第18讲 平几中的几个重要定理(一)教案

第18讲平几中的几个重要定理（一）

本节主要内容有Ptolemy、Ceva、Menelaus等定理及应用． 定理1 (Ptolemy定理)圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和；(逆命题成立)

定理2(Ceva定理)设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是 Z

A

AZBXCY

． ZBXCYA

定理3(Menelaus定理)设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是

B

X

YC

A

Z

C

AZBXCY

=1． ZBXCYA

B

2222

定理4设P、Q、A、B为任意四点，则PA-PB=QA-QB?PQ⊥AB．

例1 证明Ptolemy定理．

已知：如图，圆内接ABCD，求证：AC·BD=AB·CD+AD·BC．

分析 可设法把 AC·BD拆成两部分，如把AC写成AE+EC，这样，AC·BD就拆成了两部分：AE·BD及EC·BD，于是只要证明AE·BD=AD·BC及EC·BD=AB·CD即可．

证明 在AC上取点E，使?ADE=?BDC， 由?DAE=?DBC，得⊿AED∽⊿BCD．

∴ AE∶BC=AD∶BD，即AE·BD=AD·BC． ⑴ 又?ADB=?EDC，?ABD=?ECD，得⊿ABD∽⊿ECD．

∴ AB∶ED=BD∶CD，即EC·BD=AB·CD． ⑵ ⑴+⑵，得 AC·BD=AB·CD+AD·BC．

说明 本定理的证明给证明ab=cd+ef的问题提供了一个典范．

X

C

A

B

例2 证明 Ceva定理．

分析 此三个比值都可以表达为三角形面积的比，从而可用面积来证明． 证明：设S⊿APB=S1，S⊿BPC=S2，S⊿CPA=S3． 则=，

A

Z

B

X

C

Y

AZS3BXS1CYS2

，=，

ZBS2XCS3YAS1

用心 爱心 专心

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