2016-2017学年辽宁省沈阳市铁路实验中学高三（上）期中
数学试卷（理科）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知复数z=
A．﹣2 B．0 ，为z的共扼复数，则?z的值为（） C． D．2
≥0}，则集合A∩B=（） 2．已知集合A={x|x2﹣3x+2≥0}，B={x|
A．{x|x≤1} B．{x|x≥2或x≤0} C．{x|1＜x≤2} D．{x|1≤x≤2}
3．已知命题p：?x∈R，2x＜3x；命题q：?x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）
A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q
4．函数f（x）=Asin（ωx+）（ω＞0）的图象与x轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数g（x）=Asinωx的图象，只需将f（x）的图象（） A．向左平移
C．向左平移个单位 个单位 B．向右平移D．向右平移个单位 个单位
5．某校高考数学成绩ξ近似地服从正态分布N，且p（ξ＜110）=0.98，则P（90＜ξ＜100）的值为（）
A．0.49 B．0.52 C．0.51 D．0.48
6．如图给出的是计算+++…+
（） +的值的程序框图，其中判断框内应填入的是
A．i≤4030？
7．设a=B．i≥4030？ C．i≤4032？ D．i≥4032？ （cosx﹣sinx）dx，则二项式（x2+）6展开式中的x3项的系数为（）
A．﹣20 B．20 C．﹣160 D．160
8．已知函数f（x）=a﹣x2（1≤x≤2）与g（x）=x+2的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣，+∞） B．[﹣，0]
9．已知锐角θ满足sin（
A．﹣ B． +C．[﹣2，0] D．[2，4] ）=，则cos（θ+ D． ）的值为（ ） C．﹣
10．将一骰子向上抛掷两次，所得点数分别为m和n，则函数y=mx3﹣nx+1在[1，+∞）上为增函数的概率是
（ ）
A． B． C． D．
11．把座位编号为1，2，3，4，5，6的6张电影票分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少分一张，至多分两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同分法种数为（ ） A．240 B．144 C．196 D．288
12．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2016）2f（x+2016）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（ ） A． （﹣∞，﹣2016） B．（﹣∞，﹣2014） C．（﹣∞，﹣2018） D．（﹣2018，﹣2014）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.） 13．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=﹣
=x，则f（﹣
14．曲线）= 与直线y=x﹣1及x=4所围成的封闭图形的面积为
（x＞0），观察：
，
；
．
，当1≤x≤2时，f（x）15．设函数f（x）=f1（x）=f（x）=f2（x）=f（f1（x））=f3（x）=f（f2（x））=f4（x）=f（f3（x））=
…
根据以上事实，当n∈N*时，由归纳推理可得：fn（1）= ．
16．已知f（x）=xex，g（x）=﹣（x+1）2+a，若?x1，x2∈[﹣2，0]，使得f（x2）≤g（x1）成立，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题：（满分60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）
17．已知函数
（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）当x∈[0，]时，函数 y=f（x）的最小值为，试确定常数a的值． 18．2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元，距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民损款，现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，投抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望； （3）台风后区委会号召该小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，在表格空白外填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500
附：临界值参考公式：，n=a+b+c+d．
19．已知函数f（x）=lnx﹣．
（1）当a＞0时，判断f（x）在定义域上的单调性；
（2）若f（x）在[1，e]上的最小值为，求a的值．
20．已知向量=（cos，﹣1），=（
（1）若x∈[0，]，f（x）=sin，cos2），设函数f（x）=+1． ，求cosx的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2bcosA≤2c﹣a，求f（B）的取值范围．
21．已知函数f（x）=ex（x2﹣2x+2﹣a2）（a＞0），g（x）=x2+6x+c（c∈R）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=﹣4x﹣2，求a的值； （Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当a=1时，对?x1∈[﹣2，2]，?x2∈[﹣2，2]，使f（x1）＜g（x2）成立，求实数c的取值范围．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.在答题卡选答区域指定位置答题，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知直线l的参数方程是（t是参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，且取相同的长度单位建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）． （1）求直线l的普通方程与圆C的直角坐标方程；
（2）设圆C与直线l交于A、B两点，若P点的直角坐标为（1，0），求|PA|+|PB|的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x|+a．
（1）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若方程f（x）=x有三个不同的解，求实数a的取值范围．
2016-2017学年辽宁省沈阳市铁路实验中学高三（上）期
中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知复数z=
A．﹣2 B．0 ，为z的共扼复数，则?z的值为（ ） C． D．2
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】先化简复数z，再写出它的共轭复数，从而计算?z的值．
【解答】解：∵复数z===﹣1+i，
∴=﹣1﹣i，
∴?z=（﹣1﹣i）?（﹣1+i）=（﹣1）2﹣i2=2．
故选：D．
2．已知集合A={x|x2﹣3x+2≥0}，B={x|≥0}，则集合A∩B=（ ）
A．{x|x≤1} B．{x|x≥2或x≤0} C．{x|1＜x≤2} D．{x|1≤x≤2}
【考点】交集及其运算．
【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．
【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣1）（x﹣2）≥0，
解得：x≤1或x≥2，即A={x|x≤1或x≥2}；
由B中不等式解得：x≤0或x＞1，即B={x|x≤0或x＞1}，
则A∩B={x|x|x≥2或x≤0}，
故选：B
3．已知命题p：?x∈R，2x＜3x；命题q：?x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q
【考点】复合命题的真假．
【分析】举反例说明命题p为假命题，则￢p为真命题．引入辅助函数f（x）=x3+x2﹣1，由函数零点的存在性定理得到该函数有零点，从而得到命题q为真命题，由复合命题的真假得到答案．
【解答】解：因为x=﹣1时，2﹣1＞3﹣1，所以命题p：?x∈R，2x＜3x为假命题，则￢p为真命题．
令f（x）=x3+x2﹣1，因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0．所以函数f（x）=x3+x2﹣1在（0，1）上存在零点，
即命题q：?x∈R，x3=1﹣x2为真命题．
则￢p∧q为真命题．
故选B．
4．函数f（x）=Asin（ωx+）（ω＞0）的图象与x轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数g（x）=Asinωx的图象，只需将f（x）的图象（ ）
A．向左平移
C．向左平移个单位 个单位 B．向右平移D．向右平移个单位 个单位
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】由题意可得，函数的周期为 2×=fx）=Asin2，求得ω=2，可函数（（x+）．再根据函数y=Asin（ωx+?）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：由题意可得，函数的周期为 2×
=Asin（2x+）=Asin2（x+）．
） 的图象向右平移个=π，再由 =π 可得ω=2，即函数f（x）要得到函数g（x）=Asin2x的图象，只需将f（x）=Asin2（x+
单位即可，
故选D．
5．某校高考数学成绩ξ近似地服从正态分布N，且p（ξ＜110）=0.98，则P（90＜ξ＜100）的值为（ ）
A．0.49 B．0.52 C．0.51 D．0.48
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【分析】根据随机变量ξ服从标准正态分布N，得到正态曲线关于ξ=100对称，利用P（ξ＜110）=0.98，求出P（ξ＞110）=0.02，即可求出P（90＜ξ＜100）的值．
【解答】解：∵随机变量ξ服从标准正态分布N，
∴正态曲线关于ξ=100对称，
∵P（ξ＜110）=0.98，
∴P（ξ＞110）=1﹣0.98=0.02，
∴P（90＜ξ＜100）=（1﹣0.04）=0.48．
故选：D．
6．如图给出的是计算+++…+
（ ）
+的值的程序框图，其中判断框内应填入的是
A．i≤4030？ B．i≥4030？ C．i≤4032？ D．i≥4032？
【考点】程序框图．
【分析】程序的功能是求S=+++…++的值，且在循环体中，S=S+表示，每次累加的是的值，故当i≤4032应满足条件进入循环，进而得到答案．
【解答】解：∵程序的功能是求S=+++…+
且在循环体中，S=S+表示，每次累加的是的值，
故当i≤4032应满足条件进入循环，
i＞4032时就不满足条件
分析四个答案可得条件为：i≤4032，
故选：C
7．设a=（cosx﹣sinx）dx，则二项式（x2+）6展开式中的x3项的系数为（ ）
C．﹣160 D．160 +的值， A．﹣20 B．20
【考点】二项式定理；微积分基本定理．
【分析】计算定积分求得a的值，在二项式展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得展开式中的x3项的系数．
【解答】解：由于a==（sinx+cosx）
?x12﹣2r?=﹣2， =（﹣2）r??x12﹣3r， 则二项式展开式的通项公式为 Tr+1=
令12﹣3r=3，解得r=3，故展开式中的x3项的系数为﹣8×20=﹣160，
故选C．
8．已知函数f（x）=a﹣x2（1≤x≤2）与g（x）=x+2的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣，+∞） B．[﹣，0] C．[﹣2，0] D．[2，4]
【考点】二次函数的性质．
【分析】由已知，得到方程a﹣x2=﹣（x+2）?a=x2﹣x﹣2在区间[1，2]上有解，构造函数h（x）=x2﹣x﹣2，求出它的值域，得到a的范围即可
【解答】解：若函数f（x）=a﹣x2（1≤x≤2）与g（x）=x+2的图象上存在关于x轴对称的点，
则方程a﹣x2=﹣（x+2）?a=x2﹣x﹣2在区间[1，2]上有解，
令h（x）=x2﹣x﹣2，1≤x≤2，
由h（x）=x2﹣x﹣2的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，
故当x=1时，h（x）取最小值﹣2，当x=2时，函数取最大值0，
故a∈[﹣2，0]，
故选：C．
9．已知锐角θ满足sin（
A．﹣ B． +）=，则cos（θ+ D． ）的值为（ ） C．﹣
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】利用同角三角函数关系和诱导公式进行化简求值．
【解答】解：∵sin（
∴sin（
∵0＜θ＜
∴＜θ+++）=， ）]=，则cos（θ+）=， ）2= [1﹣cos（θ+， ＜，
∴sin（θ+
∴sin（θ+
∴cos（θ+
故选：C．
）＞0， ）=）=cos（=+θ+ ）=﹣sin（θ+）=﹣，
10．将一骰子向上抛掷两次，所得点数分别为m和n，则函数y=mx3﹣nx+1在[1，+∞）上为增函数的概率是
（ ）
A． B． C． D．
【考点】概率与函数的综合．
【分析】将一骰子向上抛掷两次，所得点数分别为m和n的基本事件个数有36个．函数
在[1，+∞）上为增函数包含的基本事件个数为30个，利用古典概型公式
即可得到答案．
【解答】解：∵将一骰子向上抛掷两次，所得点数分别为m和n的基本事件个数为36个．
又∵函数
成立．
∴
∴函数在[1，+∞）上恒成立即 在[1，+∞）上为增函数．则y，=2mx2﹣n≥0在[1，+∞）上恒在[1，+∞）上为增函数包含的基本事件个数为30个．
在[1，+∞）上为增函数的概率是． 由古典概型公式可得函数
故选D
11．把座位编号为1，2，3，4，5，6的6张电影票分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少分一张，至多分两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同分法种数为（ ） A．240 B．144 C．196 D．288
【考点】排列、组合的实际应用．
【分析】根据题意，先将票分为符合题意要求的4份；可以转化为将1、2、3、4、5、6这六个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号的问题，用插空法易得其情况数目，再
将分好的4份对应到4个人，由排列知识可得其情况数目，由分步计数原理，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①、先将票分为符合条件的4份；
由题意，4人分6张票，且每人至少一张，至多两张，则两人一张，2人2张，且分得的票必须是连号，
相当于将1、2、3、4、5、6这六个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号； 易得在5个空位插3个板子，共有C53=10种情况，但其中有四种是1人3张票的，故有10﹣4=6种情况符合题意，
②、将分好的4份对应到4个人，进行全排列即可，有A44=24种情况；
则共有6×24=144种情况；
故选：B．
12．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2016）2f（x+2016）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（ ） A． （﹣∞，﹣2016） B．（﹣∞，﹣2014） C．（﹣∞，﹣2018） D．（﹣2018，﹣2014）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．
【解答】解：由2f（x）+xf′（x）＞x2，（x＜0），
得：2xf（x）+x2f′（x）＜x3，
即[x2f（x）]′＜x3＜0，
令F（x）=x2f（x），
则当x＜0时，
得F′（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，0）上是减函数，
∴F（x+2016）=（x+2016）2f（x+2016），F（﹣2）=4f（﹣2），
即不等式等价为F（x+2016）﹣F（﹣2）＞0，
∵F（x）在（﹣∞，0）是减函数，
∴由F（x+2016）＞F（﹣2）得，x+2016＜﹣2，
即x＜﹣2018，
故选：C．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.） 13．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=﹣
=x，则f（﹣）=
．
，当1≤x≤2时，f（x）
【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．
【分析】由已知求出函数的周期，然后借助于函数的性质及1
≤
x
≤
2
时，f（x）=x求得答案．
【解答】解：由f（x+2）=﹣，得f（x+4）=﹣=f（x），
∴f（x）是周期为4的奇函数，又当1≤x≤2时，f（x）=x，
∴f（﹣）=﹣f（
． ）=﹣f（4+）=﹣f（）=﹣． 故答案为：
14．曲线与直线y=x﹣1及x=4所围成的封闭图形的面积为42ln2．
【考点】定积分在求面积中的应用．
【分析】先联立两个曲线的方程，求出交点，以确定积分公式中x的取值范围，最后根据定积分的几何意义表示出区域的面积，根据定积分公式解之即可．
【解答】解：由曲线
故所求图形的面积为S=
故答案为：4﹣2ln2． 与直线y=x﹣1联立，解得，x=﹣1，x=2， ==4﹣2ln2．
15．设函数f（x）=
f1（x）=f（x）=
f2（x）=f（f1（x））=
f3（x）=f（f2（x））=
f4（x）=f（f3（x））=
…
根据以上事实，当n∈N*时，由归纳推理可得：fn（1）=
（
n
∈
N
*
）
． ， ； ． （x＞0），观察：
【考点】数列递推式．
【分析】根据已知中函数的解析式，归纳出函数解析中分母系数的变化规律，进而得到答案．
【解答】解：由已知中设函数f（x）=
f1（x）=f（x）=
f2（x）=f（f1（x））=
f3（x）=f（f2（x））=
f4（x）=f（f3（x））=
…
归纳可得：fn（x）=，（n∈N*） ， ； ． （x＞0），观察：
∴fn（1）==（n∈N*），
故答案为：（n∈N*）
16．已知f（x）=xex，g（x）=﹣（x+1）2+a，若?x1，x2∈[﹣2，0]，使得f（x2）≤g（x1）成立，则实数a
【考点】特称命题．
【分析】
?
x
1，
x
2
∈[
﹣2，0]，使得f（x2）≤g（x1）成立，等价于f（x）min≤g（x）max，利用导数可求得f（x）的最小值，根据二次函数的性质可求得g（x）的最大值，代入上述不等式即可求得答案．
【解答】解：?x1，x2∈[﹣2，0]，使得f（x2）≤g（x1）成立，等价于f（x）min≤g（x）max，
f′（x）=ex+xex=（1+x）ex，
当x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）递减，当x＞﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增， 所以当x=﹣1时，f（x）取得最小值f（x）min=f（﹣1）=﹣；
当x=﹣1时g（x）取得最大值为g（x）max=g（﹣1）=a，
所以﹣≤a，即实数a的取值范围是a≥﹣．
故答案为：[﹣，+∞）．
三、解答题：（满分60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）
17．已知函数
（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）当x∈[0，]时，函数 y=f（x）的最小值为，试确定常数a的值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的化简求值；正弦函数的图象．
fx）=【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得（（
由x+∈[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）且sin）（x+），，即可解得f（x）的单调递增区间．
（2）当x∈[0，]时，可求x+
，
由已知得=，即可得解． ∈[，]，从而可求f（x）最小值为
【解答】（本题满分为12分）
解：
+sinx+a2sin（x+
sin（x+）+a2sin（x+
），…
，2kπ+
，
， ===（） ） ）sin（x+∈[2kπ﹣（1）由x+∵∴]（k∈Z）得：x∈[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z），
∴函数y=f（x）的单调递增区间是：[2kπ﹣
∈Z）．…
（2）当x∈[0，
∴当x+=]时，x+∈[，，2kπ﹣），（ 2kπ﹣，2kπ+]（k]， ， 时，函数y=f（x）取得最小值为
=， ∴由已知得
∴a=±1．…
18．2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元，距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民损款，现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，投抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望； （3）台风后区委会号召该小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，在表格空白外填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500
4000
附：临界值参考公式：，n=a+b+c+d．
【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图．
【分析】（1）求得各组区间的中点值，计算各个矩形的面积之和即可；
（2）由频率分布直方图可得，损失超过4000元的居民共有15户；损失超过8000元的居民共有3户，因此，ξ可能取值为0，1，2，运用排列组合的知识，可得各自的概率，由期望公式计算即可得到；
（3）由（2）可得a，b，c，d，运用临界值参考公式，计算即可得到结论．
【解答】解：（1）记每户居民的平均损失为元，则
=×2000
=3360；
（2）由频率分布直方图可得，损失超过4000元的居民共有（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50=15户，损失超过8000元的居民共有0.00003×2000×50=3户，因此，ξ可能取值为0，1，2
，，，ξ的分布
；
则
可得
，
所有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否4000元有关．
19．已知函数f（x）=lnx﹣．
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