山东师大附中2015级第五次学分认定考试
数学试题（理工类）
第I卷（共60分） 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分为150分，考试用时120分钟。
一. 选择题（共12个小题，每题5分，满分60分）
1.设命题p：?n?N,n2?2n，则?p为
（A）?n?N,n?2（B）?n?N,n?2
（C）?n?N,n?2（D）?n?N,n=2 2n2n2n2n
x2y2
2.已知椭圆??1的左焦点为F1??4,0?,则实数m? 25m
3.下面四个条件中，使得a?b成立的充分而不必要的条件是
（A） a?b?1（ B）a?b?1
（C）a2?b2（D） a3?b3
x2y2
4. 若双曲线E:??1 的左、右焦点分别为F1,F2，点P在双曲线E上，且PF1?3，916
则PF2 等于（ ）
(A)11(B)9( C)5(D)3
5.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送
来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则
这批米内夹谷约为（ ）
(A)134石( B)169石( C)338石 (D)1365石
6.执行如图所示的程序框图，输出的i为
(A)4
7．某餐厅的原料费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为=8.5x+7.5，则表中的m的值为（
） (B)5 (C)6 (D)7
北京正确教育投资有限公司 010-57798222
( A) 50 (B) 55 (C) 60 (D) 65
?4x?5y?8?
8若变量x，y满足约束条件?1?x?3则z?3x?2y的最小值为（ ）
?0?y?2?
(A)
3123 (B) 6 (C) (D) 4 55
ba,b?R,a?1是?a?1?b?0的什么条件？ 9.
（A） 充分非必要条件 （B） 必要非充分条件
（C） 充要条件 （ D ）既不是充分条件又不是必要条件
x2y25
10. 已知双曲线C：2?2?1的离心率e?，且其右焦点F2?5,0?，则双曲线C的方
ab4
程为（ ）
x2y2x2y2x2y2x2y2
(A)??1
(C) ??1 (B)
??1 (D) ??1
1694391634x2y211.已知椭圆E：2+2=1(a>b>0)过点，则椭圆的方程为
abx2y2x2y2x2y2x2y2
(A) ??1 (B) +=1 (C) ??1 (D) ??1
43421691612
12某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
(A)12万元 ( B)16万元
(C)17万元D．18万元
北京正确教育投资有限公司 010-57798222
第Ⅱ卷（共90分）
二. 填空题（共4个小题，每题5分，满分20分）
13.随机抽取100名年龄在?10,20?,?20,30??，?50,60?年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于30岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取22人，则在?50,60?年龄段抽取的人数为 .
?x?1?0y?14. 若x,y满足约束条件?x?y?0，则的最大值x?x?y?4?0?为 .
x2y23225215圆(x?)?y?经过椭圆2?2?1?a?b?0?的三个顶点，则该椭圆的标准方24ab
程为 .
16. 在区间[0,1]上随机取两个数x,y，记p1为事件“x?y?“|x?y|?1”的概率，p2为事件211”的概率，p3为事件“xy?”的概率，则 p1,p2,p3由小到大的顺序是 22
三. 解答题（共6个小题，满分70分）
?x2?x?6?017（满分10分）设命题p:x?4ax?3a?0，命题q:?2 ?x?2x?8?022
若?p是?q的充分不必要条件，求实数a的范围
.
北京正确教育投资有限公司 010-57798222
18（满分10分）从一批苹果中,随机抽取50个,其重量(单位:克)的频数分布表如下:
(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率;
(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个,其中重量在
[80,85)的有几个?
(3) 在(2)中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率. 19. （本小题满分12分）
有两个袋子，其中甲袋中装有编号分别为1、2、3、4的4个完全相同的球，乙袋中装有编号分别为2、4、6的3个完全相同的球.
（I）从甲、乙袋子中各取一个球，求两个小球的编号之和小于8的概率；
（II）从甲袋中取2个球，从乙袋中取一个球，求所取出的3个球中含有编号为2的球的概率.
20（满分12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：
图1-4
(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；
北京正确教育投资有限公司 010-57798222
(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；
(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．
22xy21（本题满分13分）已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的两个焦点和短轴的两个顶点ab
构成的四边形是一个正方形，且其周长为42.
（1）求椭圆的标准方程
（2）点P(x0,y0)(y0?0)在椭圆C上，过点P的直线l的方程为x0xy0y?2?1． 2ab设椭圆的左、右焦点F1,F2到直线l的距离分别为d1,d2，求证：d1?d2为定值
x2y2
22（本小题满分13分）已知椭圆?:2?2?1（a?b?0）ab
的半焦距为c，原点?到经过两点?c,0?，?0,b?的直线的距离为1c． 2
22（I）求椭圆?的离心率； （II）如图，??是圆?:?x?2???y?1??5的一条直2
径，若椭圆?经过?，?两点，求椭圆?的方程．
北京正确教育投资有限公司
010-57798222
参考答案
一、选择题
二、填空题
x2y2
13、2人 14、 3 15、??1 16、p2?p3?p1
164三、解答题
17、解: ?p是?q的充分不必要条件,所以?p??q?q?p-------2分
?x2?x?6?0??2?x?3q:?2所以q:?，2?x?3-----------5分
x??4或x?2??x?2x?8?0当2?x?3时，x2?4ax?3a2?0，设f?x??x2?4ax?3a2
?f?2??0?3a2?8a?4?0
??2所以?----------------------------------------8分 ???f3?0?a?4a?3?0?2
??a?2??3?1?a?2-------------------------------------------------10分 ??1?a?3
18、【解析】(1)重量在?90,95?的频率?
20
?0.4; -------2分 50
(2)若采用分层抽样的方法从重量在?80,85?和?95,100?的苹果中共抽取4个,则重量在?80,85?的个数?
5
?4?1; -----------5分 5?15
(3)设在?80,85?中抽取的一个苹果为x,在?95,100?中抽取的三个苹果分别为a,b,c,从抽出的4个苹果中,任取2个共有(x,a),(x,b),(x,c),(a,b),(a,c),(b,c)6种情况,其中符合“重量在?80,85?和?95,100?中各有一个”的情况共有(x,a),(x,b),(x,c)种;设“抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在?80,85?和?95,100?中各有一个”为事件
A,则事件A的概率P(A)?
31
?; -------------10分 62
北京正确教育投资有限公司 010-57798222
22
19、【答案】（1）（2）
33
解析：（1）记甲袋中的四个小球为a1,a2,a3,a4，乙袋中的三个小球为b2,b4,b6，从两个袋子中各取一个方法有12种：?a1,b2?,?a1,b4?,?a1,b6?,?a2,b2?,?a2,b4?,?a2,b6?
?a3,b2?,?a3,b4?,?a3,b6?,?a4,b2?,?a4,b4?,?a4,b6?-----------------------------------3分
其中两个小球的编号小于8的有8个：?a1,b2?,?a1,b4?,?a1,b6?,?a2,b2?,?a2,b4?,
?a3,b2?,?a3,b4?,?a4,b2?,
所以两个小球的编号之和小于8的概率为P1?
82
?；----------------------6分 123
（2）从甲袋中取2个球，从乙袋中取一个球的不同取法有18种：
?a1,a2,b2?,?a1,a2,b4?,?a1,a2,b6?,?a2,a3,b2?,?a2,a3,b4?,?a2,a3,b6? ?a1,a3,b2?,?a1,a3,b4?,?a1,a3,b6?,?a2,a4,b2?,?a2,a4,b4?,?a2,a4,b6? ?a1,a4,b2?,?a1,a4,b4?,?a1,a4,b6?,?a3,a4,b2?,?a3,a4,b4?,?a3,a4,b6?-----9分
含有编号2的有12种
?a1,a2,b2?,?a1,a2,b4?,?a1,a2,b6?,?a2,a3,b2?,?a2,a3,b4?,?a2,a3,b6? ?a1,a3,b2?,?a2,a4,b2?,?a2,a4,b4?,?a2,a4,b6?，?a1,a4,b2?,?a3,a4,b2?,
取出的3个球中含有编号为2的球的概率.P2?
122
?------------------------12分 183
20、解：(1)由所给茎叶图知，将50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的
是75，75，故样本的中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75. ----------------------------3分
50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是66，68，故样本中位数为66＋68
＝67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67.--------6分 2
(2)由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为
58＝0.1，＝5050
0.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1，0.16.-------9分
(3)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民
北京正确教育投资有限公司 010-57798222
对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．(注：考生利用其他统计量进行分析，结论合理的同样给分．)--------------12分
x2
221、【答案】（1）（2）1 +y=1；2
??4a??【解答】（1
）由题意，得：? ??????2分 ?b?c,
又因为a2?b2?c2
解得a，b?1，c?1， ??????4分
x2
所以椭圆C的方程为?y2?1. ??????6分 2
x2
0?,F2?1，0? （2）椭圆?y2?1的左、右焦点 F1??1，2
直线l的方程为：x0x?2y0y?2?0???????8分
d1d2? ………………………………10分
2|x0?4|?2?2x0?4y0224?x04?x0??1………………………….13分 22?x?4?x02x0?4?1?0?2??
x2y222、【答案】（I
；（II）??1． 123【解析】（I）过点?c,0?，?0,b?的直线方程为bx+cy-bc=0，
则原点?
到直线的距离d??bc，---------------------2分 a
由d=
c1.-----------------------4分 c，得a=2b=
，解得离心率=a2
222(II)由（I）知，椭圆?的方程为x+4y=4b.(1)
依题意，圆心???2,1?是线段??
的中点，且|AB|.
北京正确教育投资有限公司 010-57798222
易知，??不与x轴垂直，设其直线方程为y=k(x+2)+1，代入(1)得 (1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0
8k(2k+1)4(2k+1)2-4b2
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-.--------6分 221+4k1+4k由x1+x2=-4，得-
从而x1x2=8-2b2.
8k(2k+1)1解得.--------------------------------8分 =-4,k=1+4k22
于是
|AB|?|x1?x2|?
?分
由|AB|=
=b2=3.
x2y2
故椭圆?的方程为+=1.------------------------------------------13分 123
北京正确教育投资有限公司 010-57798222
www.99jianzhu.com/包含内容：建筑图纸、PDF/word/ppt 流程，表格，案例，最新,免费下载,施工方案、工程书籍、建筑论文、合同表格、标准规范、CAD图纸等内容。