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山东师大附中2015级第五次学分认定考试
数 学 试 卷（文科）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分为150分，考试用时120分钟。
第I卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
（1）设m?R,命题“若m?0,则方程x2?x?m?0有实根”的逆否命题是
（A）若方程x2?x?m?0有实根，则m?0
(B) 若方程x2?x?m?0有实根，则m?0
(C) 若方程x2?x?m?0没有实根，则m?0
(D) 若方程x2?x?m?0没有实根，则m?0
（2）设A，B是两个集合，则“A?B?A”是“A?B”的
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
(C)充要条件（D）既不充分也不必要条件
x2y2
（3）已知椭圆??1（m?0）的左焦点为F1??4,0?，则m? 25m2
（A）9（B）4(C)3（D）2
（4）为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为
（A）50（B）40(C)25（D）20
（5）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x?3，y?3.5，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是
??0.4x?2.3（B）y??2x?2.4 （A）y
???2x?9.5（D）y???0.3x?4.4 （C）y
（6）设命题p：?n?N,n?2，则?p为 2n
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（A）?n?N,n?2 （B）?n?N,n2?2n
（C）?n?N,n?2 （D）?n?N,n=2
（7）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为
（A）0.4（B）0.6(C)0.8（D）1 2n2n2n
?y?2?（8）已知变量x,y满足约束条件?x?y?1，则z?3x?y的最大值为
?x?y?1?
（A）12（B）11(C)3（D）?1
（9）为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论：
①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；
②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；
③甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；
④甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.
其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为
（A）①③ (B) ①④ (C) ②③ (D) ②④
（10）已知命题p：关于x的函数y=x2?3ax?4在[1,??)上是增函数，命题q：函数y=(2a?1)x为减函数，若p?q为真命题，则实数a的取值范围是
（A）a?21121（B） 0?a?(C)?a?（D）?a?1 32232
（11）在区间?0,2?上随机地取一个数x,则事件“?1?log1(x?
21)?1”发生的概率为 2
（A）3211（B）（C）（D） 4334
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x2y2
（12）已知椭圆C:2?2?1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线ab
y?(x?c)与椭圆C的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则C的离心率为
（A）2-1-1（B）-1 (C)（D）3-1 22
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
（13）点P（-1，2）在不等式2x+3y-b＞0表示的区域内，则实数b的范围是 ．
（14）若“?x??0,???,tanx?m”是真命题，则实数m的最小值为. ??4?
x2y2（15）已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左右焦点分别为F1，F2
F2ab的直线l交C与A，B两点，若△AF1B
的周长为C的方程为
（16）下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a,b分别为14，18，则输出的a为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.
（17）(本小题满分10分)
命题p：实数x满足x2?4ax?3a2?0，其中a?0；命题q：实数x满足x2?2x?8?0；若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．
（18）(本小题满分10分)
已知a>0，设命题p：函数y?a在R上单调递增；命题q：不等式ax－ax＋1>0对 2x
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?x∈R恒成立．若p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围．
（19）(本小题满分12分)
已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,且过点A(?
2,0)和B.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若椭圆E与椭圆C有相同的焦点,
且过点P(2,（20）(本小题满分12分)
在某校趣味运动会的颁奖仪式上，大会组委会决定在颁奖过程中进行抽奖活动，参加颁奖仪式的高二代表队中有6人前排就座．
（Ⅰ）把在前排就座的高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现从中随机抽取2人上台抽奖，求a和b至少有一人上台抽奖的概率；
（Ⅱ）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖"，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖．求该代表中奖的概率．
,求椭圆E的离心率.
（第20题图）（第21题图）
（21）(本小题满分12分)
某市倡导高中学生在校期间参加不少于80小时的社区服务．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；
（Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．
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（22）(本小题满分14分)
x2y22已知椭圆C2?2?1(a?b?0)的两个焦点为F1 、F2，离心率为，直线l与椭圆2ab
相交于A 、B两点，且满足AF1?AF2?42 ，kOA?kOB??1，O为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）证明：?OAB的面积为定值．
2
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山东师大附中2015级第五次学分认定考试参考答案
x2y2
13.b?4 14.1 15.??1 16.2
32
三、解答题
22x?4ax?3a?0对应的根为a，3a；由于a?0， 17.解：方程
22?3a,a?，故命题p成立有x??3a,a?；??????4分
则x?4ax?3a?0的解集为
x????,?4?U?2,???由x?2x?8?0得，
2
故命题q成立有
x????,?4?U?2,???
?????8分
若p是q的充分不必要条件，所以 3a?2或a??4， 即a?
2
或a??4．??????10分 3
x
18.解：∵函数y＝a在R上单调递增，∴p：a>1．????????2分
22
不等式ax－ax＋1>0对?x∈R恒成立，∴a>0且a－4a<0，解得0<a<4， ∴q:0<a<4． ??????4分 ∵“p∧q”为假，“p∨q”为真，∴p、q中必有一真一假． ①当p真，q假时，?
?a?1
，得a≥4． ??????6分 a?4?
?0?a?1
，得0<a≤1． ??????8分
?0?a?4
②当p假，q真时，?
故a的取值范围为（0，1]∪[4，＋∞）． ??????10分
x2y219. 解：（Ⅰ）依题意可设椭圆C的标准方程为:2?2?1?a?b?0?,将点A,B的坐标
ab
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x2y2
代入,得a?4,b?3,所以椭圆C的方程为??1.?????6分 4322
x2y2
（Ⅱ）依题意可设椭圆E的标准方程为:2?2?1?a?b?0?,因为与椭圆C有相同的ab
?414?2?1??2?,所以?焦点,且过点P?2,?,解得a2?8,b2?7,?????10分 ab??2????a2-b2?1?
∴c2?8?7?
1即a?c?1,e?c.?????12分 ??a20.解：（Ⅰ）由题意得，从高二代表队6人中随机抽取2人的所有基本事件有（a，b）、（a，c）、（a，d）、（a，e）、（a，f）、（b，c）、（b，d）、（b，e）、（b，f）、（c，d）、（c，e）、（c，f）、（d，e）、（d，f）、（e，f），共15种，???????2分
设“高二代表队中a和b至少有一人上台抽奖”为事件M，则事件M的基本事件有（a，b）、（a，c）、（a，d）、（a，e）、（a，f）、（b，c）、（b，d）、（b，e）、（b，f），共9种，??4分 P(M)?
所以93?155???????6分
（Ⅱ）由已知0?x?1,?点(x,y)在如图所示的正方形OABC内，由
区域如图中阴影部分所示．
?2x?y?1?0,??0?x?1,?0?y?1,? 得到的
113?(1?)?1?24???????10分 所以阴影部分的面积为2
3
3P(N)??14???????12分 设“该代表中奖”为事件N，则
21.解：（Ⅰ）由题意可知，参加社区服务在时间段[90，95）的学生人数为
20×0．04×5=4（人），
参加社区服务在时间段[95，100]的学生人数为20×0．02×5=2（人）．
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所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为 4+2=6（人）．????????6分 （Ⅱ）设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件A．由（Ⅰ）可知，
参加社区服务在时间段[90，95）的学生有4人，记为a，b，c，d；
参加社区服务在时间段[95，100]的学生有2人，记为A，B．
从这6人中任意选取2人有
ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB
共15种情况． ????????8分 事件A包括ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况． ????????10分 所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率P?A??7． ????????12分 15
22.解：
即a?
c，可得?，
a
又2a?AF1?AF2?
，∴a?4分
2x2y2
∴c=2，∴b?4，∴椭圆方程为??1?????6分 84
（Ⅱ）设直线AB的方程为y?kx?m，设A，联立 （x1，y1），（Bx2，y2）
?y?kx?m?2，可得?1?2k2?x2?4kmx?2m2?8?0， ?xy2
?1??4?8
??(4km)2?4?1?2k2?(2m2?8)?8?8k2?m2?4??0①
?4km2m2?8?????8分 x1?x2?,x1x2?221?2k1?2k
y1y21??，∴x1x22
112m2?8m2?4y1y2??x1x2?????2221?2k1?2k2
2m2?8?4kmm2?8k2
2y1y2??kx1?m??kx2?m??kx1x2?km?x1?x2??m?k??km??m?1?2k21?2k21?2k2222
m2?4m2?8k2
22222?∴?，∴，∴，?????10分 4k?2?m?m?4?m?8k??221?2k1?2k
设原点到直线AB的距离为d
，则S?OAB?1AB?d? 2北京正确教育投资有限公司 010-57798222
=??????12分 当直线AB斜率不存在时，有A,B2,,d?2， ∴S?OAB???1?2???OAB的面积为定值.?????14分 2
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