2．2.2 事件的相互独立性
[学习目标]
1．在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念．
2．能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．
[知识链接]
1．3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取．事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“第三名同学抽到中奖奖券”，事件A的发生是否会影响B发生的概率？
答 因抽取是有放回的，所以A的发生不会影响B发生的概率，事件A和事件B相互独立．
2．互斥事件与相互独立事件有什么区别？
答 两个事件相互独立与互斥的区别：两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
[预习导引]
1．相互独立的概念
设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．
2．相互独立的性质
－－－－
如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立.
要点一 相互独立事件的判断
例1 从一副扑克牌(52张)中任抽一张，设A＝“抽得老K”，B＝“抽得红牌”，判断事件A与B是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？
解 由于事件A为“抽得老K”，事件B为“抽得红牌”
，故抽得红牌中有可
能抽到红桃K或方块K，即有可能抽到老K，故事件A，B有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更不是对立事件，以下考虑它们是否互为独立事件：抽到
412611老K的概率为P(A)＝5213抽到红牌的概率P(B)＝522故P(A)P(B)＝13×
112＝26，事件AB即为“既抽得老K又抽得红牌”，亦即“抽得红桃老K或方块
21老K”，故P(AB)＝52＝26，从而有P(A)·P(B)＝P(AB)，因此A与B互为独立事
件．
规律方法 对于事件A，B，在一次试验中，A，B如果不能同时发生，则称A，B互斥．一次试验中，如果A，B两个事件互斥且A，B中必然有一个发生，则
－
称A，B对立，显然A∪A为一个必然事件．A，B互斥则不能同时发生，但有可能同时不发生．两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
跟踪演练1 判断下列各题中给出的各对事件是否是相互独立事件：
(1)甲盒中有6个白球，4个黑球，乙盒中有3个白球，5个黑球．事件A1表示“从甲盒中取出的是白球”，事件B1表示“从乙盒中取出的是白球”．
(2)盒中有4个白球，3个黑球，从盒中陆续取出两个球，用A2表示事件“第一次取出的是白球”，把取出的球放回盒中，用B2表示事件“第二次取出的是白球”．
(3)盒中有4个白球，3个黑球，从盒中陆续取出两个球，用A3表示“第一次取出的是白球”，取出的球不放回，用B3表示“第二次取出的是白球”． 解 (1)事件A1和B1是否发生，相互之间没有影响，因此事件A1与事件B1是相互独立事件．
(2)在有放回的取球中，事件A2和B2是否发生，相互之间没有任何影响，因而它们是相互独立事件．
(3)在不放回的取球中，事件A3发生后，事件B3发生的概率发生了改变，因此A3与B3不是相互独立事件．
要点二 相互独立事件同时发生的概率
例2 甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：
(1)2人都射中目标的概率；
(2)2人中恰有1人射中目标的概率；
(3)2人至少有1人射中目标的概率；
(4)2人至多有1人射中目标的概率．
解 设“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件
－－－－
B，则A与B，A与B，A与B，A与B为相互独立事件．
(1)2人都射中目标的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.9＝0.72.
(2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未
－－
射中(事件AB发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件AB发生)．根据题意，事
－－
件AB与AB互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为
－－－－
P(AB)＋P(AB)＝P(A)·P(B)＋P(A)·P(B)
＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9
＝0.08＋0.18＝0.26.
(3)“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人射中”2种情况，
－－
其概率为P＝P(AB)＋[P(AB)＋P(AB)]＝0.72＋0.26＝0.98.
(4)“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况，
－－－－
故所求概率为P＝P(AB)＋P(AB)＋P(AB)
－－－－
＝P(A)·P(B)＋P(A)·P(B)＋P(A)·P(B)＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.
规律方法 解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若A，B相互
－－－－
独立，则A与B，A与B，A与B也是相互独立的，代入相互独立事件的概率公式求解．
11跟踪演练2 甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为34求
(1)两人都能破译的概率；
(2)两人都不能破译的概率；
(3)恰有一人能破译的概率；
(4)至多有一人能破译的概率．
解 设“甲能破译”为事件A，“乙能破译”为事件B，则A，B相互独立，从而
－－－－
A与B，A与B，A与B均相互独立．
111(1)“两个都能破译”为事件AB，则P(AB)＝P(A)·P(B)＝3412.
－－
(2)“两人都不能破译”为事件AB，则
－－－－
P(AB)＝P(A)·P(B)＝[1－P(A)]·[1－P(B)]
111＝(1－3×(1－4)＝2.
－－
(3)“恰有一人能破译”为事件(AB)∪(AB)，
－－
又AB与AB互斥，
－－－－－－
则P((AB)∪(AB))＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)·P(B)＋P(A)·P(B)
11115＝3×(1－4＋(1－3)×4＝12.
－－－－
(4)“至多一人能破译”为事件(AB)∪(AB)∪(AB)，且
－－－－
AB，AB，AB互斥，故
－－－－
P((AB)∪(AB)∪(AB))
－－－－
＝P(AB)＋P(AB)＋P(AB)
－－－－
＝P(A)·P(B)＋P(A)·P(B)＋P(A)·P(B)
11111111＝3×(1－4＋(1－3)×4＋(1－3)×(1－4)12.
要点三 相互独立事件概率的综合应用
例3 某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中
(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？
(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？
解 分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A，B，C，则A，B，
C两两相互独立且P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.85.
－－－
(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用ABC表示
－－－－－－
P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)
＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]
＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85)＝0.003
所以三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.
－－－
(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用(ABC)∪(ABC)∪(ABC)表示．
－－－
由于事件ABC，ABC和ABC两两互斥，
－－
根据概念加法公式和相互独立事件的意义，所求的概率为P(ABC)＋P(ABC)＋
－
P(ABC)
－－－
＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)
＝[1－P(A)]P(B)P(C)＋P(A)[1－P(B)]P(C)＋P(A)P(B)[1－P(C)]
＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)
＝0.329，
所以恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.
规律方法 求复杂事件的概率，应先列出题中涉及的各事件，并用适当的符号表示，再理清各事件之间的关系，最后根据事件之间的关系选取相应的公式进行计算．
跟踪演练3 某机械厂制造一种汽车零件，已知甲机床的正品率是0.96，乙机床的次品率是0.05，现从它们制造的产品中各任意抽取一件，试求：
(1)两件产品都是正品的概率；
(2)恰有一件是正品的概率；
(3)至少有一件正品的概率．
解 用A表示“从甲机床生产的产品中抽得正品”，用B表示“从乙机床生产的产品中抽得正品”，用C表示“抽得的两件产品中恰有一件是正品”，用D
－－
表示“抽得的两件产品中至少有一件正品”，则C＝(AB)∪(AB)，D＝C∪(AB)．
－
(1)由题意知，A与B是相互独立事件P(B)＝1－P(B)＝1－0.05＝0.95，P(A)＝0.96，
所以两件都是正品的概率为
P(AB)＝P(A)P(B)＝0.96×0.95
＝0.912.
－－
(2)由于事件AB与AB互斥，所以恰有一件是正品的概率为
－－
P(C)＝P[(AB)∪(AB)]
－－
＝P(AB)＋P(AB)
－－
＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)
＝0.96×0.05＋0.04×0.95＝0.086.
(3)由于事件AB与C互斥，
所以P(D)＝P(AB)∪(C)
＝P(AB)＋P(C)
＝0.912＋0.086＝0.998.
1．坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球2次，每次取一球，用A1表示第一次取得白球，A2表示第二次取得白球，则A1和A2是( )
A．互斥的事件 B．相互独立的事件
C．对立的事件 D．不相互独立的事件
答案 D
3213解析 ∵P(A1)＝5若A1发生了，P(A2)＝4＝2；若A1不发生，P(A2)＝4，即A1
发生的结果对A2发生的结果有影响，∴A1与A2不是相互独立事件．
1112．甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为534，则此密码
能译出的概率是( )
12359A.60 B.5 C.5 D.60
答案 C
解析 用A，B，C分别表示甲、乙、丙三人破译出密码，
111则P(A)＝5P(B)＝3P(C)＝4
4232且P(A·B·C)＝P(A)·P(B)·P(C)＝5×3×4＝5 －－－－－－
23∴此密码被译出的概率为1－553．甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )
A．p1p2 B．p1(1－p2)＋p2(1－p1)
C．1－p1p2 D．1－(1－p1)(1－p2)
答案 B
解析 恰好有1人解决可分为甲解决乙没解决、甲没解决乙解决．这两个事件显然是互斥的．所以恰好有1人解决这个问题的概率为p1(1－p2)＋p2(1－p1)．故选
B.
434．某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为55，
7丙当选的概率为10.
(1)求恰有一名同学当选的概率；
(2)求至多有两人当选的概率．
解 设甲、乙、丙当选的事件分别为A，B，C，
437则有P(A)＝5P(B)＝5P(C)＝10
(1)因为事件A，B，C相互独立，
所以恰有一名同学当选的概率为
－－－－－－
P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)
－－－－－－
＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)
42313312747＝5×5×10＋5×5×10＋5×5×10＝250.
(2)至多有两人当选的概率为
1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)
43783＝1－5×5×10＝125.
一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提．相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的．(列表比较)
一、基础达标
1．一袋中装有5只白球，3只黄球，在有放回地摸球中，用A1表示第一次摸得
－白球，A2表示第二次摸得白球，则事件A1与A2是( )
A．相互独立事件 B．不相互独立事件
C．互斥事件 D．对立事件
答案 A
－－解析 由题意可得A2表示“第二次摸到的不是白球”，即A2表示“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故
－
事件A1与
A
2是相互独立事件．
2．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是( ) 5173A.12 B.2 C.12 D.4
答案 C
11解析 ∵P(A)＝2，P(B)＝6，
－15∴P(A)＝2，P(B)＝6 －
又A，B为相互独立事件，
155∴P(AB)＝P(A)P(B)＝2612 －－－－
∴A，B中至少有一件发生的概率为
571－P(AB)＝1－12＝12. －－
3．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，x，y构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中满足xy＝4的概率为( ) 11A.16 B.8
31C.16 D.4
答案 C
解析 满足xy＝4的所有可能如下：
x＝1，y＝4；x＝2，y＝2；x＝4，y＝1.
∴所求事件的概率
P＝P(x＝1，y＝4)＋P(x＝2，y＝2)＋P(x＝4，y＝1)
1111113＝4×4＋4×4＋4×4＝16.
14．从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为3，视力合格的
11概率为6，其他几项标准合格的概率为5从中任选一名学生，则该生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)( )
4145A.9 B.90 C.5 D.9
答案 B
1111解析 该生三项均合格的概率为3×6×5＝90.
－－125．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝2，P(B)＝3，则P(AB)＝________；P(A
－
B)＝________.
11答案 6 6
12解析 ∵P(A)＝2，P(B)＝3，
－－11∴P(A)＝2，P(B)＝3
－－111∴P(AB)＝P(A)P(B)＝236
－－－－111P(AB)＝P(A)P(B)＝2366．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次
16的概率为25，则该队员每次罚球的命中率为________．
3答案 5
解析 设此队员每次罚球的命中率为p，
16则1－p2＝25，
3∴p＝5.
7．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：
(1)第3次拨号才接通电话；
(2)拨号不超过3次而接通电话．
解 设Ai＝{第i次拨号接通电话}，i＝1，2，3.
－－
(1)第3次才接通电话可表示为A1A2A3，
9811于是所求概率为P(A1A2A3)＝109810 －－
－－－
(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A1＋A1A2＋A1A2A3，
－－－
于是所求概率为P(A1＋A1A2＋A1A2A3)
－－－
＝P(A1)＋P(A1A2)＋P(A1A2A3)
1919813＝10＋10×9＋10×9×8＝10.
二、能力提升
18．设两个独立事件A和B都不发生的概率为9A发生B不发生的概率与B发
生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是( )
2112A.9 B.18 C.3 D.3
答案 D
1解析 由题意，P(A)·P(B)＝9， －－
－－
P(A)·P(B)＝P(A)·P(B)．
设P(A)＝x，P(B)＝y，
11??（1－x）（1－y）＝??1－x－y＋xy＝9即?9 则???（1－x）y＝x（1－y）.??x＝y，
1∴x2－2x＋1＝9
112∴x－1＝－3x－1＝3舍去)，∴x＝319．在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是2，且是相互独
立的，则灯亮的概率是( )
1317A.8 B.8 C.4 D.8
答案 B
－
解析 设开关a，b，c闭合的事件分别为A，B，C，则灯亮这一事件E＝ABC∪ABC
－
∪ABC，且A，B，C相互独立，
－－
ABC，ABC，ABC互斥，所以
－－
P(E)＝P(ABC)∪(ABC)∪(ABC)
－－
＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)
－－
＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)
1111111113＝2×2×2＋2×2×(1－2)＋2×(1－2)×2＝8.
10．在一条马路上的A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆汽车在这条马路上行驶，那么在这三处都不停车的概率是________．
35答案 192
255357453解析 由题意P(A)＝6012P(B)＝6012P(C)＝604
57335所以所求概率P＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝1212419211．从10位同学(其中6女，4男)中随机选出3位参加测验，每位女同学能通过
43测验的概率均为5，每位男同学通过测验的概率均为5，求：
(1)选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；
(2)10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率．
－
解 (1)设选出的3位同学中，至少有一位男同学的事件为A，则A为选出的3位
3C6115同学中没有男同学的事件，而P(A)＝C＝6P(A)＝1－6＝6. 10－
(2)设女同学甲和男同学乙被选中的事件为A，女同学甲通过测验的事件为B，男同学乙通过测验的事件为C，则甲、乙同学被选中且通过测验的事件为A∩B∩C，由条件知A，B，C三个事件为相互独立事件，所以P(A∩B∩C)＝P(A)×P(B)×P(C)．
1C143而P(A)＝C＝15，P(B)＝5P(C)＝5， 10
1434所以P(A∩B∩C)＝155512512．已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2.
(1)假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；
(2)要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？
解 (1)设敌机被第k门高炮击中的事件为Ak(k＝1，2，3，4，5)，那么5门高炮
－－－－－
都未击中敌机的事件为A1·A2·A3·A4·A5.
∵事件A1，A2，A3，A4，A5相互独立，
∴敌机未被击中的概率为
4P(A1·A2·A3·A4·A5)＝P(A1)·P(A2)·P(A3)·P(A4)·P(A5)＝(1－0.2)5＝(5)5. －－－－－－－－－－
4∴敌机未被击中的概率为(5)5.
(2)至少需要布置n门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿(1)可得：
4敌机被击中的概率为1－(5n
441∴令1－(5)n≥0.9，∴(5)n≤10
两边取常用对数，得n≥
∵n∈N*，∴n＝11.
∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机．
三、探究与创新
13．在一个选拔项目中，每个选手都需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、
5431四轮问题的概率分别为6，5，4，3，且各轮问题能否正确回答互不影响．
(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；
(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率；
(3)该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X，求随机变量X的分布列． 解 设事件Ai(i＝1，2，3，4)表示“该选手能正确回答第i轮问题”，
5431由已知P(A1)＝6，P(A2)＝5，P(A3)＝4，P(A4)＝3.
(1)设事件B表示“该选手进入第三轮才被淘汰”，
－－1≈10.3. 1－3lg 2
则P(B)＝P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)
5431＝××(1－＝. 6546
(2)设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，
－－－
则P(C)＝P(A1＋A1A2＋A1A2A3)
－－－
＝P(A1)＋P(A1A2)＋P(A1A2A3)
1515431＝6＋6×5＋6×5×(1－4)＝2.
(3)X的可能取值为1，2，3，4.
1P(X＝1)＝P(A1)＝6， －
541P(X＝2)＝P(A1A2)＝6×(1－5＝6 －
5431P(X＝3)＝P(A1A2A3)＝65(1－4＝6， －
5431P(X＝4)＝P(A1A2A3)＝6×5×4＝2，
所以，X的分布列为
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