课时作业29 高考小题分项练——解析几何
一、选择题
31．已知直线l的倾斜角为4，直线l1经过点A(3,2)、B(a，－1)，
且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b等于()
A．－4B．－2C．0D．2
2－?－1?解析：由题意知l的斜率为－1，则l1的斜率为1，即kAB＝3－a
2＝1，解得a＝0.由l1∥l2，得－b1，则b＝－2，所以a＋b＝－2，故
选B.
答案：B
2．点A(1,3)关于直线y＝kx＋b对称的点是B(－2,1)，则直线y＝kx＋b在x轴上的截距是()
3A．－2
6C．－5 5B.45D.63－1·k＝－11＋2?解析：由题意知??1??＋b?2＝k·?2?
35解得k＝－2b＝4，，
355∴直线方程为y＝－2＋4，其在x轴上的截距为6答案：D
3．已知数列{an}是等差数列，且a2＝15，a5＝3，则过点P(3，a3)，
Q(4，a4)的直线斜率为( )
A．4
C．－4 1B.41D．－4解析：∵a5－a2＝3d＝－12，∴d＝－4，
a4－a3∴a3＝11，a4＝7，∴kPQ＝7－11＝－4. 4－3
答案：C
4．若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值是( )
A．－1
C．1 B．2或－2 D．－1或1
|?1＋a?＋1|解析：圆半径为1，由圆心到直线的距离d＝ ?1＋a?＋1
＝1，得a＝－1.
答案：A
5．已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是( )
A．2
3C.2 1B.25D.2解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝4，又p＝1，
x1＋x23所以x1＋x2＝3，所以点C的横坐标是2＝2答案：C
y2x2126．已知双曲线t31(t>0)的一个焦点与抛物线y＝8的焦点
重合，则此双曲线的离心率为( )
A．2 C．3 3 D．4
12解析：依题意，抛物线y＝8即x2＝8y的焦点坐标是(0,2)，因此
22题中的双曲线的离心率e＝t＝＝2. 2－3
答案：A
7．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1
C．x＝－1 B．x＝2 D．x＝－2
??p??解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝－?x－2，
p??y＝－??x－，2??与抛物线方程联立得??y2＝2px， p2消去y整理得：x－3px＋4＝0，2
3p可得x1＋x2＝3p.根据中点坐标公式，有2＝3，p＝2，因此抛物线的
准线方程为x＝－1. 答案：C
x2y2x2y2
8．已知双曲线a－b＝1(a>0，b>0)的顶点恰好是椭圆9＋5＝1的两个顶点，且焦距是3，则此双曲线的渐近线方程是( )
1A．y＝2
C．y＝2x 2B．y＝2x D．y＝±2x
解析：由题意知双曲线中，a＝3，c＝33，所以b＝2，所以
b双曲线的渐近线方程为y＝a＝2x.
答案：C
x2y2
9．已知椭圆E：ab＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为
( )
x2y2A.45361
x2y2C.27181 x2y2B.36＋27＝1 x2y2D.18＋91
22xy2xy2解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则ab1，a＋b1，两式作
y1－y2b2?x1＋x2?y1－y20－?－1?1差并化简变形得＝－，而＝＝2，x1＋x2x1－x2a?y1＋y2?x1－x23－1
＝2，y1＋y2＝－2，所以a2＝2b2，又因为a2－b2＝c2＝9，于是a2＝18，b2＝9.
答案：D
10．已知点M(－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y2＝2x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|－|QF|的最小值是( )
7A.2
5C.2 B．3 D．2
1解析：抛物线的准线方程为x＝－2由图知，当MQ∥x轴时，|MQ|
15－|QF|取得最小值，此时|QM|－|QF|＝|2＋3|－|2＋22答案：C
x2y211．已知椭圆C4＋3＝1的左、右焦点分别为F1、F2，椭圆C
→→上点A满足AF2⊥F1F2.若点P是椭圆C上的动点，则FF1P·2A的最大
值为( ) 3A.2 9C.4 33B.215D.4
2b3→→解析：设向量FP，FA的夹角为θ.由条件知|AF|＝＝122a2，则
3→→→→F→→→FP·FA＝F121P|cosθ，于是F1P·2A要取得最大值，只需F1P在向量F2A2
→→上的投影值最大，易知此时点P在椭圆短轴的上顶点，所以FF1P·2A＝
3→33FP|cosθ≤212B.
答案：B
22xy12．已知圆C的方程为(x－1)2＋y2＝1，P是椭圆43＝1上一
→→的取值范围为( ) 点，过P作圆的两条切线，切点为A、B，则PA·PB
?3?A.?2，＋∞? ??B．[22－3，＋∞)
?356?D.?29 ??56??C.?2－39 ??
解析：如图，
π1→→设PA与PB的夹角为2α，则0<α<2|PA|＝|PB|＝tanα，所以PA·PB
1＝|PA|·|PB|cos2α＝tanαcos2α
cos2α＝sinα·cos2α
cos2α?1＋cos2α?＝ 1－cos2α
?cos2α－1?＋?cos22α－1?＋2＝1－cos2α
2＝－1－(cos2α＋1)＋1－cos2α
2＝－3＋(1－cos2α)＋t＝1－cos2α. 1－cos2α
→→＝t＋2－3.由图易知，P在椭圆左顶点时，α取得则设f(t)＝PA·PBt
1π1最小值，此时sinα＝3，而P接近椭圆右顶点时，α→2，所以sinα∈[3221)，所以t＝1－cos2α＝2sinα∈[92)．易知f(t)在[92]上单调递减，2
?2?56在(2，2)上单调递增，则f(t)min＝f2)＝22－3，而f?99，f(2)??
25656→→＝0，所以f(t)max＝f(9＝9PA·PB的取值范围为[22－3，9]，
故选C.
答案：C
二、填空题
13．圆x2＋y2＋x－2y－20＝0与圆x2＋y2＝25相交所得的公共弦长为________．
解析：公共弦的方程为：(x2＋y2＋x－2y－20)－(x2＋y2－25)＝0，即x－2y＋5＝0，圆x2＋y2－25＝0的圆心到公共弦的距离d＝|0－2×0＋5|5，而半径为5，故公共弦长为252－5?2＝45. 5
答案：5
x2y2
14．已知双曲线a－b1的一个焦点与抛物线y2＝410x的焦点
10重合，且双曲线的离心率等于3________．
解析：∵抛物线y2＝10x的焦点(10，0)，
1010∴a＋b＝10，∴e＝a3，∴a＝3，b＝1. 22
x22答案：9－y＝1
15．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，作AM，BN垂直准线于点M，N，
则|BN|＝|BF|，又|BC|＝2|BF|，得|BC|＝2|BN|，所以∠NCB＝30°，有|AC|
pp＝2|AM|＝6.设|BF|＝x，则2x＋x＋3＝6，∴x＝1，而x12＝3，x2＋2
p??p?p2?p23＝1，且x1x2＝4，所以?3－2?1－2?4，解得p＝2，所以抛物线的方????
程为y2＝3x.
答案：y2＝3x
16．设e1，e2分别是具有公共焦点F1，F2的椭圆和双曲线的离心率，P是两曲线的一个公共点，O是F1F2的中点，且满足|PO|
ee＝|OF2|，则＝________. e1＋e2
解析：由|PO|＝|OF2|＝|OF1|可知，△PF1F2为直角三角形，所以
22??|PF|＋|PF|＝2a?|PF|＋|PF|?＝4a椭椭??1212222|PF1|＋|PF2|＝4c.又?，即?22，??||PF|－|PF||＝2a?|PF|－|PF|?＝4a双双??1212
2?|PF2|＝4a2椭 ①?4c＋2|PF1|·?2， 2?4c－2|PF1|·|PF2|＝4a双 ②?
ccee①＋②得a椭＋a双＝2c.又e1＝，e2＝，所以＝a椭a双e1＋e2222
c2a椭·a双cc2＝. 22ccca椭＋a双aa椭双
2答案：2
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