专题八 选考内容
课时作业20 几何证明选讲(选修4—1)
——A级 基础巩固类——
一、填空题
1．(2015·湖北卷)如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的
AB割线，且BC＝3PB，则AC________.
解析：由切割线定理知，PA2＝PB·PC＝PB·(PB＋BC)＝4PB2，则
ABPB1PA＝2PB，而△PAB∽△PCAACPA＝2.
1答案：2
2．如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB＝4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为________．
解析：取AB的中点为E，连接OB，OE，则CDOC－OD＝4＋OE－OD，要求CD的最大值，则点D与E重合，可知结果为：
2.
答案：
2
3．如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.
解析：连接AD，因为AB＝6，AE＝1，所以BE＝5， 在Rt△ABD中，DE2＝AE·BE＝1×5＝5，
在Rt△BDE中，由射影定理得DF·DB＝DE2＝5.
答案：5
4．如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝
________.
解析：由已知利用割线定理得：AE·AB＝AF·AC，又AC＝2AE，
AFAE1得AB＝2AF，所以ABAC2且∠A＝∠A得△AEF∽△ACB且相似
比为12，又BC＝6，所以EF＝3.
答案：
3
5．如图，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA＝________.
解析：连接AO，AC，
因为∠ABC＝30°，所以∠CAP＝30°，∠AOC＝60°，△AOC为等边三角形，
则∠ACP＝120°，所以∠APC＝30°，
所以△ACP为等腰三角形，且AC＝CP＝1.
所以AP＝2×1×sin60°3. 答案：3
6．如图，AB为⊙O的直径，弦AC，BD交于点P，若
CD＝1，则sin∠APD＝
________.
解析：连接AD，易得△CDP∽△BAP，
从而cos∠APD＝PDCD1PA＝BA3，
所以sin∠APD1－???222
?3?＝3.
答案：22
3 AB＝3，
7．如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A，B两点，且与直径CT交于点D，CD＝2，AD＝3，BD＝6，则PB＝________.
解析：由相交弦定理得DC·DT＝DA·DB，则DT＝9.
由切割线定理得PT2＝PB·PA，
即(PB＋BD)2－DT2＝PB(PB＋AB)．
又BD＝6，AB＝AD＋BD＝9，
所以(PB＋6)2－92＝PB(PB＋9)，得PB＝15.
答案：
15
8．(2015·重庆卷)如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA＝6，AE＝9，PC＝3，CEED＝21，则BE＝
________.
解析：连接AC，BD，在圆O中，∠ACE＝∠DBE，∠AEC＝∠
CEAEBED，所以△ACE∽△DBE，所以BEDECE2PA＝PC·PD＝36，PC＝3，所以PD＝12，CD＝9，DE1，所以CE2
＝6，DE＝3，AE＝9，所以BE＝2.
答案：
2
9．(2015·广东卷)如图，已知AB是圆O的直径，AB＝4，EC是圆O的切线，切点为C，BC＝1，过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD＝
________.
解析：连接OC，由于EC是圆O的切线，∴OC⊥DC，由题意知
OCOC＝2，∴在Rt△DOC中，cos∠COD＝OD.又OD∥BC，∴∠COD
＝∠OCB，而△OCB为等腰三角形，且OC＝OB＝2，BC＝1，∴cos
BC1OC1∠OCB＝cos∠OBC＝AB＝4cos∠CODOD＝4OD＝8.
答案：8
二、解答题
10．如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若BC＝2EF，
证明：(1)CF∥AB.
(2)△BCD∽△DBG.
证明：(1)如图所示，连接AF，
1因为D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，所以DE綊2.
又BC＝2EF，所以DE＝EF，所以四边形ADCF是平行四边形， 所以CF∥AB.
(2)因为CF∥AB，所以BC＝AF.
因为四边形ADCF是平行四边形，所以CD＝AF，
所以CD＝CB，所以∠CBD＝∠CDB.
因为FG∥BC，所以∠BGD＝∠CFD，∠BDG＝∠CBD， 因为CF∥AB，所以∠BDG＝∠CFD.
所以∠CBD＝∠BDG＝∠CDB＝∠DGB.
所以△BCD∽△DBG.
11．(2015·新课标全国卷Ⅰ)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E
.
(1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；
(2)若OA3CE，求∠ACB的大小．
解：(1)如图，连接AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB
.
在Rt△AEC中，由已知得，DE＝DC，
故∠DEC＝∠DCE.
连接OE，则∠OBE＝∠OEB.
又∠ACB＋∠ABC＝90°，
所以∠DEC＋∠OEB＝90°，
故∠OED＝90°，DE是⊙O的切线．
(2)设CE＝1，AE＝x，由已知得AB＝3，BE＝12－x. 由射影定理可得，AE2＝CE·BE，所以x2＝12－x， 即x4＋x2－12＝0.
可得x＝3，所以∠ACB＝60°.
——B级 综合能力类——
1．(2015·陕西卷)如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C.
(1)证明：∠CBD＝∠DBA；
(2)若AD＝3DC，BC＝2，求⊙O的直径．
解：(1)因为DE为⊙O直径，则∠BED＋∠EDB＝90°， 又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°，
从而∠CBD＝∠BED.
又AB切⊙O于点B，得∠DBA＝∠BED，
所以∠CBD＝∠DBA.
(2)由(1)知BD平分∠CBA，
BAAD则BC＝CD＝3，又BC2，从而AB＝32，
所以AC＝AB－BC＝4，所以AD＝3.
由切割线定理得AB2＝AD·AE，
AB2即AE＝AD6，故DE＝AE－AD＝3.
即⊙O的直径为
3.
2．(2015·新课标全国卷Ⅱ)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．
(1)证明：EF∥BC；
(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝3，求四边形EBCF的面积．
解：(1)由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线．又因为⊙O分别与AB，AC相切于E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF.从而EF∥BC
.
(2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线． 又EF为⊙O的弦，所以O在AD上．
连接OE，OM，则OE⊥AE.
由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE＝30°.因此△ABC和△AEF都是等边三角形．
因为AE＝23，所以AO＝4，OE＝2，
1因为OM＝OE＝2，DM＝2＝3，所以OD＝1，
103于是AD＝5，AB＝3. 所以四边形EBCF的面积为
132313322(3)22×3)2＝3.
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