课时作业24 正弦定理、余弦定理应用举例
一、选择题
1．如右图所示，在河岸AC测量河的宽度BC，图中所标的数据a，b，c，α，β是可供测量的数据．下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是()
A．c和α
C．c和β
答案：D
2．甲船在岛A的正南B处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB＝10千米，同时乙船自岛A出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为()
150A.7 分钟
C．21.5 分钟
解析： 15B.7 分钟 D．2.15小时 B．c和b D．b和α
如图，设t小时后甲行驶到D处，则AD＝10－4t，乙行驶到C处，则AC＝6t.∵∠BAC＝120°，∴DC2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos120°＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos120°＝28t2－20t＋100.
552当t＝14时，DC最小，DC最小，此时它们所航行的时间为1460
150＝7
答案：A
3．轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A的航行速度是25海里/小时，轮船B的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是( )
A．35海里
C．353海里 B．2海里 D．70海里
解析：设轮船A、B航行到下午2时时所在的位置分别是E、F，则依题意有CE＝25×2＝50，CF＝15×2＝30，且∠ECF＝120°，EF＝CE＋CF－2CE·CFcos120°50＋30－2×50×30cos120°＝70.
答案：D
4．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )
A．1 B．2sin10°
C．2cos10° D．cos20°
解析：如图所示，∠ABC＝20°，AB＝1，∠ADC＝10°，∴∠ABD＝160°.
在△ABD中，由正弦定理
ADABsin10° sin160°
sin160°sin20°∴AD＝ABsin10°＝sin10°＝2cos10°.
答案：C
π5．在△ABC中，∠ABC＝4，AB2，BC＝3，则sin∠BAC＝( ) 10A.10 10C.10
210B.555 2解析：由余弦定理得AC＝9＋2－2×3×2×2＝5，所以AC＝232ACBC5；再由正弦定理sin∠BAC＝sin∠ABCsin∠BAC5
310
10答案：C
6．线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始__________h后，两车的距离最小．( )
69A.4370C.43解析：
B．1 D．2
如图所示，设过x h后两车距离为y，则BD＝200－80x，BE＝50x， ∴y2＝(200－80x)2＋(50x)2－2×(200－80x)·50x·cos60°
整理得y2＝12 900x2－42 000x＋40 000(0≤x≤2.5)
70∴当x＝43时y2最小．
答案：C
二、填空题
7．在直径为30 m的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照整个广场，则光源的高度为________m.
15解析：轴截面如图，则光源高度h＝tan60°＝53(m)．
答案：3
8．如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45°，与观测站A距离2海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北θ(0°<θ<45°)的C处，且cosθ4＝5已知A、C两处的距离为10海里，则该货船的船速为________海里/小时．
4324解析：因为cosθ＝50°<θ<45°，所以sinθ＝5cos(45°－θ)＝252372722＋25＝10在△ABC中，BC＝800＋100－2×202×1010＝340，所以BC＝285，该货船的船速为85海里/小时．
答案：85
AC9．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则cosA的值等于________；
边长AC的取值范围为________．
BCAC1AC解析：由正弦定理得，sinAsinBsinA＝sin2A，
1ACAC∴sinA2sinAcosA，∴cosA＝2.
??π在锐角△ABC中，?0<B<2?0<C<π，?2π0<A<2 ??π即?0<2A<2?0<π－3A<π，?2π0<A<2 ππAC∴6<A<4.由cosA＝2得AC＝2cosA∈(2，3)． 答案：2 23) 三、解答题
10．如上图，A，B是海平面上的两个小岛，为测量A，B两岛间的距离，测量船以15海里/小时的速度沿既定直线CD航行，在t1时刻航行到C处，测得∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，1小时后，测量船到达D处，测得∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A，B两小岛间的距离．(注：A、B、C、D四点共面)
解：由已知得CD＝15，∠ACD＝120°，∠ADC＝30°， ∴∠CAD＝30°，
15AD在△ACD中，由正弦定理得sin30°sin120°
∴AD＝153；
∵∠BDC＝75°，∠BCD＝45°，∴∠CBD＝60°， 在△BCD中，由正弦定理得，
15BD＝sin45°，∴BD＝56； sin60°
在△ABD中，∠ADB＝45°，由余弦定理得
AB＝AD＋BD－2AD·BDcos∠ADB ＝?153?2＋?56?2－2·153·56cos45°
＝515
故两小岛间的距离为15海里．
11．(2014·新课标全国卷Ⅱ)四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.
(1)求C和BD；
(2)求四边形ABCD的面积．
解：(1)由题设及余弦定理得
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcosC＝13－12cosC，①
BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcosA＝5＋4cosC.②
1由①，②得cosC＝2，故C＝60°，BD＝7.
(2)四边形ABCD的面积
11S＝2AB·DAsinA＋2·CDsinC
1?
1??＝21×2＋23×2?sin60°＝23. ??
1．在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)( )
A．2.7 m
C．37.3 m B．17.3 m D．373 m
解析：
依题意画出示意图，则
CM－10CM＋10tan30°tan45°，
tan45°＋tan30°∴CM＝10 tan45°－tan30°
≈37.3(m)．
答案：C
2．(2014·浙江卷)如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练，已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)，若AB＝15 m，AC＝25 m，∠BCM＝30°，则tanθ的最大值是( ) 30A.5 3C.9 30B.1053D.9
题图 答图
AB153解析：由题意，在△ABC中，sin∠ACB＝AC＝25＝5cos∠
4ACB＝5作PH⊥BC，垂足为H，连接AH，如上图所示．
设PH＝x，则CH＝x，在△ACH中，由余弦定理得 AH＝AC＋CH－2AC·CH·cos∠ACB PH＝625＋3x－403x，tan∠PAH＝AH2
＝15319x>0)， 625403
x－x3133故当x125时，最大值为9.
答案：D
3．(2014·新课标全国卷Ⅰ)
如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________ m.
2x解析：设MN＝x m，则MA＝m．△ABC中，BC＝100 m，则3
AC＝1002 m，在△MAC中，∠AMC＝180°－75°－60°＝45°，由正
2x
3ACMA1002弦定理得＝，则sin45°sin60°解得x＝150. sin∠AMCsin∠MCA答案：150
4．山顶有一座石塔BC，已知石塔的高度为a.
(1)如图(1)，若以B，C为观测点，在塔顶B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β，用a，α，β表示山的高度h.
(2)如图(2)，若将观测点选在地面的直线AD上，其中D是塔顶B在地面上的正投影．已知石塔高度a＝20，当观测点E在AD上满足DE＝6010时，看BC的视角(即∠BEC)最大，求山的高度h.
解：(1)在△ABC中，∠BAC＝α－β，∠BCA＝90°＋β，
BCAB在△ABC中，由正弦定理，得 sin∠BACsin∠BCA
asin?90°＋β?acosβ∴AB＝sin?α－β?sin?α－β?
acosβsinαa·cosαsinβ则h＝AB·sinα－a＝－a＝. sin?α－β?sin?α－β?
h＋20h(2)设DE＝x，∵tan∠BED＝x，tan∠CED＝x
tan∠BED－tan∠CED∴tan∠BEC＝1＋tan∠BED·tan∠CED
20x2010＝. ?h＋20?h?h＋20?hh?h＋20?1＋xx＋x?h＋20?h当且仅当x＝x＝h?h＋20?时，tan∠BEC最大，从x
而∠BEC最大， 由题意，h?h＋20?＝6010，解得h＝180.
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