曲线与方程
考纲要求
1.理解坐标法研究解析几何问题的基本思想，会根据条件求曲线的轨迹方程.
2.掌握常用的几种求轨迹方程的方法．
基础知识梳理
1．曲线与方程
在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系：
(1)曲线C
(2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都．那么这个方程叫做，这条曲线叫做．
2．求动点的轨迹方程的一般步骤
(1)建系——建立适当的坐标系．
(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)．
(3)列式——列出动点P所满足的关系式．
(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简．
(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．
3．两曲线的交点
(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．
(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．
4.求轨迹方程的常用方法
(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0；
(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；
(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；
(4)代入法(相关点法)：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程；
(5)参数法：当动点P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程． 预习自测
????????1．已知点A(－2,0)、B(3,0)，动点P(x，y)满足PA?PB＝x2－6，则点P的轨迹方程是__________．
2．已知两定点A(－2,0)、B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形
的面积为________．
3．方程(2x＋3y－
A．两条直线
C．两条线段 1)＝0表示的曲线是 B．两条射线 D．一条直线和一条射线( )
4．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的
一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是
A．2x＋y＋1＝0
C．2x－y－1＝0 B．2x－y－5＝0 D．2x－y＋5＝0
( ) ( ) 5．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为
A．圆
B．椭圆 D．抛物线
典型例题
考点1 直接法求轨迹方程 C．双曲线
?????????????【典例1】已知M(4,0)，N(1,0)，若动点P满足MN?MP?6NP|.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)设Q是曲线C上任意一点，求Q到直线l：x＋2y－12＝0的距离的最小值．
【变式1】如图所示，过点P(2,4)作互相垂直的直线l1，l2，若l1交x
轴于A，l2交y轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程．
考点2 定义法求轨迹方程
【典例2】已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且|O1O2|＝4.动圆M与圆O
1
内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．
【变式2】如图，点A为圆形纸片内不同于圆心C的定点，动
点
M在圆周上，将纸片折起，使点M与点A重合，设折痕m交线
段CM于点N.现将圆形纸片放在平面直角坐标系xOy中，设圆
C：
(x＋1)2＋y2＝4a2 (a>1)，A(1,0)，记点N的轨迹为曲线E.
(1)证明曲线E是椭圆，并写出当a＝2时该椭圆的标准方程；
(2)设直线l过点C和椭圆E的上顶点B，点A关于直线l的对称点为点Q，若椭圆E的离心率e
∈??1,?22，求点Q的纵坐标的取值范围．
?
考点3 相关点法求轨迹方程
【典例3】设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且????MN??2???MP?，????PM?????PF?，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程．
【变式3】已知长为1
AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，P是AB
上一点，且???AP?????
2PB?，求点P的轨迹C的方程．
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