2017高考数学一轮复习 第十四章 推理与证明 14.3 数学归纳法对
点训练 理
?11．已知数列{an}的各项均为正数，bn＝n?1＋an(n∈N＋)，e为自然对数的底数． ?n?
?1nx(1)求函数f(x)＝1＋x－e的单调区间，并比较?1＋与e的大小； ?n?
(2)计算，nb1b1b2b1b2b3b1b2…bn，，由此推测计算的公式，并给出证明； a1a1a2a1a2a3a1a2…an
1 n(3)令cn＝(a1a2…an) ，数列{an}，{cn}的前n项和分别记为Sn，Tn，证明：Tn<eSn.
解 (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝1－e.
当f′(x)>0，即x<0时，f(x)单调递增；
当f′(x)<0，即x>0时，f(x)单调递减．
故f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．
当x>0时，f(x)<f(0)＝0，即1＋x<e.
111?1?n令x＝1＋，即?1＋?<e.① xxnnn?n?
b1b1b2b1b2?11?1222＝1·?1＋＝1＋1＝2；·＝2·2?1＋＝(2＋1)＝3； a1a1a2a1a2?1??2?
b1b2b3b1b2b32?1333＝3·3?1＋＝(3＋1)＝4. a1a2a3a1a2a3?3?
由此推测：b1b2…bnn＝(n＋1).② a1a2…an
下面用数学归纳法证明②.
a．当n＝1时，左边＝右边＝2，②成立．
b．假设当n＝k时，②成立，即b1b2…bkk＝(k＋1). a1a2…ak
1?k＋1·ak＋1，由归纳假设可得 k＋1??当n＝k＋1时，bk＋1＝(k＋1)?1＋??
1k＋1b1b2…bkbk＋1b1b2…bkbk＋1?kk＋1＝(k＋1)(k＋1)·?1＋＝(k＋2). a1a2…akak＋1a1a2…akak＋1?k＋1?
所以当n＝k＋1时，②也成立．
根据a、b，可知②对一切正整数n都成立．
(3)证明：由cn的定义，②，算术-几何平均不等式，bn的定义及①得Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn
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