专题一导数及其应用
一、求导
导数的定义、常见函数的导数、函数和差积商的导数，及复合函数的求导数法则。 例1．下列函数的导数：
①y?(x?1)(2x2?3x?1)
②y?③f(x)?ex?(cosx?sinx)
分析：利用导数的四则运算求导数。
解：①法一：y?2x3?3x2?x?2x2?3x?1?2x3?5x2?2x?1 ∴ y??6x2?10x?2
法二：y??(x?1)?(2x2?3x?1)?(x?1)(2x2?3x?1)?=2x2?3x?1+(x?1)(4x?3) ?6x2?10x?2 3② y?2x2?3x
?12
?x?1?x?32
1∴ y??3x2
?3?3
3?
5
2x2?x?2?2
x2
③f?(x)?e－x
（cosx+sinx）+e－x
（－sinx+cosx）?2e－x
cosx,
例2、 ⑴ 已知y＝(x＋1)2
，用定义法求y'．
⑵ 求y＝2x2
－3x＋4－
3x?2
x2
的导数． ⑶ 已知函数f(x)
f?(1)＝2，求a的值．
解析：⑴ y'＝?y(x??x?1)2?(x?1)2
?limx?0?x＝?lim
x?0?x
??lim(2x?0x?2??x)＝2x＋2． ⑵ 由法则，即得y'＝4x－3＋
3x2?4
x3
． 1⑶ ∵f?(x)＝12
(ax2－1)?2
?2ax，即f?(1)＝a(a－1)?12＝2，解得a＝2．
习题1：
1．已知f(x)?x3
?x2
f'
(1), 则f'
(2)?
2．已知y?sinx1?cosx,x?(??,?),则当y'?2时,x??2?
3
。
3． 求下列函数的导数：
(1)y=(2x2
-1)(3x+1) (2)y?x2sinx(3)y?ln(x??x2
)
(4)y?ex?1x?cosxcos2x
ex?1
(5)y?x?sinx(6)y?sinx?cosx
解：（１）y??18x2?4x?3, (2)y??2xsinx?x2cosx;
(3)y??1
?x
2,(4)y???2ex
(ex?1)2; (5)y??
?xcosx?xsinx?sinx?cosx?1
(x?sinx)
2
,(6)y??sinx?cosx. 二、求定积分
例1设f(x)＝??x2,x?[0,1]
2?x,x?(1,2]
则?2f(x)dx等于()C
?0
A.34
45
C.5
6
D．不存在
例2
?
1
(?(x?1)2?2x)dx?
?4
?1 例3计算由曲线y?x2
?1，直线x+y=3以及两坐标轴所围成的图形的面积S. 解：如图，由y?x2
?1与直线x+y=3在点(1，2)相交,
直线x+y=3与x轴交于点(3，0)
所以,所求围成的图形的面积S=?
30
f(x)dx ，其中被积函数
f(x)=??
x2+1(0?x?1) ?3-x(1?x?3)
S=?1x320(x2+1)dx+?31x310
1
(3-x)dx=(3+x)0+(3x-2)1=3
.所以,所求围成的图形的面积为10/3
习题2：
1、用S表示图中阴影部分的面积，则S的值为（）D(A)
?c
a
f(x)dx(B)
?c
af(x)dx
(C)
?b
a
f(x)dx?
?c
b
f(x)dx(D)
?c
f(x)dx?
b
b
?af(x)dx
1
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