课时作业24 高考小题分项练——三角函数与平面向
量
一、选择题
→＋1．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则OP
→＝() OQ
→A.OH
→ C.EO→ B.OG→ D.FO
解析：以F为坐标原点，FP，FG所在直线为x，y轴建系，假设
→＝(2，一个方格长为单位长，则F(0,0)，O(3,2)，P(5,0)，Q(4,6)，则OP
→＝(1,4)，→＋OQ→＝(3,2)，→＝(3,2)，→＋OQ→－2)，OQ所以OP而恰好FO故OP→. ＝FO
答案：D
→＋CD→＝0，(AB→－AD→)·→＝0，2．在平面四边形ABCD中，满足ABAC
则四边形ABCD是()
A．矩形
C．菱形 B．正方形 D．梯形
→＋CD→＝0，→＝－CD→＝DC→，解析：因为AB所以AB所以四边形ABCD
→－AD→)·→＝DB→·→＝0，所以四边形的对角线互是平行四边形，又(ABACAC
相垂直，所以四边形ABCD是菱形．
答案：C
π?1??3．设θ为第二象限角，若tanθ＋4＝2，则sinθ＋cosθ等于( ) ??
10A．－5 5C.5 10B.525D．－5π?1?1解析：∵tan?θ＋4＝2tanθ＝－3 ????3sinθ＝－cosθ，即?2且θ为第二象限角， 2??sinθ＋cosθ＝1
1010解得sinθ＝10，cosθ＝－1010∴sinθ＋cosθ＝－5.
答案：A
→＋OB→＝OC→，则4．已知A、B、C是圆O：x2＋y2＝1上三点，OA
→·→等于( ) ABOA
3331A.2 B．－2 C．－2 D.2
→＋OB→＝OC→，∴OA→2＋OB→2＋2OA→·→＝OC→2， 解析：∵OAOB→·→＝－1， ∴OAOB2
→·→＝(OB→－OA→)·→＝OA→·→－OA→2＝－3. ∴ABOAOAOB2答案：C
5．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的最大值为4，最小值为0，最
ππ小正周期为2，直线x＝3式为( )
πA．y＝2sin(4x＋6)＋2
πC．y＝2sin(4x＋3)＋2 πB．y＝2sin(2x＋3＋2 πD．y＝4sin(4x＋6)
解析：由题意可得A＋k＝4，－A＋k＝0，解得A＝2，k＝2，再
π2ππ由最小正周期为2，可得ω2，解得ω＝4，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)
ππ＋k＝2sin(4x＋φ)＋2，再由x＝3是其图象的一条对称轴，可得4×3π5ππφ＝kπ＋2k∈Z，即φ＝kπ－6，k∈Z，当k＝1时，φ＝6，故符合条
π件的函数解析式是y＝2sin(4x＋6)＋2，故选A.
答案：A
→＋4OB→＋6．已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若3OA
→＝0，则△AOC的面积为( ) 5OC
2A.5
3C.10 1B.26D.5→＋5OC→)2＝(－4OB→)2,9OA→2＋25OC→2＋解析：依题意得，(3OA
32→→→30OA·OC＝16OB，即34＋30cos∠AOC＝16，cos∠AOC＝－5，sin
41→→2∠AOC＝1－cos∠AOC＝5△AOC的面积为2OA||OC|sin∠AOC＝5答案：A
7．在△ABC中，若a＝2b，面积记作S，则下列结论中一定成立的是( )
A．B>30°
C．c<b B．A＝2B D．S≤b2
11解析：由三角形的面积公式知S2absinC＝2b·bsinC＝b2sinC，
因为0<sinC≤1，所以b2sinC≤b2，即S≤b2.
答案：D
ABC8．已知三个向量m＝(a，cos2，n＝(b，cos2，p＝(c，cos2)共
线，其中a，b，c，A，B，C分别是△ABC的三条边及相对三个角，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形
C．直角三角形 B．等边三角形 D．等腰直角三角形
ABCa解析：在三角形中，cos2cos2，cos2均不为0，故由题意可得Acos2
＝B＝C.
cos2cos2
AABBCC2sin2cos22sin222sin2cos2AB由正弦定理得＝＝?sin＝sinABC22＝
cos2cos2cos2
Csin2A＝B＝C，所以△ABC为等边三角形．
答案：B
19．函数y的图象与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有1－x
交点的横坐标之和等于( ) bc
A．2
C．6 B．4 D．8
1解析：作出函数y＝及y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象，发现共1－x
有8个交点(xi，yi)(i＝1,2，…，8并令x1<x2<…<x8)，且这些点构成了四对点关于点(1,0)对称的点，则每对点的横坐标和为x1＋x8＝2，x2＋x7＝2，x3＋x6＝2，x4＋x5＝2.所以所有交点的横坐标和为8.
答案：D
3π??3π?10．函数f(x)＝Asin(ωx＋ωπ)(A>0，ω>0)在区间－24上单??
调递增，则ω的最大值是( )
1A.2
C．1 3B.4D．2
解析：函数f(x)＝Asin(ωx＋ωπ)的图象向右平移π个单位得函数f(x)
?ππ?＝Asinωx的图象，问题等价于函数f(x)＝Asinωx在区间?－2，4上单??
2π调递增，故只要ω2π，即ω≤1.
答案：
C
πxπ11．函数y＝tan(4－2)(0<x<4)的图象如图所示，A为图象与x轴
→＋OC→)·→的交点，过点A的直线l与函数的图象交于C、B两点，则(OBOA
等于( )
A．－8
C．4 B．－4 D．8
πxπ解析：因为函数y＝tan(4－2)(0<x<4)的图象对称中心是(2k＋
2,0)(k∈Z)．所以点A的坐标是(2,0)．因为点A是对称中心，所以点A
→＋OB→＝2OA→.所以(OB→＋OC→)·→＝2OA→·→是线段BC的中点，所以OCOAOA
→)2＝2×4＝8.故选D. ＝2(OA
答案：D
12．已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C
1－A－B)2，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是( )
A．bc(b＋c)>8
C．6≤abc≤12 B．ab(a＋b)>162 D．12≤abc≤24
1解析：由sin2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋2
1得sin2A＋sin(A－B＋C)－sin(C－A－B)＝2
1即sin2A＋sin[A＋(C－B)]＋sin[A＋(B－C)]＝2，
1即2sinAcosA＋2sinAcos(B－C)＝2
1即sinA[cosA＋cos(B－C)]＝4，
1即sinA[－cos(B＋C)＋cos(B－C)]＝4.
1化简，得sinAsinBsinC＝81设△ABC外切圆的半径为R，由1≤S≤2，得1≤2sinC≤2，即
1R21≤2×2RsinA×2RsinBsinC≤2，故1≤4≤2.因为R>0，所以2≤R≤2.
故abc＝2RsinA×2RsinB×2RsinC＝R3∈[8,162]，即8≤abc≤162，从而可以排除选项C和D.对于选项A：bc(b＋c)>abc≥8，即bc(b＋c)>8，故A正确；对于选项B：ab(a＋b)>abc≥8，即ab(a＋b)>8，故B错误．故选A.
答案：A
二、填空题
→＝2BD→，CA→＝3CE→，13．在边长为1的正三角形ABC中，设BC
→·→＝________. 则ADBE
1→→→→→解析：设BC＝a，AB＝b，则AD＝AB＋BD＝b＋2，
1→21→→→→BE＝BC＋CE＝BC＋3CA＝3a－3b，
1且a·b＝cos120°＝－2，
1??21?→·→＝??b＋a???所以ADBE23－3b ????
1111＝32－32＋2a·b＝－41答案：－4ππ14．已知函数f(x)＝sin(3x＋3x>0)的图象与x轴的交点从左到右
依次为(x1,0)，(x2,0)，(x3,0)…，则数列{xn}的前4项和为________．
ππππ解析：令f(x)＝sin(3＋3＝0，则3x＋3kπ，
∴x＝3k－1(k∈N*)，
∴x1＋x2＋x3＋x4＝3(1＋2＋3＋4)－4＝26.
答案：26
AB3115．在△ABC中，C＝sinA＝则角C＝________，BC23sinB＝________.
ABsinC31解析：由正弦定理知BC＝sinA2，故sinC2.
又C为钝角，所以C＝150°.
sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC
1322122－3＝3(－2)＋32＝. 6
22－3答案：150° 6
π16．设函数f(x)＝2sin(2x＋6)，则下列命题： π①f(x)的图象关于直线x3
π②f(x)的图象关于点(6，0)对称；
π③f(x)的最小正周期为π，且在[0，12]上为增函数；
π④把f(x)的图象向右平移12
其中正确的命题为________．(把所有正确命题的序号都填上)
πππ5π1解析：对于①，f(3)＝sin(2×36)＝sin6＝2x
πππ＝3不是函数f(x)的图象的对称轴，该命题错误；对于②，f(6＝sin(26ππ＋6)＝1≠0，所以点60)不是函数f(x)的图象的对称中心，故该命题
2πππ错误；对于③，函数f(x)的周期为T＝2π，当x∈[012]时，2x6
πππππ∈[63]，显然函数y＝sint在[63]上为增函数，故函数f(x)在[012π上为增函数，所以该命题正确；对于④，把f(x)的图象向右平移12ππ单位后所对应的函数为g(x)＝sin[2(x－12＋6]＝sin2x，是奇函数，所
以该命题正确．故填③④.
答案：③④
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