辽宁省实验中学分校2016—2017学年度上学期阶段性测试
理科数学 高三年级
一、 选择题：本大题共12小题。每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1.已知集合A={1，2}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B的子集共有（）
A．2个B．4个
+
（
C．6个 D．8个 2.若复数z=cosθ
﹣A
．﹣﹣sinθ）i（i是虚数单位）是纯虚数，则tanθ的值为（）C
．﹣ D
．±B
．
3.已知函数f（x）=，则f
（f（2））等于（） A．0
B．4C
．﹣ D
．
4..已知{an}为等差数列，3a4+a8=36，则{an}的前9项和S9= （）
A．9 B．17 C．36 D．81
5．（x3﹣）4的展开式中的常数项为 （）
A．32 B．64 C．﹣32 D．﹣64
6
．已知向量
，
满足
?（
+）=2，且
||=1，
||=2
，则
与的夹角为（）
A
．B
． C
． D
．
7已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出了下列命题：
①若m⊥α，m?β，则α⊥β；②若m⊥n，m⊥α，则n∥α；③若m∥α，α⊥β，则m⊥β，④若α∩β=m，n∥m，且n?α，n?β，则n∥α，n∥β （）
A．②④ B．①②④
8.已知sinφ
=，且φ
∈（
轴之间的距离等于
A
． ，则f
（ C．①④ D．①③ ，π），函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称
）的值为（）C
．D
．﹣B
．﹣
9.如图所示，已知
||=1，
|
|=， =0，点C在线段AB上，且∠AOC=30°，
设
=m
+n（m，n∈R），则m﹣n等于 （ ）
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A
． B
． C
．﹣ D
．﹣
10.某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师到3个边远地区支教，每地至少1人，其中甲和乙一定不去同一地区，甲和丙必须去同一地区，则不同的选派方案共有 （ ）
A．27种 B．30种 C．33种 D．36种
11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）
A
． B．
2C
． D．
3
12.若存在两个正实数x，y，使得x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是 （ ）
A．（﹣∞，0）∪ C．
[，+∞） D．（﹣∞，0）
二、填空题(每小题5分，共30分)
13.已知函数f（x）
=为奇函数，且g（﹣e）=0，则a= ．
14.若实数x，y
满足条件：
，则的最大值为
15.在边长为2的正方形ABCD中，动点M和N分别在边BC和CD上，
且
则
?的最小值为 ． =，
=，
16.给出下列四个结论：
①若命题p：?x0∈R，
x+x0+1≤0，则￢p：?x∈R，x2+x+1＞0；
②命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实数根”的否命题为：“若m≤0，则方程x2+x﹣m=0没有实数根”；
③命题p：a=1是x＞0，
x+≥2恒成立的充要条件．
④设随机变量X服从正态分布N（3，4），则P（X＜1﹣3a）=P（X＞a2+7）成立的一个必要不充分条件是a=±1或2
其中正确的是
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
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17、(本小题满分12分)设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a?2bsinA （Ⅰ）求B的大小 ；（Ⅱ）求cosA?sinC的取值范围．
18、(本小题满分12分)已知数列?an? 的前n项和Sn=3n+8n，?bn?是等差数列，且an?bn?bn?1. 2
（Ⅰ）求数列?bn?的通项公式；
(an?1)n?1
（Ⅱ）令cn?. 求数列?cn?的前n项和Tn. n(bn?2)
19、(本小题满分12分)在2017年高校自主招生期间，某校把学生的平时成绩按“百分制”折算，排出前n名学生，并对这n名学生按成绩分组，第一组[75,80)，第二组[80,85)，第三组[85,90)，第四组[90,95)，第五组[95,100]，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数
为60
（I）请在图中补全频率分布直方图；
（II）若Q大学决定在成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试.
① 若Q大学本次面试中有B、C、D三位考官，规定获得两位考官的认可即面试
成功，且面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为111、，，求甲同学面试成功的概率； 235
②若Q大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官B的面试，第3组中有?名学生被考官B面试，求?的分布列和数学期望.
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20、(本小题满分12分)在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB?2BC，?ABC?60?，AC?FB．
（Ⅰ）求证：AC?平面FBC；（Ⅱ）求BC与平面EAC所成角的正弦值；
（Ⅲ）线段ED上是否存在点Q，使平面EAC?平面QBC？证明你的结论
21
x3?2(bx?a)1?的实根情况. (Ⅲ)讨论关于x的方程f(x)?2x2
请考生在第22~23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系xOy内，点P(x,y) 在曲线C：??x?1?cos?,(?为参数，??R上运动．以y?sin??
Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为?cos(??
（Ⅰ）写出曲线C的标准方程和直线l的直角坐标方程； ?4)?0．
（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，点M在曲线C上移动，试求?ABM面积最大值．
23、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
关于x的不等式lg(|x?3|?|x?7|)?m.
（Ⅰ） 当m?1时，解不等式；
（Ⅱ）设函数f(x)?lg(|x?3|?|x?7|)，当m为何值时，f(x)?m恒成立？
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辽宁省实验中学分校2016-2017学年度上学期阶段测试
高三年级理科数学答案
AACDC BCBBB CA
13. ﹣1﹣
e 14. 15. -1 16. ①②④
17、（Ⅰ）由a?2bsinA，根据正弦定理得sinA?2sinBsinA，所以sinB?由△ABC为锐角三角形得B?1， 2π． 6
（Ⅱ）cosA?sinC?cosA?sin????
????A? ??????cosA?sin??A? ?6?
1?cosA?cosA?
A 22
?????A??． 3??
由△ABC为锐角三角形知，
???????A??B，?B???． 222263
2????A??，
336
所以1???．
sin?A???2?3?2
?????A??? 232??由此有
3?所以，cosA?
sinC的取值范围为??． 2??
18、(Ⅰ)因为数列?an?的前n项和Sn?3n2?8n，
所以a1?11，当n?2时，
an?Sn?Sn?1?3n2?8n?3(n?1)2?8(n?1)?6n?5，
又an?6n?5对n?1也成立，所以an?6n?5．
又因为?bn?是等差数列，设公差为d，则an?bn?bn?1?2bn?d．
当n?1时，2b1?11?d；当n?2时，2b2?17?d，
解得d?3，所以数列?bn?的通项公式为bn?an?d?3n?1． 2
(an?1)n?1(6n?6)n?1
(Ⅱ)由cn???(3n?3)?2n?1， nn(bn?2)(3n?3)
于是Tn?6?22?9?23?12?24???(3n?3)?2n?1，
两边同乘以２，得
2Tn?6?23?9?24???(3n)?2n?1?(3n?3)?2n?2，
两式相减，得
?Tn?6?22?3?23?3?24???3?2n?1?(3n?3)?2n?2
3?22(1?2n)?3?2??(3n?3)?2n?2 1?22
Tn??12?3?22(1?2n)?(3n?3)?2n?2?3n?2n?2．
19、
.解：（Ⅰ）因为第四组的人数为60，所以总人数为：5?60?300，由直方图可知，第五组人数为:0.02?5?300?30人，又
人，第三组人数为：90人
60?30?15为公差，所以第一组人数为：45人，第二组人数为：752
-------------------4分
20、(本小题满分12分)
?【答案】（Ⅰ）证明：因为AB?2BC，?ABC?60，
在△ABC中，由余弦定理可得 AC?BC，
所以 AC?BC． 又因为 AC?FB，
所以AC?平面FBC． （Ⅱ）解：因为AC?平面FBC，所以AC?FC． 因为CD?FC，所以FC?平面ABCD．
所以CA,CF,CB两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系C?xyz．
在等腰梯形ABCD中，可得 CB?CD．
设BC?
1，所以C(0,0,0),AB(0,1,0),D11?,0),E?,1)． 22
31,?,1)，?(3,0,0)，?(0,1,0)． 22
??????n?CE?0,设平面EAC的法向量为n=(x,y,z)，则有???? ???n?CA?0.所以 ?(
1x?y?z?0,所以
取z?1，得n?(0,2,1)． 2?0.????????|CB?n|设BC与平面EAC所成的角为?，则
sin??|cos?CB,n?|? ?5|CB||n|
所以 BC与平面EAC所成角的正弦值为2．5
（Ⅲ）解：线段ED上不存在点Q，使平面EAC?平面QBC．证明如下：
3131,?,t) (0?t?1)，所以?(,?,t)． 2222
??????m?CB?0,设平面QBC的法向量为m?(a,b,c)，则有? ??????m?CQ?0.假设线段ED上存在点Q，设 Q(
?b?0,2c?1(?t,0,1)．
所以
取 ，得m?13?b?tc?0.2
要使平面EAC?平面QBC，只需m?n?0，
即
?0?0?2?1?1?0， 此方程无解． 所以线段ED上不存在点Q，使平面EAC?平面QBC．
21、(本小题满分12分)
【答案】(共14分)解:(Ⅰ) f(x)?lnx?
则f(x)?|a,定义域为(0,??),x1ax?a??2. xx2x
因为a?0,由f?(x)?0,得x?(a,??), 由f?(x)?0,得x?(0,a),
所以f(x)的单调递增区间为(a,??) ,单调递减区间为(0,a).
(Ⅱ)由题意,以P(x0,y0)为切点的切线的斜率k满足k?f?(x0)?
所以a??x0?a1? (x0?0), 2x021211x0?x0对x0?0恒成立. 又当x0?0时, ?x02?x0?, 222
1所以a的最小值为. 2
x3?2(bx?a)1?化简得 (Ⅲ)由题意,方程f(x)?2x2
121x+ x?(0,??) 22
1211(1?x)(1?x)令h(x)?lnx?x?b?,则h?(x)??x?. 22xxb?lnx?当x?(0,1)时, h?(x)?0,当x?(1,??)时, h?(x)?0,
所以h(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,??)上单调递减.
所以h(x)在x?1处取得极大值即最大值,最大值为h(1)?ln1?121?1?b???b.22
所以 当?b?0, 即b?0时,y?h(x) 的图象与x轴恰有两个交点, x3?2(bx?a)1?有两个实根, 方程f(x)?2x2
当b?0时, y?h(x) 的图象与x轴恰有一个交点,
x3?2(bx?a)1?有一个实根, 方程f(x)?2x2
当b?0时, y?h(x) 的图象与x轴无交点, x3?2(bx?a)1?无实根 方程f(x)?2x2
22、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解：（1）消去参数?，得曲线C的标准方程：(x?1)2?y2?1. 由?cos(???4)?0得：?cos???sin??0， 即直线l的直角坐标方程为：x?y?0.
（2）圆心(1,0)到直线l的距离为d?
则圆上的点M到直线的最大距离 为d?r?1?1?2， 22， ?1（其中r为曲线C的半径）2
|AB|?22?(22)?2．设M点的坐标为(x,y)， 2则过M且与直线l垂直的直线l?方程为：x?y?1?0， ?(x?1)2?y2?1则联立方程?， x?y?1?0?
??22x??1x???1????22解得?，或?，
?y?2?y??2
??22??
?2?1?x???2经检验?舍去．
?y?2
?2?
故当点M为(22?1,?)时，?ABM面积的最大值为 22
12?2?(?1)?222?1. 2 (S?ABM)max?
23、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：（1）当m?1时，原不等式可变为0?|x?3|?|x?7|?10， 可得其解集为{x|2?x?7}.
（2）设t?|x?3|?|x?7|，
则由对数定义及绝对值的几何意义知0?t?10， 因y?lgx在(0,??)上为增函数， 则lgt?1，当t?10,x?7时，lgt?1， 故只需m?1即可， 即m?1时，f(x)?m恒成立．
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