第二节 导数的应用
考点一 利用导数研究函数的单调性
1．(2015·福建，10)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝－1，其导函数f′(x)满足f′(x)＞k＞1，则下列结论中一定错误的是()
?11A．f?＜k??k
C．f? 1?1?B．f??＞?k?k－1D．f??1＜1 ?k－1?k－1?1?＞k ??k－1?k－1
10，可构k－1解析 ∵导函数f′(x)满足f′(x)＞k＞1，∴f′(x)－k＞0，k－1＞0，
造函数g(x)＝f(x)－kx，可得g′(x)＞0，故g(x)在R上为增函数，∵f(0)＝－1， ∴g(0)＝－1，∴g?
∴f??1＞g(0)， ?k－1??1－k＞－1，∴f?1＞1C错误，故选C. ?k－1k－1?k－1?k－1??
答案 C
2．(2011·辽宁，11)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为()
A．(－1，1)B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
解析 设g(x)＝f(x)－2x－4，则g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，g′(x)＝f′(x)－2>0，g(x)在R上为增函数．
由g(x)>0，即g(x)>g(－1)．
∴x>－1，选B.
答案 B
3．(2015·新课标全国Ⅱ，21)设函数f(x)＝e＋x－mx.
(1)证明：f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；
(2)若对于任意x1，x2∈[－1，1]，都有|f(x1)－f(x2)|0≤e－1，求m的取值范围．
(1)证明 f′(x)＝m(e－1)＋2x.
若m≥0，则当x∈(－∞，0)时，e－1≤0，f′(x)＜0；
当x∈(0，＋∞)时，e－1≥0，f′(x)＞0. mxmxmxmx2
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