一、学习目标 了解形如 的一元二次方程的解法——直接开平方法;
能够熟练而准确的运用开平方法求一元二次方程的解.
二、知识回顾 1.什么叫做平方根?平方根有哪些性质?
平方根的定义:如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根.
用式子表示:若x2=a,则x叫做a的平方根.
记作x= ,即x= 或x= .
如:9的平方根是 ; 的平方根是 .
平方根的性质:
(1)一个正数有两个平方根,这两个平方根是互为相反数的;
(2)0的平方根是0;
(3)负数没有平方根.
2.x2=4,则x=±2.
想一想:求x2=4的解的过程,就相当于求什么的过程?
三、新知讲解 直接开平方法解一元二次方程
一般地,运用平方根的定义直接开平方求出一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.
对结构形如 的一元二次方程来说,因为 ,所以在方程两边直接开平方,可得 ,进而求得 .
注:
(1)直接开平方法是解一元二次方程最基本的方法,它主要针对形如 的一元二次方程,它的理论依据就是平方根的定义.
(2)利用直接开平方法解一元二次方程时,要注意开方的结果取“正、负”.
(3)当 时,方程没有实数根.
四、典例探究
1.用直接开平方法求一元二次方程的解
【例1】解方程:(1)2x2﹣8=0;(2)(2x﹣3)2=25.
总结:运用直接开平方法解一元二次方程,首先要将一元二次方程的左边化为含有未知数的完全平方式,右边化为非负数的形式,然后直接用开平方的方法求解.
练1.(2015?东西湖区校级模拟)解方程:(2x+3)2﹣25=0
练2.(2014秋?昆明校级期中)解方程:9(x+1)2=4(x﹣2)2.
2.用直接开平方法判断方程中字母参数的取值范围
【例2】(2015春?南长区期末)若关于x的一元二次方程x2﹣k=0有实数根,则( )
a.k<0 b.k&0 c.k≥0 d.k≤0
总结:先把方程化为“左平方,右常数”的形式,且把系数化为1,再根据一元二次方程有无解来求方程中字母参数的取值范围.
练3.(2015春?利辛县校级月考)已知一元二次方程mx2+n=0(m≠0,n≠0),若方程有解,则必须( )
a.n=0 b.m,n同号 c.n是m的整数倍 d.m,n异号
练4.(2015?岳阳模拟)如果关于x的方程mx2=3有两个实数根,那么m的取值范围是.
五、课后小测 一、选择题
1.(2015?石城县模拟)方程x2﹣9=0的解是( )
a.x=3 b.x=9 c.x=±3 d.x=±9
2.(2015?河北模拟)已知一元二次方程x2﹣4=0,则该方程的解为( )
a.x1=x2=2 b.x1=x2=﹣2 c.x1=﹣4,x2=4 d.x1=﹣2,x2=2
3.(2015?杭州模拟)关于x的方程a(x+m)2+n=0(a,m,n均为常数,m≠0)的解是x1=﹣2,x2=3,则方程a(x+m﹣5)2+n=0的解是( )
a.x1=﹣2,x2=3 b.x1=﹣7,x2=﹣2 c.x1=3,x2=﹣2 d.x1=3,x2=8
4.(2015?江岸区校级模拟)如果x=﹣3是一元二次方程ax2=c的一个根,那么该方程的另一个根是( )
a.3 b.﹣3 c.0 d.1
5.(2014?枣庄)x1、x2是一元二次方程3(x﹣1)2=15的两个解,且x1<x2,下列说法正确的是( )
a.x1小于﹣1,x2大于3 b.x1小于﹣2,x2大于3
c.x1,x2在﹣1和3之间 d.x1,x2都小于3
6.(2014春?淮阴区校级月考)方程(1﹣x)2=2的根是( )
a.﹣1,3 b.1,﹣3 c. , d. ,
7.(2012秋?内江期末)已知a2﹣2ab+b2=6,则a﹣b的值是( )
a. b. 或 c.3 d.
8.方程x2=0的实数根有( )
a.1个 b.2个 c.无数个 d.0个
9.方程5y2﹣3=y2+3的实数根的个数是( )
a.0个 b.1个 c.2个 d.3个
二、填空题
10.(2015?泉州)方程x2=2的解是 .
11.(2014?怀化模拟)方程8x2﹣72=0解为 .
三、解答题12.(2014?祁阳县校级模拟)解方程:(x﹣2)2﹣16=0.
13.(2014秋?青海校级月考)解方程: .
14.已知一元二次方程x2﹣4x+1+m=5请你选取一个适当的m的值,使方程能用直接开平方法求解,并解这个方程.
(1)你选的m的值是 ;
(2)解这个方程.
典例探究答案:
【例1】解方程:(1)2x2﹣8=0;(2)(2x﹣3)2=25.
分析:(1)先变形得到x2=4,然后利用直接开平方法求解;
(2)首先两边直接开平方可得2x﹣3=±5,再解一元一次方程即可.
解答:解:(1)x2=4,
两边直接开平方,得x1=2,x2=﹣2.
(2)两边直接开平方,得2x﹣3=±5,
则2x﹣3=5,2x﹣3=﹣5,
所以x=4,x=﹣1.
点评:本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法:形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法求解.
练1.(2015?东西湖区校级模拟)解方程:(2x+3)2﹣25=0
分析:先移项,写成(x+a)2=b的形式,然后利用数的开方解答.
解答:解:移项得,(2x+3)2=25,
开方得,2x+3=±5,
解得x1=1,x2=﹣4.
点评:(1)用直接开方法求一元二次方程的解的类型有:x2=a(a≥0);ax2=b(a,b同号且a≠0);(x+a)2=b(b≥0);a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0).
法则:要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为1,再开平方取正负,分开求得方程解”.
(2)运用整体思想,会把被开方数看成整体.
(3)用直接开方法求一元二次方程的解,要仔细观察方程的特点.
分析:两边开方,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可.
解答:解:两边开方得:3(x+1)=±2(x﹣2),
即3(x+1)=2(x﹣2),3(x+1)=﹣2(x﹣2),
解得:x1=﹣7,x2= .
点评:本题考查了解一元二次方程和解一元一次方程的应用,解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程.
【例2】(2015春?南长区期末)关于x的一元二次方程x2﹣k=0有实数根,则( )
a.k<0 b.k&0 c.k≥0 d.k≤0
分析:根据直接开平方法的步骤得出x2=k,再根据非负数的性质得出k≥0即可.
解答:解:∵x2﹣k=0,
∴x2=k,∵一元二次方程x2﹣k=0有实数根,∴k≥0,
故选:c.
点评:此题考查了直接开平方法解一元二次方程,用直接开方法求一元二次方程的解的类型有:x2=a(a≥0);ax2=b(a,b同号且a≠0);(x+a)2=b(b≥0);a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0).法则:要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为1,再开平方取正负,分开求得方程解”.
练3.(2015春?利辛县校级月考)已知一元二次方程mx2+n=0(m≠0,n≠0),若方程有解,则必须( )
a.n=0 b.m,n同号 c.n是m的整数倍 d.m,n异号
分析:首先求出x2的值为﹣ ,再根据x2≥0确定m、n的符号即可.
解答:解:mx2+n=0,x2=﹣ ,
∵x2≥0,∴﹣ ≥0,∴ ≤0,
∵n≠0,∴mn异号,
故选:d.
点评:此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程,关键是表示出x2的值,根据x2的取值范围确定m、n的符号.
练4.(2015?岳阳模拟)如果关于x的方程mx2=3有两个实数根,那么m的取值范围是 .
解:∵关于x的方程mx2=3有两个实数根,
∴m&0.
故答案为:m&0.
课后小测答案:
一、选择题
1.(2015?石城县模拟)方程x2﹣9=0的解是( )
a.x=3 b.x=9 c.x=±3 d.x=±9
解:移项得;x2=9,
两边直接开平方得:x=±3,
故选:c.
2.(2015?河北模拟)已知一元二次方程x2﹣4=0,则该方程的解为( )
a.x1=x2=2 b.x1=x2=﹣2 c.x1=﹣4,x2=4 d.x1=﹣2,x2=2
解:x2﹣4=0,
(x+2)(x﹣2)=0,
x1=﹣2,x2=2.
故选d
3.(2015?杭州模拟)关于x的方程a(x+m)2+n=0(a,m,n均为常数,m≠0)的解是x1=﹣2,x2=3,则方程a(x+m﹣5)2+n=0的解是( )
a.x1=﹣2,x2=3 b.x1=﹣7,x2=﹣2 c.x1=3,x2=﹣2 d.x1=3,x2=8
解:∵关于x的方程a(x+m)2+n=0的解是x1=﹣2,x2=3,(m,n,p均为常数,m≠0),
∴方程a∵一元二次方程x2﹣k=0有实数根,∴k≥0,
故选:c.
点评:此题考查了直接开平方法解一元二次方程,用直接开方法求一元二次方程的解的类型有:x2=a(a≥0);ax2=b(a,b同号且a≠0);(x+a)2=b(b≥0);a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0).法则:要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为1,再开平方取正负,分开求得方程解”.
练3.(2015春?利辛县校级月考)已知一元二次方程mx2+n=0(m≠0,n≠0),若方程有解,则必须( )
a.n=0 b.m,n同号 c.n是m的整数倍 d.m,n异号
分析:首先求出x2的值为﹣ ,再根据x2≥0确定m、n的符号即可.
解答:解:mx2+n=0,x2=﹣ ,
∵x2≥0,∴﹣ ≥0,∴ ≤0,
∵n≠0,∴mn异号,
故选:d.
点评:此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程,关键是表示出x2的值,根据x2的取值范围确定m、n的符号.
练4.(2015?岳阳模拟)如果关于x的方程mx2=3有两个实数根,那么m的取值范围是 .
解:∵关于x的方程mx2=3有两个实数根,
∴m&0.
故答案为:m&0.
课后小测答案:
一、选择题
1.(2015?石城县模拟)方程x2﹣9=0的解是( )
a.x=3 b.x=9 c.x=±3 d.x=±9
解:移项得;x2=9,
两边直接开平方得:x=±3,
故选:c.
2.(2015?河北模拟)已知一元二次方程x2﹣4=0,则该方程的解为( )
a.x1=x2=2 b.x1=x2=﹣2 c.x1=﹣4,x2=4 d.x1=﹣2,x2=2
解:x2﹣4=0,
(x+2)(x﹣2)=0,
x1=﹣2,x2=2.
故选d
3.(2015?杭州模拟)关于x的方程a(x+m)2+n=0(a,m,n均为常数,m≠0)的解是x1=﹣2,x2=3,则方程a(x+m﹣5)2+n=0的解是( )
a.x1=﹣2,x2=3 b.x1=﹣7,x2=﹣2 c.x1=3,x2=﹣2 d.x1=3,x2=8
解:∵关于x的方程a(x+m)2+n=0的解是x1=﹣2,x2=3,(m,n,p均为常数,m≠0),
∴方程a
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