课时作业28 平面向量的数量积
一、选择题
1．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设向量a，b满足|a＋b|10，|a－b|＝6，则a·b＝()
A．1
C．3 B．2 D．5
解析：∵|a＋b|＝10，∴(a＋b)2＝10，
即a2＋b2＋2a·b＝10.①
∵|a－b|＝6，∴(a－b)2＝6，
即a2＋b2－2a·b＝6.②
由①②可得a·b＝1.故选A.
答案：A
2．(2014·重庆卷)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝()
9A．－2
C．3 B．0 15D.2
解析：由已知(2a－3b)⊥c，可得(2a－3b)·c＝0，即(2k－3，－6)·(2,1)＝0，展开化简得4k－12＝0，所以k＝3，故选C.
答案：C
→＝(1,1)，n3．已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向量AB
→＝2，则n·→等于() ＝(1，－1)，且n·ACBC
A．－2
C．0 B．2 D．2或－2
→＝n·→＋AC→)＝n·→＋n·→＝(1，－1)·解析：n·BC(BABAAC(－1，－1)＋
2＝0＋2＝2.
答案：B
→＝(2,2)，→4．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量OAOB
→·→有最小值，＝(4,1)，在x轴上取一点P，使APBP则P点的坐标是( )
A．(－3,0)
C．(3,0)
解析：设P点坐标为(x,0)．
→＝(x－2，－2)，BP→＝(x－4，－1)． 则AP
→·→＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1) APBP
＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1.
→·→有最小值1. 当x＝3时，APBP
∴此时点P坐标为(3,0)，故选C.
答案：C
5．在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线
→·→的取值范围是( ) 段AB上运动，则ECEM
?1??，2A.2? ??
?13?C.?22? ??B．(2,0) D．(4,0) 3????0，B.2? ?D．[0,1]
解析：
将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，
设E(x,0)，0≤x≤1.
1???又M1，2?，C(1,1)， ??
1??→?所以EM＝1－x，2， ??
→＝(1－x,1)， EC
1??12→→所以EM·EC＝?1－x，2·(1－x,1)＝(1－x)＋2. ??
1132因为0≤x≤1，所以2(1－x)2≤2
?13?→→即EM·EC的取值范围是?22?. ??
答案：C
6．(2014·天津卷)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点
→·→＝1，→·→E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若AEAFCECF
2＝－3λ＋μ＝( )
1A.2
5C.6 2B.37D.12
解析：
由于菱形边长为2，所以BE＝λBC＝2λ，DF＝μDC＝2μ，从而CE＝2－2λ，CF＝2－2μ.
→·→＝1， 由AEAF
→＋BE→)·→＋DF→) 得(AB(AD
→·→＋AB→·→＋BE→·→＋BE→·→ ＝ABADDFADDF
＝2×2×cos120°＋2·(2μ)＋2λ·2＋2λ·2μ·cos120°＝－2＋4(λ＋μ)－2λμ＝1，
所以4(λ＋μ)－2λμ＝3.
?1?22→→?由CE·CF3(2－2λ)·(2－2μ)·－2＝－3λμ＝λ＋μ－??
23
4因此有4(λ＋μ)－2(λ＋μ)＋3＝3，
5解得λ＋μ＝6C.
答案：C
二、填空题
7．(2014·北京卷)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.
解析：|b|＝2＋15，由λa＋b＝0，得b＝－λa，
|b|5故|b|＝|－λa|＝|λ||a|，所以|λ|＝＝15. |a|答案：5
→·→＝4，则|AG→| 8．已知点G是△ABC的重心，若A＝60°，ABAC
的最小值是________．
→·→＝|AB→||AC→|cosA＝|AB→|×|AC→|1，得|AB→||AC→|＝8，解析：4＝ABAC2
→＋AC→＝3AG→，∴9|AG→|2＝|AB→|2＋|AC→|2＋由三角形重心的性质可得AB
→·→≥2|AB→|·→|＋2AB→·→＝2×8＋2×4＝24，∴|AG→|262ABAC|ACACmin3
26答案：3
19．(2014·江西卷)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝3，
向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.
?3e1－e2?a·b?3e1－2e2?·解析：由已知得cosβ＝|a||b|ab9|e1|2－9e1·e2＋2|e2|2
， 9|e1|＋4|e2|－12e1·e29|e1|＋|e2|－6e1·e2
1∵e1与e2是单位向量，其夹角为α，且cosα＝3
1∴|e1|2＝|e2|2＝1，e1·e2＝|e1||e2|cosα＝319－9×3＋2
9＋4－12×39＋1－6×3∴cosβ＝
2＝32.
22答案：3
三、解答题
10．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．
(1)设c＝4a＋b，求(b·c)a；
(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值；
(3)求向量a在b方向上的投影．
解：(1)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)，
∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．
∴b·c＝2×6－2×6＝0，
∴(b·c)a＝0a＝0.
(2)a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，
由于a＋λb与a垂直，
5∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝2.
5∴λ的值为2.
(3)设向量a与b的夹角为θ，向量a在b方向上的投影为|a|cosθ.
a·b1×2＋2×?－2?22∴|a|cosθ＝. 2|b|222＋?－2?
→·→＝11．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若ABAC
→·→＝k(k∈R)． CACB
(1)判断△ABC的形状；
(2)若k＝2，求b的值．
→·→＝cbcosA，CA→·→＝bacosC， 解：(1)∵ABACCB
∴bccosA＝abcosC，
根据正弦定理，得sinCcosA＝sinAcosC，
即sinAcosC－cosAsinC＝0，sin(A－C)＝0，
∴A＝C，即a＝c.
即△ABC为等腰三角形．
(2)由(1)知a＝c，由余弦定理，得
222b＋c－ab2→→AB·AC＝bccosA＝bc2bc2.
2b→·→＝k＝2，即＝2，解得b＝
2. ABAC2
1．已知向量a＝(cosθ，sinθ)，θ∈[0，π]，向量b＝3，－1)，若|2a－b|<m恒成立，则实数m的取值范围为( )
A．[4，＋∞)
C．(2，＋∞) B．(4，＋∞) D．(4,10)
解析：∵2a－b＝(2cosθ－3，2sinθ＋1)，
?1?3∴|2a－b|＝(2cosθ－3)＋(2sinθ＋1)＝8＋8?θ－θ?＝82?2?222
π?π???π?π2π?＋8sin?θ－3?.又θ∈[0，π]，∴θ－3∈?－33，∴sin?θ－3?∈??????
?3??－1?，∴|2a－b|2的最大值为16，∴|2a－b|的最大值为4，又|2a2??
－b|<m恒成立，∴m>4.
答案：B
→－3AC→)⊥CB→，则角A的最大值为( ) 2．在△ABC中，(AB
πA.6 πB.4
πC.3
πD.2→－3AC→)⊥CB→，得(AB→－3AC→)·→＝0， 解析：由(ABCB
→|cosB＝3|AC→|cos(π－C)， 化简可得|AB
a2＋c2－b2a2＋b2－c2
即c2ac3b2ab
223b＋c23bc3222整理得2a＝－b＋c，cosA＝4bc≥4bc2.
当且仅当3b＝c时等号成立．
π又0<A<π，所以0<A≤6.
答案：A
1→1→3→→→3．在四边形ABCD中，AB＝DC＝(1,1)＋＝BD，
→|→|→||BA|BC|BD
则四边形ABCD的面积为________．
解析：
→＝DC→＝(1,1)，→|＝|DC→由AB可知四边形ABCD为平行四边形，且|AB
1→1→3→|＝2，＋BC＝BD，所以可知平行四边形ABCD的 →|→|→||BA|BC|BD
角平分线BD平分∠ABC，四边形ABCD为菱形，其边长为2，且对
角线BD3倍，即BD＝3×2＝6，则CE2＝2)2?6?212123－?＝2即CE＝2所以三角形BCD2×6×22，?2?
3所以四边形ABCD的面积为2×23. 答案：3
ππbsin2C4．在△ABC中，3<C<2. a－bsinA－sin2C
(1)判断△ABC的形状；
→＋BC→|＝2，求BA→·→的取值范围． (2)若|BABCbsin2Cbsin2C解：由＝a＝sinA， a－bsinA－sin2CsinBsin2C∴sinAsinAsinB＝sin2C，
所以B＝2C或B＋2C＝π， ππ因为3C<2，若B＝2C，则B＋C>π.
所以B＋2C＝π，由A＋B＋C＝π，相减得：A＝C
三角形为等腰三角形
→＋BC→|＝2，→·→＝|BA→|·→|cosB(2)若|BA则边AC上的中线长为1.BABC|BC
→|2cos(A＋C)＝－|BC|2cos2C ＝－|BC
12＝－sinCC1 1－cos2C
ππ2π∵3<C<2，∴3C<π，
1∴－1<cos2C<－2
2→→∴3BA·BC<1.
www.99jianzhu.com/包含内容：建筑图纸、PDF/word/ppt 流程，表格，案例，最新,免费下载,施工方案、工程书籍、建筑论文、合同表格、标准规范、CAD图纸等内容。