第16讲圆中比例线段、根轴
本节主要介绍圆幂定理及其应用，介绍根轴的有关知识.圆幂定理是指相交弦定理、切割线定理及割线定理，它们揭示了与圆有关的线段的比例关系，是平面几何中研究有关圆的性质的一组很重要的定理，应用及其广泛.圆幂定理通常可以通过相似三角形得到，因此研究圆中的比例线段，一般离不开相似三角形.
相交弦定理 圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段的积相等.
切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.
上述三个定理统称为圆幂定理，它们的发现距今已有两千多年的历史，它们有下面的同一形式：
圆幂定理 过一定点作两条直线与圆相交，则定点到每条直线与圆的交点的两条线段的积相等，即它们的积为定值.
这里切线可以看作割线的特殊情形，切点看作是两个重合的交点.若定点到圆心的距离
22为d，圆半径为r，则这个定值为|d-r|.
2222当定点在圆内时，d-r<0，|d-r|等于过定点的最小弦的一半的平方；
22当定点在圆上时，d-r=0；
2222当定点在圆外时，d-r>0，d-r等于从定点向圆所引切线长的平方.
22特别地，我们把d-r称为定点对于圆的幂.
一般地我们有如下结论：到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线；如果此二圆相交，那么该轨迹是此二圆的公共弦所在直线．这条直线称为两圆的“根轴”．
对于根轴我们有如下结论：三个圆两两的根轴如果不互相平行，那么它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．
A类例题
例1 试证明圆幂定理.
分析 涉及到圆中线段，我们可以运用垂径定理进行证明．
证明如图，当点P在圆内时，过点O作OQ⊥AB于Q，连结OP、OB，则QA=QB.于是PA·PB=( PQ+QA)·(QB-PQ)
222222222 222=QB-PQ=(OB-OQ)-(OP-OQ)=OB-OP= r-d=|d-r|.
22当点P在圆上和圆外时，同理可得PA·PB=|d-r|.
说明 关于圆幂定理的证明方法很多，同学们可以自己再思考几种证明方法.
用心 爱心 专心 1
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