB|＝1，所以|n－m|＝2，
即(m＋n)2－4mn＝4，将①代入上式，得
y＝x2－1.
∴点P的轨迹方程为y＝x2－1.
(2)证明：设直线MN的方程为y＝kx＋b(b>0)．
??y＝kx＋b，联立方程? 2??y＝x，
消去y，得x2－kx－b＝0.
所以m＋n＝k，mn＝－b.②
点P到直线MN的距离
m＋n|k?2－mn＋b|
d＝， 1＋k
|MN|＝1＋k|m－n|，
1∴S△MNP＝2·|MN|
1m＋n＝2k(2－mn＋b|·|m－n| 1＝4(m－n)2·|m－n|＝2. 即△MNP的面积为定值2.
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