第34讲 函数迭代与函数方程
本节主要内容有函数迭代与函数方程问题．在研究函数的表达式或函数性质时，通常
是没有给出函数的解析式，往往只给出函数的某些性质，而要求出函数的解析式，或证明该函数具有另外的一些性质，或证明满足所给性质的函数不存在或有多少个，或求出该函数的某些特殊函数值??。 例1 已知f(ex)?x3?sinx，则函数f(x)?。
x解 令t?e；则x?lnt，t?0。
将此代入f(ex)?x3?sinx式可得
f(t)??lnt??sin?lnt?（t?0）。 3
即f(x)??lnx??sin?lnx? （x?0）
代入(1)式，显然其满足方程f(ex)?x3?sinx。
说明解函数方程f(?(x))?g(x)（其中?(x)及g(x)是已知函数）时，可设t??(x)，并在?的反函数存在时，求出反函数x???1(t)；将它们代回原来的方程式以求出f(x)。但若?(x)为未知函数时，这个方法就不能用了。由于代换后的函数未必与原函数方程等价，所以最后一定要检验所得到的解是否满足原来的函数方程。
2例2已知f(x)为多项式函数，解函数方程f(x?1)?f(x?1)?2x?4x（1） 3
分析由于f(x)为多项式函数，注意f(x?1)与f(x?1)和f(x)的次数是相同的。 解因为f(x)为多项式函数，而f(x?1)与f(x?1)并不会改变f(x)的次数，故由(1)可知f(x)为二次函数。
不妨设f(x)?ax?bx?c，
则f(x?1)?a(x?1)?b(x?1)?c?ax?(2a?b)x?(a?b?c)，
f(x?1)?a(x?1)?b(x?1)?c?ax?(b?2a)x?(a?b?c)，
所以f(x?1)?f(x?1)?2ax?2bx?2(a?c)?2x?4x， 2222222
用心 爱心 专心 1
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