第18讲 求轨迹方程
一、复习目标
１、熟悉求曲线方程的两类问题：一是动点变动的根本原因，二是动点变动的约束条件
２、熟练掌握求曲线方程的常用方法：定义法、代入法、待定系数法、参数法等，并能灵活
应用。
二．课前热身
1．到顶点F(5,0)和定直线x?165的距离之比为的动点的轨迹方程是 54
x2
?y2?1交于P、Q两点，已知l过定点（1，0）2．直线l与椭圆，则弦PQ中点的轨迹方4
程是
x2y2
3．已知点P是双曲线2?2?1上任一点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，则PQ中点Mab
的轨迹方程是
4．在?ABC中，已知A(?2,0),B(2,0)，且ACABBC成等差数列，则C点轨迹方程为
三．例题探究
例1．设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x2?2y2?4PA?PB?1的点，求点P的轨迹方程。
例2．如图，在Rt?ABC中，?BAC?90?,A(?2,1)位，动点P在曲线E(y?1)上运动，若曲线E过点C且满足?PB的值为常数。
（1） 求曲线E的方程；
（2） 设直线l的斜率为1，若直线l与曲线E
的轨迹方程。
x2y2
??1上任一点P，作右准线l的垂线PH，垂足为H。延例3．如图所示，过椭圆E：32
长PH到Q，使HQ=??PH(??0)
（1）当P点在E上运动时，求点Q的轨迹G的方程；
（2）当?取何值时，轨迹G是焦点在平行于y轴的直线上的椭圆？证明这些焦点都在同一
个椭圆E上，并写出椭圆的方程；
（3）当?取何值时，轨迹G是一个圆？判断这个圆与椭圆E的右准线l的位置关系。
'''
2
y2
?1，过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，例4．设椭圆方程为x?4
点P满足?
111
(?),点N的坐标为(,)，当l绕点M旋转时，求：
222
（1）动点P的轨迹方程； （2的最小值与最大值。
四．方法点拨
例1用直接法：若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则只需直接把这种关系“翻译”成
关于动点的坐标x、y的方程。经化简所得同解的最简方程，即为所求轨迹方程。其一般步骤为：建系——设点——列式——代换——化简——检验。
例2用圆锥曲线的定义求方程。如果题目中的几何条件能够满足圆、椭圆、双曲线，抛物线的第一、二定义，则直接利用曲线定义写出其轨迹方程。
例3求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一。求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为变量间的关系。在确定了轨迹方程之后，有时需要对方程中的参数进行讨论，因为参数取值的变化会使方程表示不同的曲线，会使其与其他曲线的位置关系不同，会引起另外某些变量取值范围的变化。
例4本题是运用参数法求的轨迹。当动点P的坐标x、y之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间
?x?f(t)
，消去参数t，便可
y?g(t)?
得到动点P的轨迹普通方程。其中应注意方程的等价性，即由t的范围确定出x、y范围。
变量t，并用t表示动点P的坐标x、y，从而得到动点轨迹的参数方程?
冲刺强化训练（18）
班级 姓名＿＿＿＿＿学号＿＿ 日期 月 日
1.若点M（x,y|x?y?3|?0，则点M的轨迹是（ ）
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D抛物线.
2.点M为抛物线y?x上的一个动点，连结原点O与动点M，以OM为边作一个正方形MNPO，则动点P的轨迹方程为（ ）
A.y?x B. y??x C. y??x D. x??y
3.?20化简的结果是（ ）
2
2222
x2y2x2y2x2y2x2y2
??1 B. ??1 C.??1 D. ??1 A.
100361006436100641004.一动圆M与两定圆C1:(x?4)2?y2?1,C2:(x?4)2?y2?9均外切，则动圆圆心M
的轨迹方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
5.抛物线y2?4x关于直线l:y?x?2对称的曲线方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
(x?3)2(y?2)2
??1关于直线x?y?0对称，椭圆Ｃ的方程是（ ） ６.椭圆Ｃ与椭圆94
(x?2)2(y?3)2(x?2)2(y?3)2
??1 B. ??1 A. 4994
(x?2)2(y?3)2(x?2)2(y?3)2
??1 D. ??1 C. 9449
７.下列四个命题：
⑴圆(x?2)2?(y?1)2?1关于点A(1，2)对称的曲线方程是(x?3)2?(y?3)2?1；
(x?2)2(y?1)2
??1； ⑵以点（2，－3）和点（2，1）为焦点的椭圆方程可以是1014
92 ⑶顶点在原点，对称轴为坐标轴且过点(―4，―3)的抛物线方程只能是y?x； 4
29x2y2
??1右支上一点P到左准线的距离为18， ⑷双曲线则P点到右焦点的距离为； 2169
以上正确的命题是＿＿＿＿＿＿＿.（将正确命题的序号都填上） ．
８.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线
上横坐标为１的点到焦点的距离为６；④抛物线的通径长为５；⑤由原点向过焦点的某
条直线作垂线，垂足坐标为（2,1）。能使这抛物线的方程是y2?10x的条件是 （要求填写合适条件的序号）
９.求经过定点A?1,2?， 以x轴为准线，离心率为
10.设曲线C
：y?1的椭圆下方的顶点的轨迹方程。 2l:y?kx.
211??，求点Q的轨迹方程； OQOAOB ⑴记l与C的两个交点为A、B，求线段AB中点的轨迹方程； ⑵若线段AB上的点Q满足
⑶在点Q的轨迹上是否存在点Q0，使得经过曲线C的焦点的弦被点Q0平分？证明你的结论.
第18讲 求轨迹方程
【课前热身】
x2y2
1．??1（提示：设动点(x,y)，则169
22(x?5)2?y25x2y2）； ????1。164169x?5x2y2
2．x?x?4y?0 ； 3．2?2?1（提示：设M(x,y)，则P(x,2y).将P(x,2y)代ab
4
2x2y2x2?2y?x2y2
??1(y?0)（提示：入双曲线方程得2?）； 4．?1?2?2?1。21612abab
4
） 2AB?AC?BC,C到AB的距离之和为8。
【例题探究】
4?x2
例1．解析设P点的坐标为?x,y?，则由方程x?2y?4得y??，?A、B两点222
4?x24?x2
的坐标分别为(x,),(x,?),又PA?PB?1, 22
4?x2x2y24?x24?x22?1,???1，又直线l与?(0,?y)?(0,??y)?1即y?26322
x2y2
??1(?2?x?2)。 椭圆交于两点，所以?2?x?2,所以点P的轨迹方程为63
1例2．解析（1）?AB?22,S?ABC?AC?AB?2，?AC?1,又2
222BC?AC?AB，从而BC?3,又??PB?AC?BC?4?22，所以 点在以A、B为焦点，长半轴a?2，半焦距c?2，短半轴b?2的椭圆E(y?1)上，
x2(y?1)2
?1(y?1). ?曲线E的方程为?42
（2）设直线l:y?x?m，代入E的方程，消x，可得3y2?2(m?2)y?m2?2?0,令
f(y)?3y2?2(m?2)y?m2?2,?方程f(y)?0有两个不小于1，且不相等的实根，
????4(m?2)2?12(m2?2)?0,?2所以有?f(1)?m?2m?3?0,解之得3?m?1?,设QR的中点为?m?2??1.?3
M(x,y),QR两点的坐标分别为Q(x1,y1),R(x2,y2)，?y?y1?y2m?256??y?1??，将m?3y?2代入y?x?m2333
1156y??x?1,所以y??x?1(?y?1?)即为M点的轨迹方程。 2233得
3x2y2
??1?右准线l:x??3,设P(x1,y1),Q(x,y),则由例3．解析（1）由132
QP??(??1)PQ?l,HQ??PH，得且，y1?y,H(3,y1),PH
x?3??32(?)x?3??3x?3(??1)y2?x1?=?，故有??1，即?1?(??1)32
?x?3(??1)?2
?y2
3?22?1为所求点Q的轨迹G的方程。
6时，轨迹G是焦点在平行于y轴的直线上的椭圆，设其3（2）当3??2，即0???2
2?y2?x?3(??1),'(x?3)??1(x?3,y?0) 焦点F(x,y),则?消去?得E:262??y??2?3?.
??62（3）当3??2，即??时，轨迹G为圆，其方程为：?x?3(?1)??y2?2,即33??
26x?(6?3)?y2?(2)2,又?E'的右准线l':x?3?,即x?6 42??
?圆心G到准线l'的距离为6?(3?6)?2?r,?此时G与l'相交。
例4．解析：（1）直线l过点M(0,1)，当斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y?kx?1,记A(x1,y1)、B(x2,y2),由题设可得点A、B的坐标(x1,y1)、(x2,y2),是方程组
2k?x?x???y?kx?1,122???4?k222的解，消去y得(4?k)x?2kx?3?0,??于是?2y?1.?y?y?8?x?
124??4?k2?
x?x2y1?y21?k4?(?)?(1,)?(,)，设点P的坐标为(x,y)，则2224?k24?k2
?k?x?,??4?k222 消去参数k得4x?y?y?0 ①当k不存在时，A、B中点为坐标原点??y?4.?4?k2?
22（0，0），也满足方程①，所以点P的轨迹方程为4x?y?y?0。
1112,即??x?,
（1） 由点P的轨迹方程知x?1644
12121211272,故 ?(x?)?(y?)?(x?)??4x??3(x?)?2224612
11当x
?取得最小值为； 44
1当x
??取得最大值为。 66
[冲刺强化训练18]
1、C； 2、C； 3、B；
y2
?1(x??1)解析：应用圆锥曲线的定义，注意只有一支. 4、x?152
5、(x?2)2?4(y?2)； ６、Ａ注意焦点所在位置的变化。
7、②④； 8、②⑤
x2y2
??1. (2)直线m恰为准线，定值即为离心率e. 9、解：(1)43
(3) 当|PA|=|PB|时，|PA|·|PB|最大。此时点P
的坐标为
10、略解：（1）设AB中点M(x,y)，联立方程组得：(k2?1)y2?2ky?2k2?0，则
k122,x?，消云k得，注意到△＞0
x?y?x?k?1，得x?2 1?k21?k1212∴AB中点的轨迹方程是(x?)?y?(x?2). 24
（2）点Q
的轨迹方程是x?y?2)，是一条线段（无端点）. y?
（3）曲线C的焦点
F，设过F
的直线方程为y?m(x?1)C的方程
联立，得弦的中点的横坐标为x0?,
解得. ?2m?
①当m?时，弦的中点的纵坐标y0?；②当m?时，弦的中22
点的纵坐标y0?.综上，存在点 Q0?2,y0? ，使得经过曲线C的焦点的弦被点Q0平分.
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