舒兰一中高一 下学期数学周测（十二）
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.)
1．与向量a＝(13)的夹角为30°的单位向量是 ()
13A．)或(1，3) 22
(31) 22 B．(31，．(0,1)22D．(0,1)或112．设向量a＝(1,0)，b＝(，则下列结论中正确的是 () 22
A．|a|＝|b| B．a2b22 C．a－b与b垂直D．a∥b
3．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4等于
A．(－1，－2)B．(1，－2)()D．(1,2)
() C．(－1,2)→→→4．已知正方形ABCD的边长为1，AB＝a，BC＝b，AC＝c，则a＋b＋c的模等于
A．0B．2＋2 C.2D．22
5．已知|a|＝5，|b|＝3，且a2b＝－12，则向量a在向量b上的投影等于 ()
A．－4B．412C．－5D.125
6．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于 ()
13A＋b22
1＋ 2
7．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)2c＝30，则x等于 ()
A．6B．5C．4D．313B.－b 22 31C.－b 22 3Da2
→→8．向量BA＝(4，－3)，向量BC＝(2，－4)，则△ABC的形状为()
A．等腰非直角三角形
C．直角非等腰三角形 B．等边三角形 D．等腰直角三角形
→→9．设点A(1,2)、B(3,5)，将向量AB按向量a＝(－1，－1)平移后得到A′B′为()
A．(1,2)
B．(2,3)C．(3,4) 1
D．(4,7)
10．若a＝(λ，2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则λ的取值范围是 ( )
A.?
?10，＋∞?
?
?3?
B.?
?10?
?
?3?
10??C.?－∞，?
3??
10?D.?－∞，
3??
→→
11．在菱形ABCD中，若AC＝2，则CA2AB等于 ( )
A．2
→
B．－2 C．|AB|cos A
D．与菱形的边长有关
12. 已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是 ( )
→→A.P1P22P1P3
→→→→B.P1P22P1P4 C.P1P22P1P5
→→D.P1P22P1P6
二、填空题 ：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将最简答案填在题后横线上。）
13．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________. 14．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝3，则向量a和向量b的数量积a2b
＝________.
15．已知非零向量a，b，若|a|＝|b|＝1，且a⊥b，又知(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则实数k
的值为________．
16. 半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上
→→→
的动点，则(PA＋PB)2PC的最小值是________．
三、解答题（本大题共4小题，共40分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．已知a，b，c在同一平面内，且a＝(1,2)．
(1)若|c|＝25，且c∥a，求c； (2)若|b|＝
5
(a＋2b)⊥(2a－b)，求a与b的夹角． 2
2
18．已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°，c＝5a＋3b，d＝3a＋kb，当实数k为何值时：
(1)c∥d；(2)c⊥d.
→→→→→→→→→19．已知向量OP1、OP2、OP3满足条件OP1＋OP2＋OP3＝0，|OP1|＝|OP2|＝|OP3|＝1.
求证：△P1P2P3是正三角形．
3
20．已知正方形ABCD，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：
(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB.
4
舒兰一中高一下学期数学周测（十二）参考答案： 1—12 D C D D A B C C B A B A
13. －1 14. 3 15. 6 16. －12
16.解析 因为点O是A，B的中点，所以→PA＋→PB＝2→PO，
设|→PC|＝x，则|→PO|＝1－x(0≤x≤1)．
所以(→PA＋→PB)2→PC＝2→PO2→PC＝－2x(1－x)
＝2(x－1212)－2.
∴当x＝1→12时，(PA＋→PB)2→PC取到最小值－2
.
5
17.解 (1)∵c∥a，∴设c＝λa，则c＝(λ，2λ)．
又|c|＝25，∴λ＝±2，∴c＝(2,4)或(－2，－4)．
(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)2(2a－b)＝0.
∵|a|＝5，|b|＝5
2a2b＝－5
2.
∴cos θ＝a2b
|a||b|1，∴θ＝180°.
18.解 由题意得a2b＝|a||b|cos 60°＝23331
23.
(1)当c∥d，c＝λd，则5a＋3b＝λ(3a＋kb)．
∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k＝9
5.
(2)当c⊥d时，c2d＝0，则(5a＋3b)2(3a＋kb)＝0.
∴15a2＋3kb2＋(9＋5k)a2b＝0，∴k＝－29
1419.证明 ∵OP→→→→→＝－OP→
1＋OP2＋OP3＝0，∴OP1＋OP23，
∴(OP→OP→2→2
1＋2)＝(－OP3)，
∴|OP→|2＋|OP→22OP→→→2
12|＋12OP2＝|OP3|，
∴OP→→1
12OP22，
cos∠POP→→
12OP21
1OP2＝＝－|OP→OP→2
1|2|2|∴∠P1OP2＝120°.
∴|P→→→1P2|＝|OP2－OP1|＝?OP→→22－OP1?
＝OP→2→→→
1＋OP2
2－2OP12OP2＝3.
同理可得|P→→2P3|＝|P3P1|＝3.
故△P1P2P3是等边三角形．
20.证明 如图建立直角坐标系xOy，其中A为原点，不妨设AB＝2，
则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，
E(1,2)，F(0,1)．
(1)→BE＝→OE－→OB＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2)，
→CF＝OF→－OC→＝
(0,1)－(2,2)
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＝(－2，－1)，
∵→BE2→CF＝－13(－2)＋23(－1)＝0，
∴→BE⊥→CF，即BE⊥CF.
(2)设P(x，y)，则→FP＝(x，y－1)，→CF＝(－2，－1)， ∵→FP∥→CF，∴－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2. 同理由→BP∥→BE，得y＝－2x＋4，代入x＝2y－2. 解得x＝68?685，∴y＝5，即P??55???.
∴→AP2＝??6?52
?＋??8?5??2
?＝4＝→AB2，
∴|→AP|＝|→AB|，即AP＝AB.
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