吉林省实验中学2014—2015学年度下学期期末考试
高一数学理试题
一、选择题．（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填涂在答题卡上）
1.已知数列?an?的通项公式为an?n?3n?4(n?N*)，则a4等于（） 2
A.1
B.2C.0D.3 rrrruuurruuurr2.在?ABC中，设BC?a, AC?b，且a?2, b?3, a?b?3，则∠C的大小为（ ）
A．30。 B．60。 C．120。D．150。
3．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么球的体积扩大到原来的 ()．
A．2倍 B
．倍
4．已知a，b为非零实数且a<b，则下列命题成立的是()
11ba2222A．a<bB．ab>abC．2<2D．< ababab
5对于直线m，n和平面α，β，γ，有如下四个命题：
(1)若m∥α，m⊥n，则n⊥α
(2)若m⊥α，m⊥n，则n∥α
(3)若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ,
(4)若m⊥α，m∥n，n?β，则α⊥β
其中真命题的个数是()
A．1 B．2C．3D．4
6.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，
则该几何体的体积是()
1
2016ππA．3 B3．8－6．8－3
7.在数列?an?中，已知a1?1,an?1?2an?1错误！未找到引用源。则其通项公式为an错误！未找到引用源。＝( )
nn-1A．错误！未找到引用源。 2?1 B．错误！未找到引用源。2?1 C．2n
－1 D．2(n－1)
8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，∠B＝
的面积为( )
A
．
C
．
9.如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1 中，AB=BC=2，AA1?1，则BC1与平面BB1D1D错误！未找到引用源。所成角的余弦值为（ ）
?6，∠C＝?4，则△ABC
10等差数列?an?中，公差d?0，，a22?a1a4,若a1,a3,ak1,ak2,L,akn,L成等比数列，，
则kn? ( )
A．nd
11正数x,y满足log2(x?y?3)?log2x?log2y,则x?y的取值范围是 （ ）
A．(0,6]B．[6,??)C．[1?7,??)D．(0,1?7]
12．在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB＝1，若二面角C?AB?C1的大小为60°，则点C到平面C1AB的距离为 ( ) B．3n?2C．3n?1 D．3n
2
A. 1 B. 13． 2
4二、填空题．（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应的横
线上．）
13已知数列?an?的前n项和Sn?3?2，则数列?an?的通项公式为n
14一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB与CM成60°角；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD，其中正确的是
15. 要制作一个容积为4错误！未找到引用源。，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_________(单位：元)．
16. 棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，点P1,P2错误！未找到引用源。分别是线段AB，BD1错误！未找到引用源。(不包括端点)上的动点，且线段PP12错误！未找到引用源。平行平面A，则四面体PP1ADD1错误！未找到引用源。12AB1错误！未找到引用源。的体积的最大值是
三、解答题．（本大题共6小题，满分70分.解答需写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤．）
17.（本题10分）已知不等式x2?bx?c?0的解集为xx?2或x?1。
（1）求b和c的值；
（2）求不等式cx2?bx?1?0的解集
3 ??
18.（本题12分）???C的内角?，?，C所对的边分别为a， b，c．
向量m?a与n??cos?,sin??平行．
（I）求?；
（II
）若a?b?2，求???C的面积．
19. （本题12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点．
(Ⅰ)证明：EF∥平面PAD； (Ⅱ)求四棱锥P—ABCD的表面积S．
F D
C
20（本题12分）如图，在三棱锥A－BOC中，OA⊥底面BOC，∠OAB＝∠OAC＝30°，AB＝AC＝4，BC
＝D在线段AB上．
(1)求证：平面COD⊥平面AOB；
(2)当OD⊥AB时，求三棱锥C－OBD的体积．
r??r
4
21（本题12分）. 如图, 四棱柱ABCD?A1B1C1D1中, 侧棱AA1错误！未找到引用源。⊥底面ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E为棱AA1的中点. (Ⅰ) 证明B1C1?CE错误！未找到引用源。
(Ⅱ) 求二面角B1?CE?C1的正弦值.
(Ⅲ) 设点M在线段错误！未找到引用源。C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1错误！未找
到引用源。
所成角的正弦值为, 求线段AM的长
.
2Sn222.（本小题12分）数列?an?首项a1?1，前n项和Sn与an之间满足an? (n?2) 2Sn?1
?1? （1）求证：数列??是等差数列 （2）求数列?an?的通项公式
?Sn?
（3）设存在正数k，
使求k（1+S1)(1?S2)L(1?Sn)?对于一切n?N?都成立，
的最大值。
5
参考答案
选择题：
1.C 2.B 3.B 4.C 5.A 6.A 7.A 8.B 9.D 10.C 11.B 12.D
13.an??
17. （1)不等式的解集为的两个根为1,2由根与系数关系的
(2)不等式化简为所以与之对应的二次方程 不?5(n?1)n?1?2(n?2) 14.①③ 15.160 16.1 24等式的解为
18.(I)因为，所以
由正弦定理，得，
又，从而，
由于，所以
(II)解法一：由余弦定理，得
，而，，
得，即
因为，所以，故面积为.
6
解法二：由正弦定理，得，而 又由知，所以
故
，
所以
面积为.
19.
（1）在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC，又BC∥AD，∴EF∥AD，
∴EF∥平面PAD。
（2）
20. （1）证明：∵AO⊥底面BOC，∴AO⊥OC，AO⊥OB．
∵∠OAB=∠OAC=30°，AB=AC=4，∴OC=OB=2．
∵BC＝2，∴OC⊥OB，∴OC⊥平面AOB．
∵OC?平面COD，∴平面COD⊥平面AOB．
21（Ⅰ）证明：因为侧棱CC1⊥底面A
1B1C1D1，B1C1?平面A1
B1C1D1.所以CC1?B1C1
.经计算可得B1E?，B1C1?EC1?B1E?B1C1?EC1.所以在△B1EC1中，B1C1?C1E，又CC1，C1E?平面CC1E，CC1?C1E?C1，所以B1C1⊥平面CC1E，又CE?平面CC1E，故B1C1?CE. 222 7
（Ⅱ）解：过B1作B1G⊥CE于点G，连接C1G.由（Ⅰ），B1C1?CE垂直，故CE⊥平面B1C1G，得CE?C1G，所以∠B1GC1为二面角B1－CE－C1的平面角.在△CC1E
中，由CE?C1E?CC1?
2，可得C1G?.在Rt△B1C1G
中，B1G?
，所以sin?B1GC1?
22 ，即二面角B1－CE－C1
.
2Sn2（1）因为n?2时，an?Sn?Sn?1 ?Sn?Sn?1?得 Sn?1?Sn?2Sn?Sn?1 2Sn?1
由题意 Sn?0 (n?2) ?11??2 ?n?2? SnSn?1
又S1?a1?1 ???1?1?是以?1为首项，2为公差的等差数列. S1?Sn?
（2）由（1）有11 ?n?N?? ?1?(n?1)?2?2n?1 ?Sn?2n?1Sn
?n?2时，an?Sn?Sn?1?112???. 2n?12(n?1)?1(2n?1)(2n?3)
?1(n?1)? 又a1?S1?1 ?an?? 2? (n?2)?(2n?1)(2n?3)?
1?S1?S?1?S（3）设
F(n)?
F(n?1)则????1 F(n) ? F(n)在n?N上递增 故使F(n)?k恒成立只需k?F
(n)min 又F(n)min?F(1)?
?
又k?0 ?
0?k?k8
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