课时作业18 概率、随机变量及其分布
——A级 基础巩固类——
一、选择题
1．(2015·新课标全国卷Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()
A．0.648
C．0.360 B．0.432 D．0.312
解析：至少投中2次包括恰好投中2次和3次都投中，所以该同
233学通过测试的概率为P＝C230.6×0.4＋C30.6＝0.648.
答案：A
2．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是()
11A.27
16C.2711B.24 9D.24
解析：记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；
事件B：从1号箱中取出的是红球，
则根据古典概型和对立事件的概率和为1，
4221可知：P(B)P(B)＝1－3＝3 2＋43
3＋1433P(A|B)＝＝9P(A|B)＝＝98＋18＋1
从而P(A)＝P(AB)＋P(AB)
11＝P(A|B)·P(B)＋P(A|B)·P(B)＝27，选A.
答案：A
3．(2015·陕西卷)设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为( )
31A.4＋2π
11C.2π 11B.2π 11D.42π
解析：由|z|＝?x－1?＋y≤1，得(x－1)2＋y2≤1，即点(x，y)所在的区域是以(1,0)为圆心，1为半径的圆盘，则满足y≥x的区域为如图阴影部分(弓形OA)．故y≥x的概率
1122×1－14211P＝42ππ×12
答案：D
24．(2015·湖北卷)设X～N(μ1，σ21)，Y～N(μ2，σ2)，这两个正态分
布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是( )
A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B．P(X≤σ2)≤P(X≥σ1)
C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)
D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)
11解析：由图可知σ1<σ2，μ1<μ2，所以P(Y≥μ2)＝2P(Y≥μ12；
1P(Y≥μ2)2P(X≤σ1)≤P(X≤σ2)，则选项A、B错误；而结合图形可知，X的正态曲线与x轴及x＝t围成的面积不小于Y的正态曲线与x轴及x＝t围成的面积，则P(X≤t)≥P(Y≤t)．
答案：C
5．(2015·湖北卷)在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件
11“x＋y≥2”的概率，p2为事件“|x－y|≤2”的概率，p3为事件1“xy≤2( )
A．p1<p2<p3
C．p3<p1<p2 B．p2<p3<p1 D．p3<p2<p1
11117解析：对于事件x＋y≥2其对应区域面积为1－222878711113p1＝1＝8对于事件|x－y|≤2，其对应区域面积为1－22×22＝4
343111则p21＝4xy≤2?122x?
1ln21ln222ln211lnx111ln11ln21dx＋21＝2222－222＋2p3＝1＝22，
所以p2<p3<p1.
答案：B
6．两名学生参加考试，随机变量x代表通过的学生数，其分布列为
)
1112A.6 B.3 C.2 D.3解析：依题意得，这两名同学通过各自考试的事件是相互独立的． 设甲、乙两人通过各自考试的事件分别是A，B，
111依题意得：[1－P(A)][1－P(B)]＝3P(A)P(B)＝6解得：P(A)＝3，
111P(B)＝2P(A)＝2P(B)＝3.
1所以这两人通过各自考试的概率最小值为3答案：B
二、填空题
7．已知随机变量X服从二项分布B(n，p)．若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝________.
??np＝3021解析：由题意知?，∴1－p＝3p＝3?np?1－p?＝20?
1答案：38．从n个正整数1,2，?，n中任意取出两个不同的数，若取出
1的两数之和等于5的概率为14n＝________.
解析：从n个正整数1,2，?，n中任意取出两个不同的数，所有的取法有C2n种，而取出的两数之和等于5的取法只有两种，即(1,4)，
21(2,3)，所以其概率为C＝14，即n2－n－56＝0，所以n＝8. n
答案：8
9．有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．
解析：设点P到点O的距离小于1的概率为P1，由几何概型，
2π3×13V半球1则P1＝，故点P到点O的距离大于1的概率P＝1V圆柱π×1×23
12－33.
2答案：3三、解答题
10．(2015·天津卷)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
222C262C3＋C3C3解：(1)由已知，有P(A)＝C35. 8
6所以，事件A发生的概率为35(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
k4－kC5C3P(X＝k)＝C(k＝1,2,3,4)． 8
所以，随机变量X的分布列为
315随机变量X的数学期望E(X)＝1×14＋2×7＋3×74×14＝2.
11．(2015·陕西卷)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：
(1)求T(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．
解：(1)由统计结果可得T的频率分布为
从而E(T)＝25××0.1＝32(分钟)．
(2)设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1、T2的取值相互独立，且与T的分布列相同．设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”．
解法1：P(A)＝P(T1＋T2≤70)＝P(T1＝25，T2≤45)＋P(T1＝30，T2≤40)＋P(T1＝35，T2≤35)＋P(T1＝40，T2≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91.
解法2：P(A)＝P(T1＋T2>70)＝P(T1＝35，T2＝40)＋P(T1＝40，T2＝35)＋P(T1＝40，T2＝40)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09.
故P(A)＝1－P(A)＝0.91.
——B级 综合能力类——
1．(2015·北京卷)A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：
A组：10,11,12,13,14,15,16；
B组：12,13,15,16,17,14，a.
假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．
(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；
(2)如果a＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
(3)当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)
解：记事件Ai为“甲是A组的第i个人”，
事件Bi为“乙是B组的第i个人”，i＝1,2，?，7.
1由题意可知P(Ai)＝P(Bi)＝7i＝1,2，?7.
(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少
3于14天的概率是P(A5∪A6∪A7)＝P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＝7(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．由题意知C＝A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6.
因此P(C)＝P(A4B1)＋P(A5B1)＋P(A6B1)＋P(A7B1)＋P(A5B2)＋P(A6B2)＋P(A7B2)＋P(A7B3)＋P(A6B6)＋P(A7B6)＝10P(A4B1)＝
1010P(A4)P(B1)＝49.
(3)a＝11或a＝18.
2．某中学为丰富教职工生活，国庆节举办教职工趣味投篮比赛，有A，B两个定点投篮位置，在A点投中一球得2分，在B点投中一球得3分．规则是：每人投篮三次按先A后B再A的顺序各投篮一次，
11教师甲在A和B点投中的概率分别是23A，B两点投中与否
相互独立．
(1)若教师甲投篮三次，求教师甲投篮得分X的分布列和数学期望；
(2)若教师乙与教师甲在A，B投中的概率相同，两人按规则各投
三次，求甲胜乙的概率．
解：(1)根据题意知X的可能取值为0,2,3,4,5,7，
111P(X＝0)＝(1－22×(1－3)＝6
11111P(X＝2)＝C2×(1－×(1－＝， 2323
1111P(X＝3)＝(1－2×3(1－2＝12
1111P(X＝4)＝2(1－3×26
11111P(X＝5)＝C2×(1－×＝ 2236
1111P(X＝7)＝23212∴教师甲投篮得分X的分布列为
11∴教师甲投篮得分X的数学期望为E(X)＝0×62×33×12＋
1114×65×67×123.
(2)教师甲胜教师乙包括：甲得2分，3分，4分，5分，7分五种情形．这五种情形之间彼此互斥，因此，所求事件的概率为
111111111111111P＝3×6＋12×(6＋3)＋6×(6＋3＋12)＋6×(6＋3＋12＋6)＋12119×(1－12)＝48.
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