市一中2016～2017学年度第一学期期中考试试题
高二数学（理科）
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题：（共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项．）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．2016年1月6日～8日某重点中学在毕业班进行了一次模拟考试，为了了解全年级1 000名学生的考试成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，下面说法正确的是()
A．1 000名学生是总体
C．1 000名学生的成绩是一个个体 B．每个学生是个体 D．样本的容量是100
2.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是()
A．“至少有1个白球”和“都是红球”
B．“至少有1个白球”和“至多有1个红球”
C．“恰有1个白球”和“恰有2个白球”
D．“至多有1个白球”和“都是红球”
k3.设随机变量ξ的分布列为p(ξ＝k)＝1，2，3，4，5)，则p(ξ≤2)等于() 3a
1212A.B. C. 551515
114.甲、乙两人下棋，和棋的概率为23
别为()
11121221A.B.，C.D. 66236332
5.中央电视台为了调查近三年的春晚节目中各类节目的受欢迎程度，用分层抽样的方法，从2014年至2016年春晚的50个歌舞类节目，40个戏曲类节目，30个小品类节目中抽取样本进行调查，若样本中的歌舞类和戏曲类节目共有27个，则样本容量为()
A．36B．35 C．32D．30
6.一个算法的程序框图如右下图所示，若该程序输出的结
1果是，则判断框内应填入的条件是() 63
A．i<4?B．i>4?C．i<5? D．
i>5?
x＋y≥1，??7.若变量x，y满足约束条件?y－x≤1，则z＝2x－y的最小值为( )
??x≤1，
A．－1 B．0 C．1 D．2
8.若将函数f(x)＝sin2x＋cos2x的图像向右平移φ个单位，
所得图像关于y轴对称，则φ的最小正值是( )
ππ3π5πA. C.8484
9.某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，?，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为( )
A．11 B．12C．13 D．14
10.以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为( )
A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8
11.某班级要从4名男生，2名女生中选派4人参加某次社区服务，
如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )
A．20 B．18 C．16 D．14
12.节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )
7311A. B. C. D. 8424
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：(共4小题，每小题5分，满分20分．)
13. 现安排甲、乙、丙、丁4名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作都有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数为.
14.若满足条件C＝60°，AB＝3，BC＝9的△ABC有 个； 5
15.在一次考试中，5名学生的数学和物理成绩如下表：(已知学生的数学和物理成绩具有线性相关关系)
??0.36x?a?，现已知其线性回归方程为y则根据此线性回归方程估计数学得90分的同学的
物理成绩为________(四舍五入到整数)．
16.设奇函数f?x?在??1,1?上是增函数，且f??1???1，若函数f?x??t2?2at?1对所有的a???1,1?,x???1,1?都成立，则t的取值范围是 .
三、解答题：(解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．)
17.（本题满分10分）
为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列．
18.（本题满分12分）
已知在二项式2n的展开式中，第6项为常数项． (1)求n的值，并求含x项的系数；
(2)求展开式中所有的有理项．
19.（本题满分12分）
△ABC的内角，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.
(1)求B；
(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．
20.（本题满分12分）
已知向量a=(coswx-sinwx,sinwx)，
r
rrr向量b=(-coswx-sinwx,coswx,)设函数 f(x)=a?b
线x=p对称，其中w,l为常数，且w?,1。
(1)求函数f(x)的最小正周期; l(x∈R)的图像关于直轾1犏2臌
（2）若y=f(x)的图象经过(,0)，求函数f(x)在区间犏0,p上的取值范围。
21.（本题满分12分）
已知数列?an?的前n项和为Sn(n?N*)，且满足an?Sn?2n?1.
（1）求证：数列?an?2?是等比数列，并求数列?an?的通项公式；
（2）求数列?n(an?2)?的前n项和.
22.（本题满分12分） 2已知函数f(x)?x?ax(a?R). p4轾3犏臌5
（1）当a?2时，写出函数f(x)的单调区间（不要求证明）； 3
（2）记函数f(x)在区间[0,1]上的最大值为g(a)，求g(a)的表达式，并求g(a)的最小值。
市一中2016～2017学年度第一学期期中考试试题 高二数学（理科）参考答案
1—12题 DCACA BACBC DB
13. 12；14. 2；15. 73；16. (??,?2]U{0}U[2,??)；
222C262C3＋C3C317.解 (1)由已知，有P(A)＝＝. C835
所以，事件A发生的概率为635
.….….….….….….….….…5分
(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
4kCk5C3P(X＝k)＝k＝1,2,3,4)．所以，随机变量X的分布列为
C8－
….….….….….….….…10分
n－rn－2r
1r13318.【解析】 (1)通项公式为Tr＋1＝Cnrx(－rx－＝Cnr(－)rx. 232
n－2r∵第6项为常数项，∴r＝5时，有＝0，即n＝10. 3
n－2r1145令2，得r＝(n－6)＝2. ∴所求的系数为C102(－)2＝. 3224.….….….….….….….….…6分
10－2r??3Z，
(2)根据通项公式，由题意得? 0≤r≤10，??r∈Z.
10－2r3令k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝5－k. 32
∵r∈Z，∴k应为偶数．
∴k可取2，0，－2，即r可取2，5，8.
111－∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C102(－2x2，C105(－)5，C108(－8x2. 222
.….….….….….….….….…12分19.解析 (1)由已知及正弦定理，得sinA＝sinBcosC＋
sinCsinB.
又A＝π－(B＋C)，
故sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC.
由①②和C∈(0，π)，得sinB＝cosB.
π又B∈(0，π)，所以B＝. 4 ① ②
.….….….….….….….….…6分
12②△ABC的面积S＝acsinB＝ 24
π由已知及余弦定理，得4＝a2＋c2－ 4
4又a2＋c2≥2ac，故ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立． 2－2
因此△ABC面积的最大值为2＋1.
.….….….….….….….….…12分
20.解:(1)因为
2ωx+λ=2sinf(x)=sin2
ωx-cos2ωx+2+λ. sin ωx·cos ω
x+λ=-cos 2ωx+sin
由直线x=π是y=f(x)图象的一条对称轴,可得sin=±1, 所以2ωπ-=kπ+(k∈Z),即ω=(k∈Z).
又ω∈,k∈Z,所以k=1,故ω=.
所以f(x)的最小正周期是.
.….….….….….….….….…6分 (2)由y=f(x)的图象过点,得f=0, 即λ
=-2sin=-2sin=-,即λ=-.
故f(x)=2sin,
由0≤x≤,得-x-,
所以-≤sin≤1,
得-1-≤2sin≤2-,
故函数f(x)在上的取值范围为[-1-,2
-].
.….….….….….….….….…12分
21.解析：（1）Qan?Sn?2n?1，令n?1， 得2a1?3,a1?3, 2
Qan?Sn?2n?1， ?an?1?Sn?1?2?n?1??1,?n?2,n?N??， 两式相减，得2an?an?1?2，整理an?1an?1?1， 2an?2?1(an?1?2),?n?2?， 2
11?数列?an?2?是首项为a1?2??，公比为的等比数列， 22
1?1??an?2????,?an?2?n； 2?2?
.….….….….….….….….…6分
（2）设数列?n(an?2)?的前n项和为Tn，则 n?Tn?123n?1n?2?3?L?n?1?n ①， 22222
23n?1n?2?L?n?2?n?1 ②， 2222??2Tn?1?
②－①得
?Tn?1?1111n?2?3?L?n?1?n， 22222
1
nnn?2即?Tn??n?2?n， 1221?21?
?Tn?n?2?2. n2
.….….….….….….….….…12分
22.解析:（1）当a?2时， 3
1212f(x)的单调递增区间为(0,]和[,1]，单调递减区间为(,)； 3333.….….….….….….….….…4分
（2）当a≤0时,f(x)=|x2-ax|=x2-ax在区间[0,1]上为增函数, 当x=1时,f(x)取得的最大值为f(1)=1-a;
当0<a<1时,f(x)= 在区间上递增,在上递减,在(a,1]上递增,
且f,f(1)=1-a, ∵-(1-a)=(a2+4a-4),
∴当0<a<2-2时,<1-a;
当2-2≤a<1时,≥1-a.
当1≤a<2时,f(x)=-x2+ax在区间上递增,在区间上递减, 当x=时,f(x)取得最大值f;
当a≥2时,f(x)=-x2+ax在区间[0,1]上递增,
当x=1时,f(x)取得最大值f(1)=a-1.
则g(a)=.
g(a)在(-∞,2
即当a=2-2)上递减,在[2-2,+∞)上递增, .
.….….….….….….….….…12分 -2时，g(a)有最小值为3-2
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