圆与方程
1. （1）圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是(x?a)2?(y?b)2?r2.特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：x2?y2?r2.
⑵圆的一般方程：x2?y2?Dx?Ey?F?0，
?DE?① 当D?E?4F?0时，方程表示一个圆，其中圆心C??,??，半径r?2??222D2?E2?4F. 2
② 当D2?E2?4F?0时，方程表示一个点???DE?,??. 2??2
③当D2?E2?4F?0时，方程不表示任何图形.
注：方程Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0表示圆的充要条件是：A?C?0,且B?0且D?E?4AF?0；
(3)A?x1,y1?,B?x2,y2?为直径端点的圆方程?x?x1??x?x2???y?y1??y?y2??0
类型一：圆的方程
例：1.圆心在直线2x?y?3上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________； 22
2.方程x+y－x+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为__________；利用D^2+E^2-4F>0解得k<0.5
3.求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y?0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关系． 2２
分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P与圆的位置关系，只须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．
解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为(x?a)2?(y?b)2?r2．∵圆心在y?0上，故b?0．
22??(1?a)?16?r∴圆的方程为(x?a)?y?r．又∵该圆过A(1,4)、B(3,2)两点．∴? 22??(3?a)?4?r222
解之得：a??1，r?20．所以所求圆的方程为(x?1)2?y2?20．
解法二：（直接求出圆心坐标和半径）
因为圆过A(1,4)、B(3,2)两点，所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上，又因为kAB?24?2??1，故l的1?3斜率为1，又AB的中点为(2,3)，故AB的垂直平分线l的方程为：y?3?x?2即x?y?1?0． 又知圆心在直线y?0上，故圆心坐标为C(?1,0)∴半径r?AC?
22(1?1)2?42?20． 故所求圆的方程为(x?1)?y?20．又点P(2,4)到圆心C(?1,0)的距离为
d?PC?(2?1)2?42?25?r．∴点P在圆外．
2、点与圆的位置关系：已知点M?x0,y0?及圆C：（1）点M在圆C外?x-a???y?b??r2?r?0?，22
?CM?r??x0?a???y0?b??r2；（2）点M在圆C内?
CM?r??x0?a???y0?b??r2；（3）点M在圆C上?CM?r??x0?a?
??y0?b??r2。 例： 点P(5a+1,12a)在圆
(x－１)＋y2=1的内部,则a的取值范围是______ ２222222
【解析】由圆（x-1）+y=1，得到圆心坐标为（1，0），半径r=1，点P在圆（x-1）+y=1内部?（5a+1-1）+（12a）＜1?|a|＜． 222222
3.直线与圆的位置关系：
直线Ax?By?C?0与圆(x?a)2?(y?b)2?r2 圆心到直线的距离d?
几何方法：
1）相离：d?r?直线与圆相离?
无交点；
2）相切：d?r
?直线与圆相切?只有一个交点；
3）相交：d?r?直线与圆相交?有两个交点；弦长|AB|=
2r2?d2 Aa?Bb?CA?B22
代数方法：还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组??Ax?By?C?0
?x?y?Dx?Ey?F?022求解，通过解的个数来判断： （1）当??0时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交；
（2）当??0时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；
（3）当??0时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；
提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。
4. 过一点作圆的切线的方程：
（1）过圆外一点的切线：从圆外一点引圆的切线一定有两条，
①k不存在，验证是否成立
?y1?y0?k(x1?x0)?b?y1?k(a?x1)求解k，得到切线方程。 ②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即??R?R2?1?
(2) 过圆上一点的切线：
①过圆x2?y2?R2上一点P(x0,y0)圆的切线方程是：xx0?yy0?R2，
过圆(x?a)2?(y?b)2?R2上一点P(x0,y0)圆的切线方程是：(x?a)(x0?a)?(y?a)(y0?a)?R2，
一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的距离等于半径）；
5.弦长问题：常用弦心距d，弦长一半
6．切点弦
(1)过⊙C：(x?a)?(y?b)?r外一点P(x0,y0)作⊙C的两条切线，切点分别为A、B，则切点弦AB所在直线方程为：(x0?a)(x?a)?(y0?b)(y?b)?r
7. 切线长：若圆的方程为(x?a)+(y?b)=r，则过圆外一点P(x0,y0)的切线长为 d=(x0?a)2+(y0?b)2?r2． 22211a及圆的半径r所构成的直角三角形来解：r2?d2?(a)2； 222222
类型二：弦长，切线
例1. 经过点P(1，—2)点作圆(x+1)+(y-2)=4的切线，则切线方程为 。
解：①k不存在，x=1符合题意 22
?y?2?k(x?1)3?②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即?2k?4?k??,3x?4y?5?0 4?2?2k?1?
变式1：已知圆O：x2?y2?4，求过点P?2，4?与圆O相切的切线．
解：∵点P?2，4?不在圆O上，∴切线PT的直线方程可设为y?k?x?2??4
根据d?r∴ ?2k?4
?k2?2解得k?33所以y??x?2??4即 3x?4y?10?0 44
因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为x?2．
说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．
本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用x0x?y0y?r2，求出切点坐标x0、y0的值来解决，此时没有漏解．
变式2：点P(3，m)向圆C：(x+1)2+(y-2)2=4引切线,则切线长的最小值是?(设切线长为PA)
解：PC2=R2+PA2， PC2??m?2??16?4?PA2?PA2??m?2??12,PAmin?2 22
例2.经过点P(—4，—8)点作圆(x+7)+(y+8)=9的切线，则切线方程为 。
解：因为点P在圆上，所以此切线方程为(-4+7)(x+7)+（-8+8）(y+8)= 9，所以x=-4
例3：两圆C1：x?y?D1x?E1y?F1?0与C2：x?y?D2x?E2y?F2?0相交于A、B两点，求它们的公共弦AB所在直线的方程．
分析：首先求A、B两点的坐标，再用两点式求直线AB的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．
解：设两圆C1、C2的任一交点坐标为(x0,y0)，则有：x0?y0?D1x0?E1y0?F1?0 ①
22x0?y0?D2x0?E2y0?F2?0 ②①－②得：(D1?D2)x0?(E1?E2)y0?F1?F2?0． 22222222
∵A、B的坐标满足方程(D1?D2)x?(E1?E2)y?F1?F2?0．
∴方程(D1?D2)x?(E1?E2)y?F1?F2?0是过A、B两点的直线方程．又过A、B两点的直线是唯一的． ∴两圆C1、C2的公共弦AB所在直线的方程为(D1?D2)x?(E1?E2)y?F1?F2?0．
说明：上述解法中，巧妙地避开了求A、B两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．
例4、过圆x?y?1外一点M(2,3)，作这个圆的两条切线MA、MB，切点分别是A、B，求直线AB的方程。 解：圆x^2+y^2=R^2外一点N(a,b),作这个圆的两条切线NA,NB,切点分别是A,B,直线AB方程为：ax+by=R^2 对于本题：R=1,a=2,b=3,代入即可.
下面注明前面的结果：设A(x1,y1),B(x2,y2)过A的切线为L1：x1*x+y1*y=R^2,L1过N,所以 ax1+by1=R^2, 22
同理 ax2+by2=R^2由此可见 A,B都在直线ax+by=R^2上,所以直线AB方程为：ax+by=R^2
另外过圆x^2+y^2=R^2上一点(a,b)的切线为ax+by=R^2
法二：设M(2,3)，O(0,0)， MA^2=OM^2-r^2=13-1=12 所以以M为圆心，过AB的圆M的方程为: (x-2)^2+(y-3)^2=12 展开的x^2+y^2-4x-6y+1=0 两圆相减即为直线AB: 2x+3y-1=0
例5 求半径为4，与圆x2?y2?4x?2y?4?0相切，且和直线y?0相切的圆的方程．
分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．
解：则题意，设所求圆的方程为圆C：(x?a)2?(y?b)2?r2．圆C与直线y?0相切，且半径为4，则圆心C的坐标为C1(a,4)或C2(a,?4)．又已知圆x2?y2?4x?2y?4?0的圆心A的坐标为(2,1)，半径为3．
若两圆相切，则?4?3?7或CA?4?3?1．
(1)当C1(a,4)时，(a?2)2?(4?1)2?72，或(a?2)2?(4?1)2?12(无解)，故可得a?2?2． ∴所求圆方程为(x?2?2)2?(y?4)2?42，或(x?2?2)2?(y?4)2?42．
(2)当C2(a,?4)时，(a?2)2?(?4?1)2?72，或(a?2)2?(?4?1)2?12(无解)，故a?2?2． ∴所求圆的方程为(x?2?2)2?(y?4)2?42，或(x?2?26)2?(y?4)2?42．
说明：对本题，易发生以下误解：
222由题意，所求圆与直线y?0相切且半径为4，则圆心坐标为C(a,4)，且方程形如(x?a)?(y?4)?4．又
圆x?y?4x?2y?4?0，即(x?2)?(y?1)?3，其圆心为A(2,1)，半径为3．若两圆相切，则CA?4?3．故22222
(a?2)2?(4?1)2?72，解之得a?2?2．所以欲求圆的方程为(x?2?2)2?(y?4)2?42，或(x?2?2)2?(y?4)2?42．上述误解只考虑了圆心在直线y?0上方的情形，而疏漏了圆心在直线y?0下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．
例6： 求经过点A(0,5)，且与直线x?2y?0和2x?y?0都相切的圆的方程．
分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．
解：∵圆和直线x?2y?0与2x?y?0相切，∴圆心C在这两条直线的交角平分线上，（因为圆心到角两边的距离相等）。又圆心（x,y）到两直线x?2y?0和2x?y?0的距离相等．∴x?2y
5?x?2y
5．
∴两直线交角的平分线方程是x?3y?0或3x?y?0．又∵圆过点A(0,5)， ∴圆心C只能在直线3x?y?0上．（由图可知，数形结合）设圆心C(t,3t)∵C到直线2x?y?0的距离等于AC， ∴2t?3t
5?t2?(3t?5)22．化简整理得t?6t?5?0．解得：t?1或t?5∴圆心是(1,3)，半径为
（两点间距离）
或圆心是(5,15)，半径为55．∴所求圆的方程为(x?1)2?(y?3)2?5或(x?5)2?(y?15)2?125．
说明：（1）角的平分线方程求法：设两条直线的倾斜角分别为A>B,则夹角为A-B，夹角的平分线的所在直线的倾
A?B
tanA?tanB斜角为0.5(A-B)+B=0.5(A+B).tan?A?B??.进而求出斜率，已知交点可求出角平分?1?tanAtanB2A?B1?tan22tan
线的直线。
本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．
例7、 设圆满足：(1)截y轴所得弦长为2；(2)被x轴分成两段弧，其弧长的比为3:1，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线l：x?2y?0的距离最小的圆的方程．
分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．
解法一：设圆心为P(a,b)，半径为r．则P到x轴、y轴的距离分别为b和a．
由题设知：圆截x轴所得劣弧所对的圆心角为90?，故圆截x轴所得弦长为2r．∴r?2b（等腰RT三角形半弦，半径，距离）又圆截y轴所得弦长为2．∴r?a?1．又∵P(a,b)到直线x?2y?0的距离为 2222
d?a?2b
222∴5d?a?2b?a?4b?4ab2?a2?4b2?2(a2?b2)?2b2?a2?1
当且仅当a?b时取“=”号，此时dmin?
22?a?b?a?1?a??122r?2b?2 ．这时有?2∴或又??25?2b?a?1?b?1?b??122故所求圆的方程为(x?1)?(y?1)?2或(x?1)?(y?1)?2
解法二：同解法一，得d?a?2b
222．∴a?2b??d．∴a?4b?45bd?5d．将a?2b?1代入上式得：22
2b2?45bd?5d2?1?0．上述方程有实根，故??8(5d2?1)?0，∴d?
又2b?a?1 ∴a??1．由a?2b?1知a、b同号．
故所求圆的方程为(x?1)?(y?1)?2或(x?1)?(y?1)?2． 2222225．将d?代入方程得b??1． 55
说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？
练习：
1．求过点M(3,1)，且与圆(x?1)?y?4相切的直线l的方程．
解：设切线方程为y?1?k(x?3)，即kx?y?3k?1?0，∵圆心(1,0)到切线l的距离等于半径2，
2233?2，解得k??， ∴切线方程为y?1??(x?3)，即3x?4y?13?0， 44
当过点M的直线的斜率不存在时，其方程为x?3，圆心(1,0)到此直线的距离等于半径2，故直线x?3也适合题意。
所以，所求的直线l的方程是3x?4y?13?0或x?3．
2、过坐标原点且与圆x?y?4x?2y?225?0相切的直线的方程为2
5，∴圆心为（2，-1），半径为.22解：设直线方程为y?kx，即kx?y?0.∵圆方程可化为(x?2)2?(y?1)2?
依题意有2k?k2?1?11，解得k??3或k?，∴直线方程为y??3x或y?x. 233
223、已知直线5x?12y?a?0与圆x?2x?y?0相切，则a的值为.
解：∵圆(x?1)2?y2?1的圆心为（1，0），半径为1，∴
4.圆2x2?2y2?1与直线xsin??y?1?0(??R,??5?a5?1222?1，解得a?8或a??18. ?
2?k?，k?z)的位置关系为____；
解：圆x2+y2=0.5的圆心（0，0）到直线xsin??y?1?0(??R,???
2?k?，k?
z)的距离
5.若直线ax?by?3?0与圆x2?y2?4x?1?0切于点P(?1,2)，则ab的值____；
解：把圆的方程化为标准方程得：（x+2）+y=5，所以圆心坐标为（-2，0），半径r=
2222，∵直线与圆相切， ∴圆心到直线的距离d==r=，化简得：a+5b-12a-9=0①，把切点P的坐标代入直线方程得：-a+2b-3=0②，
联立①②，解得：a=1，b=2，则ab的值为2．故选C
6.直线x?2y?0被曲线x2?y2?6x?2y
?15?0所截得的弦长等于
7.圆C的圆心C的坐标为(2，3)，半径r=1,点A(-1,1)关于x轴的对称点A′的坐标为(-1，-1).因A′在反射线上，所以最短距离为|A′C|-r，即
22. 8.
已知圆C：x?(y?1)?5，直线L：mx?y?1?m?0。①求证：对m?R，直线L与圆C总有两个不同的交
点；②设L与圆C交于A、B两点，若AB?L的倾斜角；③求直线L中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程.
解：（1）∵直线L：mx-y+1-m=0即为y=m（x-1）+1∴直线l恒过（1，1）∵12+（1-1）2=1＜5∴（1，1）在圆C：x2+（y-1）2=5的内部综上，对任意的m∈R，直线L与圆C一定有两个不同的交点 （2将y=mx+1-m代入x2+(y-1)2=5得(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0，|AB|=√(1+m2)[(2m2/(1+m2))2-4(m2-5)/(1+m2)]=√17解得m2=3m=±√3∴倾斜角=60°或120°
（3）∵直线L：mx-y+1-m=0即为y=m（x-1）+1∴直线l恒过（1，1）∵12+（1-1）2=1＜5 ∴A（1，1）在圆C：x2+（y-1）2=5的内部，被圆截得的弦最长的直线一定过圆心，方程为y=1，它的圆心为C（0，1），由弦长最短，可得AC和直线L垂直，故直线l的方程为x=1．
类型三：直线与圆的位置关系
例1、已知直线3x?y?23?0和圆x?y?4，判断此直线与已知圆的位置关系.
（圆心到直线的距离小于半径所以相交）
例2、若直线y?x?m与曲线y?
解：∵曲线y?224?x2有且只有一个公共点，求实数m的取值范围. 4?x2表示半圆x2?y2?4(y?0)，∴利用数形结合法，可得实数m的取值范围是?2?m?2或m?22.
例3 圆(x?3)2?(y?3)2?9上到直线3x?4y?11?0的距离为1的点有几个？
分析：借助图形直观求解．或先求出直线l1、l2的方程，从代数计算中寻找解答．
22解法一：圆(x?3)?(y?3)?9的圆心为O1(3,3)，半径r?3．设圆心O1到直线
3x?4y?11?0的距离为d，则d?3?3?4?3??422?2?3．如图，在圆心O1同侧，与直线3x?4y?11?0平行
且距离为1的直线l1与圆有两个交点，这两个交点符合题意．又r?d?3?2?1．
∴与直线3x?4y?11?0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．∴符合题意的点共有3个．
解法二：符合题意的点是平行于直线3x?4y?11?0，且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为3x?4y?m?0，则d?m?3?4223x?4y?6?0，或?1，∴m?11??5，即m??6，或m??16，也即l1：
l2：3x?4y?16?0．设圆O1：(x?3)2?(y?3)2?9的圆心到直线l1、l2的距离为d1、d2，则
d1?3?3?4?3?6
3?422?3，d2?3?3?4?3?3?422?1．∴l1与O1相切，与圆O1有一个公共点；l2与圆O1相交，与圆
O1有两个公共点．即符合题意的点共3个．
说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：
设圆心O1到直线3x?4y?11?0的距离为d，则d?
∴圆O1到3x?4y?11?0距离为1的点有两个．
显然，上述误解中的d是圆心到直线3x?4y?11?0的距离，d?r，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．
到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断．
3?3?4?3?3?422?2?3．
练习1：直线x?y?1与圆x2?y2?2ay?0(a?0)没有公共点，则a的取值范围是解：依题意有a?12?a，解得?2?1?a?2?1.∵a?0，∴0?a?2?1.
222：若直线y?kx?2与圆(x?2)?(y?3)?1有两个不同的交点，则k的取值范围是. 解：依题意有2k?k2?1?1，解得0?k?44，∴k的取值范围是(0,). 33
3、 圆x2?y2?2x?4y?3?0上到直线x?y?1?0的距离为2的点共有（ ）．
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
分析：把x2?y2?2x?4y?3?0化为?x?1???y?2??8，圆心为??1，?2?，半径为r?22，圆心到直线22
的距离为2，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于2，所以选C．
4、 过点P??3，?4?作直线l，当斜率为何值时，直线l与圆C：?x?1???y?2??4有公共点，如图所示． 22
分析：观察动画演示，分析思路．
解：设直线l的方程为y?4?k?x?3?即kx?y?3k?4?0根据d?r有 k?2?3k?4?k2?2整理得3k2?4k?0解得0?k?,4． 3类型三：弦长、弧问题
22例1、求直线l:3x?y?6?0被圆C:x?y?2x?4y?0截得的弦AB的长.()
例2、直线x?y?2?0截圆x?y?4得的劣弧所对的圆心角为 解：依题意得，弦心距d?
心角为?AOB?
222，故弦长AB?2r2?d2?2，从而△OAB是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆?3. 222例3、求两圆x?y?x?y?2?0和x?y?5的公共弦长. (两圆相减得到公共弦，然后利用直角三角形2)
5. 两圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）
22d?（1）：设两圆C1:(x?a1)2?(y?b1)2?r1与圆C2:(x?a2)?(y?b2)?r2，圆心距22(a1?a2)2?(b1?b2)2
①d?r1?r2?外离?4条公切线；②d?r1?r2?外切?3条公切线；③r1?r2?d?r1?r2?相交?2条公切线； ④d?r1?r2?内切?1条公切线；⑤0?d?r1?r2?内含?无公切线；
外离 外切 相交 内切
（2）两圆公共弦所在直线方程
22圆C1：x2?y2?D1x?E1y?F1?0， 圆C2：x?y?D2x?E2y?F2?0，
则?D1?D2?x??E1?E2?y??F1?F2??0为两相交圆公共弦方程.
补充说明：
① 若C1与C2相交，则?D1?D2?x??E1?E2?y??F1?F2??0为两相交圆公共弦方程
② 若C1与C2相切，则表示其中一条公切线方程；
③ 若C1与C2相离，则表示连心线的中垂线方程.则该二元一次方程表示的直线具有一个性质：从直线上任意一点向两个圆引切线， 得到的切线长相等（反之，亦成立）
（3）圆系问题
22过两圆C1：x2?y2?D1x?E1y?F和：C?0x?y?D2x?E2y?F2?0交点的圆系方程为 21
x2?y2?D1x?E1y?F1???x2?y2?D2x?E2y?F2??0（???1）
补充：
① 上述圆系不包括C2；
② 当???1时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）
③ 过直线A?xB?y0?与C圆x2?y2?Dx?Ey?F?0交点的圆系方程为x2?y2?Dx?Ey?F???Ax?By?C??0
类型五：圆与圆的位置关系
例1、判断圆C1:x2?y2?2x?6y?26?0与圆C2:x2?y2?4x?2y?4?0的位置关系，（内切）
例2：圆x?y?2x?0和圆x?y?4y?0的公切线共有条。
2222解：∵圆(x?1)?y?1的圆心为O1(1,0)，半径r1?1，圆x?(y?2)?4的圆心为O2(0,?2)，半径r2?2，∴2222
O1O2?,r1?r2?3,r2?r1?1.∵r2?r1?O1O2?r1?r2，∴两圆相交.共有2条公切线。
222222例3：若圆x?y?2mx?m?4?0与圆x?y?2x?4my?4m?8?0相切，则实数m的取值集合
是 .
2222解：∵圆(x?m)?y?4的圆心为O1(m,0)，半径r1?2，圆(x?1)?(y?2m)?9的圆心为O2(?1,2m)，半径
r2?3，且两圆相切，∴O1O2?r1?r2或O1O2?r2?r1，∴(m?1)2?(2m)2?5或(m?1)2?(2m)2?1，解
得m??
512125
或m?2，或m?0或m??，∴实数m的取值集合是{?,?,0,2}.
2552
22
例4：求与圆x?y?5外切于点P(?1,2)，且半径为25的圆的方程.
1解：设所求圆的圆心为O1(a,b)，则所求圆的方程为(x?a)2?(y?b)2?20.∵两圆外切于点P，∴?OO1，∴3
1
(?1,2)?(a,b)，∴a??3,b?6，∴所求圆的方程为(x?3)2?(y?6)2?20
3
6. 圆心的三个重要几何性质：
① 圆心在过切点且与切线垂直的直线上。②圆心在某一条弦的中垂线上； ③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。
类型六：圆中的对称问题
例1：圆C与圆关于直线y??x对称，则圆C的方程为____________；
法二：:圆对称即圆心对称:圆C的圆心为:C(1，0),C关于直线y=-x的对称点为(0，-1)，得对称圆的方程为在:x^2+(y+1)^2=1 例2、圆x2?y2?2x?6y?9?0关于直线2x?y?5?0对称的圆的方程是求圆心(1,3)关于直线2x+y+5=0的对称点即可,半径不变.设对称点为(m,n)所以(m+1)+(n+3)/2+5=0，(n-3)/(m-2)=1/2 解得m=-7,n=-1
例3 自点A??3，3?发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，反射光线所在的直线与圆C：x2?y2?4x?4y?7?0相切
（1）求光线l和反射光线所在的直线方程．
（2）光线自A到切点所经过的路程．
分析、略解：观察动画演示，分析思路．根据对称关系，首先求出点A的对称点A?的坐标为??3，?3?，其次设过A?的圆C的切线方程为
2
2
y?k?x?3??3根据d?r，即求出圆C的切线的斜率为
k?
43
或k?进一步求出反射光线所在的直线的方程为4x?3y?3?034
或3x?4y?3?0最后根据入射光与反射光关于x轴对称，求出入射光所在
图
直线方程为4x?3y?3?0或3x?4y?3?0。光路的距离为A'M，可由勾股定理求得A?M说明：本题亦可把圆对称到x轴下方，再求解． 7.涉及最值：
① 圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值
2
?A?C?CM?7．
22
PBmin?BN?BC?r PBmax?BM?BC?r
② 圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值
PAmin?AN?r?AC PAmax?AM?r?AC
思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC）
类型七：圆中的最值问题
例1.l将圆：x2+y2-2x-4y=0
平分，且不过第四象限，那么l的斜率的取值范围是_________；
直线l将圆：x2+y2-2x-4y=0平分，直线过圆心，圆的方程可知圆心（1，2），且不通过第四象限，所以过坐标原点与圆心的连线的直线的斜率最大值是2，如图．那么l的斜率的取值范围是[0，2]
故答案为：[0，2]．
22例2：圆x?y?4x?4y?10?0上的点到直线x?y?14?0的最大距离与最小距离的差是 解：∵圆(x?2)2?(y?2)2?18的圆心为（2，2），半径r?32，∴圆心到直线的距离d?10
2?52?r，∴直
线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是(d?r)?(d?r)?2r?62.
例3 (1)已知圆O1：(x?3)2?(y?4)2?1，P(x,y)为圆O上的动点，求d?x2?y2的最大、最小值．
(2)已知圆O2：(x?2)2?y2?1，P(x,y)为圆上任一点．①求y?2的最大、最小值，②求x?2y的最大、最小x?1
值．
分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决．
解：(1)(法1)由圆的标准方程(x?3)?(y?4)?1．可设圆的参数方程为?
则d?x?y?9?6cos??cos
（其中tan??
22222?x?3?cos?,（?是参数）． y?4?sin?,???16?8sin??sin2??26?6cos??8sin??26?10cos(???) 4）．所以dmax?26?10?36，dmin?26?10?16． 3
'(法2)圆上点到原点距离的最大值d1等于圆心到原点的距离d1加上半径1，圆上点到原点距离的最小值d2等于圆心到
原点的距离d1减去半径1．所以d1?32?42?1?6．d2?32?42?1?4．所以dmax?36．dmin?16． '
?x??2?cos?,y?2sin??2sin??2?是参数．则??t，(2) (法1)由(x?2)?y?1得圆的参数方程：?．令 x?1cos??3cos??3y?sin?,?22
得sin??tcos??2?3t，?t2sin(???)?2?3t?2?3t
?t2?sin(???)?1?3?33?． ?t?44
所以tmax?y?23?3?33?33?，tmin?．即的最大值为，最小值为． x?14444
此时x?2y??2?cos??2sin???2?5cos(???)．所以x?2y的最大值为
?2?，最小值为?2?5．
(法2)设y?2?k，则kx?y?k?2?0．由于P(x,y)是圆上点，当直线与圆有交点x?1
时，如图所示，两条切线的斜率分别是最大、最小值．由d??2k?k?2
?k2?1，得
k?y?23?33?3?3．所以的最大值为，最小值为． x?1444
②令x?2y?t，同理两条切线在x轴上的截距分别是最大、最小值．由d??2?m
5?1，得m??2?．
所以x?2y的最大值为?2?，最小值为?2?5．
例4：已知A(?2,0)，B(2,0)，点P在圆(x?3)?(y?4)?4上运动，则?的最小值是.
解：设P(x,y)，则PA?PB222222?(x?2)2?y2?(x?2)2?y2?2(x2?y2)?8?2OP?8.设圆心为C(3,4)，则
222OPmin?OC?r?5?2?3，∴?的最小值为2?3?8?26. 2
练习：
1：已知点P(x,y)在圆x?(y?1)?1上运动.（1）求
解：（1）设22y?1的最大值与最小值；（2）求2x?y的最大值与最小值. x?2y?1?k，则k表示点P(x,y)与点（2，1）连线的斜率.当该直线与圆相切时，k取得最大值与最小值.x?2
?1，解得k??3y?1，∴的最大值为，最小值为?. 333x?2由2kk2?1
（2）设2x?y?m，则m表示直线2x?y?m在y轴上的截距. 当该直线与圆相切时，m取得最大值与最小值.由?m5?1，解得m?1?，∴2x?y的最大值为1?，最小值为1?.
y?2的取值范围． x?1222 设点P(x,y)是圆x?y?1上任一点，求u?
分析一：利用圆上任一点的参数坐标代替x、y，转化为三角问题来解决．
解法一：设圆x2?y2?1上任一点P(cos?,sin?)则有x?cos?，y?sin???[0,2?) ∴u?sin??2，∴ucos??u?sin??2∴ucos??sin???(u?2)．即u2?1sin(???)?u?2（tan??u） cos??1
∴sin(???)?(u?2)
u2?1．又∵sin(???)?1∴u?23?1解之得：u??． 4u2?1
分析二：u?y?2的几何意义是过圆x2?y2?1上一动点和定点(?1,2)的连线的斜率，利用此直线与圆x?1
x2?y2?1有公共点，可确定出u的取值范围．
解法二：由u?y?2得：y?2?u(x?1)，此直线与圆x2?y2?1有公共点，故点(0,0)到直线的距离d?1． x?1
∴u?23?1解得：u??．另外，直线y?2?u(x?1)与圆x2?y2?1的公共点还可以这样来处理： 4u2?1
?y?2?u(x?1)由?2消去y后得：(u2?1)x2?(2u2?4u)x?(u2?4u?3)?0， 2?x?y?1
此方程有实根，故??(2u2?4u)2?4(u2?1)(u2?4u?3)?0，解之得：u??3． 4
说明：这里将圆上的点用它的参数式表示出来，从而将求变量u的范围问题转化成三角函数的有关知识来求解．或者是利用其几何意义转化成斜率来求解，使问题变得简捷方便．
3、已知点A(?2,?2),B(?2,6),C(4,?2)，点P在圆x2?y2?4上运动，求?PB?PC的最大值和最小值. 解：∵点A（-2，-2），B（-2，6），C（4，-2），∴设P（a，b），
则|PA|2+|PB|2+|PC|2=（a+2）2+（b+2）2+（a+2）2+（b-6）2+（a-4）2+（b+2）2=3a2+3b2-4b+68， ∵点P在圆x2+y2=4上运动，∴a2+b2=4，a2=4-b2≥0，所以b2≤4，∴-2≤b≤2．把a2=4-b2代入
3a2+3b2-4b+68=12-3b2+3b2-4b+68=-4b+80，∵-2≤b≤2，所以-8≤-4b≤8，80-8≤80-4b≤80+8，
72≤-4b+80≤88∴最大值是88，最小值是72，∴|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值与最小值之和88+72=160
类型八：轨迹问题
例1：设A为圆(x?1)2?y2?1上动点，PA是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为________； 222
解析试题分析：设圆已知圆的圆心为
半径的圆上，则P点的轨迹方程是，则。 ，所以点在以圆为圆心，为
例2、基础训练：已知点M与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离的比为1，求点M的轨迹方程. 2
解:设M(x,y) 故:∣MO∣=√(x2+y2);∣MA∣=√[(x-3)2+y2] 因为:∣MO∣=1/2∣MA∣ 故:√(x2+y2)=1/2√[(x-3)2+y2] 故:(x+1) 2+y2=4 即:M轨迹为以(-1，0)为圆心、2为半径的一个圆
例3、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆(x?1)?y?4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
解：设点M的坐标为（x，y），点A的坐标为（x0，y0）由于点B的坐标是（4，3），且点M是线段AB的中点， 22
所以，于是有即， ①因为点A在圆 ②把①代入②得上运动，所以点 A的坐标满足方程整理得所以，点M的轨迹方程为。
例4 如图所示，已知圆O：x2?y2?4与y轴的正方向交于A点，点B在直线y?2上运动，过B做圆O的切线，切点为C，求?ABC垂心H的轨迹．
分析：按常规求轨迹的方法，设H(x,y)，找x,y的关系非常难．由于H点随B，C点
运动而运动，可考虑H，B，C三点坐标之间的关系．
解：设H(x,y)，C(x',y')，连结AH，CH，则AH?BC，CH?AB，BC
是切线OC?BC，所以OC//AH，CH//OA，OA?OC，所以四边形AOCH是菱
形．
'?22?y?y?2,''所以CH??2，得?'又C(x,y)满足x'?y'?4，所以??x?x.
x2?(y?2)2?4(x?0)即是所求轨迹方程．
说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识．采取代入法求轨迹方程．做题时应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹方程已知，可考虑代入法．
例5: 已知圆的方程为x2?y2?r2，圆内有定点P(a,b)，圆周上有两个动点A、B，使PA?PB，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程．
分析：利用几何法求解，或利用转移法求解，或利用参数法求解．
解法一：如图，在矩形APBQ中，连结AB，PQ交于M，显然OM?AB，AB?PQ，
在直角三角形AOM中，若设Q(x,y)，则M(
即(x?ay?b2,)．由OM?AM222?OA，2x?a2y?b21)?()?[(x?a)2?(y?b)2]?r2，也即x2?y2?2r2?(a2?b2)，这便224
是Q的轨迹方程．
解法二：设Q(x,y)、A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x1?y1?r2，x2?y2?r2．又PQ?AB，即 222222
(x?a)2?(y?b)2?(x1?x2)2?(y1?y2)2?2r2?2(x1x2?y1y2)．①
又AB与PQ的中点重合，故x?a?x1?x2，y?b?y1?y2，即(x?a)?(y?b)?2r?2(x1x2?y1y2) ② ①＋②，有x?y?2r?(a?b)．这就是所求的轨迹方程．
解法三：设A(rcos?,rsin?)、B(rcos?,rsin?)、Q(x,y)，由于APBQ为矩形，故AB与PQ
的中点重合，即22222222
www.99jianzhu.com/包含内容：建筑图纸、PDF/word/ppt 流程，表格，案例，最新,免费下载,施工方案、工程书籍、建筑论文、合同表格、标准规范、CAD图纸等内容。