课时作业15 导数与函数极值、最值
一、选择题
1．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝()
1A.ln2C．－ln2 1Bln2D．ln2
1解析：y′＝2x＋x·2xln2＝0，∴x＝－ln2答案：B
2．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是()
A．－2
C．2 B．0 D．4
解析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或2. ∴f(x)在[－1,0)上是增函数，f(x)在(0,1]上是减函数． ∴f(x)max＝f(x)极大值＝f(0)＝2.
答案：C
3．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)图象的是(
)
解析：因为[f(x)ex]′＝f′(x)ex＋f(x)(ex)′＝[f(x)＋f′(x)]ex，且x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，所以f(－1)＋f′(－1)＝0；选项D
中，f(－1)>0，f′(－1)>0，不满足f′(－1)＋f(－1)＝0.
答案：D
4．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是( )
A．－13 B．－15 C．10 D．15 解析：求导得f′(x)＝－3x2＋2ax， 由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0， 即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.
由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x， 易知f(x)在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增， ∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.
又f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1， ∴当n∈[－1,1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9. 故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.故选A. 答案：A
5．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝( )
A．－2或2 C．－1或1
B．－9或3 D．－3或1
解析：∵y′＝3x2－3，∴当y′＝0时，x＝±1. 则x，y′，y的变化情况如下表：
或c
－2＝0，∴c＝－2或c＝2.
答案：A
6．设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，若1和－1是函数f(x)的两个零点，x1和x2是f(x)的两个极值点，则x1·x2等于( )
A．－1
1C．－3 B．1 1D.3解析：f(x)＝x(ax2＋bx＋c)，若1和－1是函数f(x)的两个零点，即1和－1是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
b??1＋?－1?＝－a，
则?c??1×?－1?＝a， 解得b＝0，c＝－a，
∴f(x)＝ax3－ax，f′(x)＝3ax2－a.
又由题意知x1和x2是f′(x)＝0的两根，
－a1所以x1x2＝3a＝－3C.
答案：C
二、填空题
7．已知函数y＝f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)极大值与极小值之差为________．
解析：∵y′＝3x2＋6ax＋3b，
2???3×2＋6a×2＋3b＝0，?a＝－1，??? 2??3×1＋6a＋3b＝－3b＝0.??
∴y′＝3x2－6x，令3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2.
∴f(x)极大值－f(x)极小值＝f(0)－f(2)＝4.
答案：4
8．若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2,2]恒成立，则m的取值范围是________．
解析：令f(x)＝x3－3x2－9x＋2，则f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0，得x＝－1或3(舍去)．∵f(－1)＝7，f(－2)＝0，f(2)＝－20.∴f(x)的最小值为f(2)＝－20，故m≤－20.
答案：(－∞，－20]
9．已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如表，
f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，下列是关于函数f(x)的命题：
①函数f(x)的值域为[1,2]；
②函数f(x)在[0,2]上是减函数；
③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4； ④当1<a<2时，函数y＝f(x)－a有4个零点．
其中真命题的是________(填写序号)．
解析：由题意可知函数f(x)的单调增区间为(－1,0)，(2,4)；单调减区间为(0,2)，(4,5)，且f(x)的极小值为f(2)，由于f(2)未知，故①④均错误，又因为f(x)的最大值为f(0)＝f(4)＝2，故③错误．
答案：②
三、解答题
10．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.
故b＝4，a＋b＝8.从而a＝4，b＝4.
(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，
?x1?f′(x)＝4e(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)?e2?. ??x
令f′(x)＝0得，x＝－ln2或x＝－2.
从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f′(x)>0； 当x∈(－2，－ln2)时，f′(x)<0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．
131211．设f(x)3x＋2＋2ax.
?2?(1)若f(x)在?3?上存在单调递增区间，求a的取值范围； ??
16(2)当0<a<2时，f(x)在[1,4]上的最小值为－3f(x)在该区间上
的最大值．
1?21?解：(1)f′(x)＝－x＋x＋2a＝－?x－2?＋42a. ??2
?2??当x∈3，＋∞?时，f′(x)的最大值为 ??
?2?221?f′3＝92a.令92a>0，得a>－9??
?2?1?所以当a>－9时，f(x)在3，＋∞?上存在单调递增区间，即f(x)在??
?2??1??∞?上存在单调递增区间时，a的取值范围为?－，＋∞?. ?3??9?
1－1＋8a(2)令f′(x)＝0，得两根x1＝ 2
1＋1＋8ax2＝ 2
所以f′(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，
在(x1，x2)上单调递增．
当0<a<2时，有x1<1<x2<4，
所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x2)，
27又f(4)－f(1)＝－2＋6a<0，即f(4)<f(1)．
4016所以f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8a－33
得a＝1，x2＝2，
10从而f(x)
在[1,4]上的最大值为f(2)＝3
1．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )
A．?x0∈R，f(x0)＝0
B．函数y＝f(x)的图象是中心对称图形
C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减
D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0
解析：
由x0是f(x)的极小值点，则y＝f(x)的图象大致如右图所示，由图可知f(x)在(－∞，x0)上不单调，故C不正确．
答案：C
2．已知a为常数，函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点x1，x2(x1<x2)，则( )
1A．f(x1)>0，f(x2)>－21B．f(x1)<0，f(x2)<－21C．f(x1)>0，f(x2)<－21D．f(x1)<0，f(x2)>－2解析：f′(x)＝lnx－2ax＋1，依题意知f′(x)＝0有两个不等实根x1，x2.
即曲线y1＝1＋lnx与y2＝2ax有两个不同交点，如图．
由直线y＝x是曲线y1＝1＋lnx的切线，可知：0<2a<1，且0<x1<1<x2.
1??∴a∈?0，2. ??
由0<x1<1，得f(x1)＝x1(lnx1－ax1)<0，当x1<x<x2时，f′(x)>0，当x>x2时，f′(x)<0，
∴f(x12)>f(1)＝－a>－2答案：D
3．若函数f(x)＝x3a3－22＋x＋1在区间??1?
?23??上有极值点，则实数
a的取值范围是( )
A.???2，5?
2? B.???2，5?
2??
C.???210?
3?? D.???210?
3?
解析：因为f(x)＝x3a32x2＋x＋1，
所以f′(x)＝x2－ax＋1.
又f(x)在区间??1?2，3???上有极值点，
即f′(x)＝0在??1?
?23??有一个解或者两个不相同的解．
当有一解时，需f′??1?
?2?f′(3)≤0，
解得510＝102a≤3，经检验a3不成立， 所以5102a<3；
??
??f′???1>0，2?当有两解时，依题意可得??f′?3?>0，
?a???f′??2?<0，
5解得2<a<210??综上可得a∈?2，3.故选C. ??
答案：C 1a22<3，
4．(2014·江西卷)已知函数f(x)＝(4x2＋4ax＋a2)x，其中a<0.
(1)若a＝－4时，求f(x)的单调递增区间；
(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8，求a的值．
2?5x－2??x－2?2解：(1)当a＝－4时，由f′(x)＝＝0得x＝5x＝x
2，
2????0，由f′(x)≥0得x∈5?或x∈[2，＋∞)， ?
2??故函数f(x)的单调递增区间为?0，5和[2，＋∞)． ??
?10x＋a??2x＋a?(2)因为f′(x)＝，a<0， x
aa由f′(x)＝0得x＝－10或x＝－2.
a??当x∈?0，－10?时，f(x)单调递增； ??
a??a当x∈?－102?时，f(x)单调递减， ??
?a??当x∈－2，＋∞?时，f(x)单调递增， ??
易知f(x)＝(2x＋a)2?a?x≥0，且f?－2＝0. ??
a①当－21时，即－2≤a<0时，f(x)在[1,4]上的最小值为f(1)，
由f(1)＝4＋4a＋a2＝8，得a＝±2－2，均不符合题意．
a②当1<－24时，即－8≤a<－2时，f(x)在[1,4]上的最小值为
?a?f?－2＝0，不符合题意． ??
a③当－2时，即a<－8时，f(x)在[1,4]上的最小值可能在x＝1
或x＝4处取得，而f(1)≠8，
由f(4)＝2(64＋16a＋a2)＝8得a＝－10或a＝－6(舍去)，
当a＝－10时，f(x)在(1,4)单调递减，f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8，符合题意．
综上有，a＝－10.
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