课时作业40 合情推理与演绎推理
一、选择题
1．下列推理过程是类比推理的为()
A．人们通过大量试验得出抛硬币出现正面的概率为0.5
B．科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼
C．通过检验溶液的pH值得出溶液的酸碱性
D．数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数 解析：由类比推理的概念可知．
答案：B
2．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a<b. 证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A<∠B. ∴a<b，其中，画线部分是演绎推理的()
A．大前提
C．结论B．小前提 D．三段论
解析：由三段论的组成可得划线部分为三段论的小前提． 答案：B
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，则a1＝1，Sn＝n2an，试归纳猜想出Sn的表达式为()
2nA．Sn＝ n＋1
2n＋1C．Sn＝n＋12n－1B．Sn＝n＋12nD．Sn＝ n＋2
2n解析：Sn＝n2an＝n2(Sn－Sn－1)，∴Sn＝S－，S1＝a1＝1，则n－1n1
43682nS2＝3，S3＝24，S4＝5.∴猜想得Sn＝A. n＋1
答案：A
4．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切
2S圆半径为r，则r＝S－ABC的a＋b＋c
四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体S－ABC的体积为V，则r＝( )
VA. S1＋S2＋S3＋S4
3VC. S1＋S2＋S3＋S42VB. S1＋S2＋S3＋S44VD. S1＋S2＋S3＋S4
解析：设三棱锥的内切球球心为O，那么由V＝VO－ABC＋VO－SAB
1111＋VO－SAC＋VO－SBC，即：V＝3S1r＋3S2r＋3S3r＋3S4r，可得：r＝
3V. S1＋S2＋S3＋S4
答案：C
5．我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O－ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为( )
A．S222＝S1＋S22＋S3 111B．S＝SSS 1232
C．S＝S1＋S2＋S3 111D．S＝SS＋S 123
解析：
如图，作OD⊥BC于D，连接AD，由立体几何知识知，AD⊥BC，
1121212222从而S＝(2BC·AD)＝4BC·AD＝4BC·(OA＋OD)＝4(OB2＋2
121112222OC)·OA＋4BC·OD＝(2OB·OA)＋(2OC·OA)＋(2BC·OD)2＝S1＋S2222
2＋S3.
答案：A
6．把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表，设aij(i，j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数，如a42＝8.若aij＝2 009，则i与j的和为( )
1
2 4
3 5 7
6 8 10 12
9 11 13 15 17
14 16 18 20 22 24
A．105
C．107 B．106 D．108
解析：由题可知奇数行为奇数列，偶数行为偶数列.2 009＝2×1 005－1，所以2 009为第1 005个奇数，又前31个奇数行内数的个数为961，前32个奇数行内数的个数为1 024，故2 009在第32个奇数行内，则i＝63，因为第63行第1个数为2×962－1＝1 923，2 009＝1 923＋2(m－1)，所以m＝44，即j＝44，∴i＋j＝107.
答案：C
二、填空题
7．观察下列不等式
1312<2
11512＋3<3
111712＋3＋44，
……
照此规律，第五个不等式为________．
解析：由前几个不等式可知
11112n－11＋2＋3＋4…＋nn.
1111111所以第五个不等式为1＋2＋345＋661111111答案：12＋3456<68．在平面几何中：△ABC的内角∠C平分线CE分AB所成线段ACAE的比为BC＝BE.把这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中(如图)DEC平分二面角A－CD－B且与AB相交于E，则得到类比的结论是________．
AE解析：由平面中线段的比转化为空间中的面积的比可得EB＝
S△ACD. S△BCD
AES△ACD答案：EB＝ S△BCD
111*2359．f(n)＝1＋23＋…＋n(n∈N)，计算f(2)>2，f(2)>2f(24)>3，
7f(25)>2n≥2时，有________．
4567解析：因为f(22)>2f(232，f(24)>2f(25)>2，所以当n≥2时，
n＋2有f(2)>2n
n＋2答案：f(2)>2 n
三、解答题
10．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S＝11(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的 2；…… 2请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．
解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：
(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；
1(2)四面体的体积V3底面积×高；
(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积1的411．给出下面的数表序列：
其中表n(n＝1,3,5，…，2n－1，从第
2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．
写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)．
解：表4为
1 3 5 7 4 8 12
12 20
32
它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列． 将这一结论推广到表n(n≥3)
，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．
1．如下图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个
9端点)有n(n>1，n∈N)个点，相应的图案中总的点数记为an，aa＋23*
999
a3a4a4a5＋…＋a2 012a2 013( )
2 010A.2 011 2 011B.2 012
2 012C.2 013 2 013D.2 012解析：由图案可得第n个图案中的点数为3n，则an＝3n－3，∴91119999＝＝－n，∴aa＋aa＋aa＋…＋aa3?n－1?×3nn?n－1?n－12334452 0122 013
1??11??11??112 011＝?12＋2－3?＋…＋?2 011－2 012＝12 012＝2 012B. ??????
答案：B
2．从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为(
)
A．2 907
C．2 012 B．2 111 D．2 090
解析：依题意，设位于三角形内的最小数是n，其中n被8除后的余数必是3,4,5,6之一，则这九个数的和等于n＋3(n＋8)＋5(n＋16)＝9n＋104.令9n＋104＝2 012，得n＝212，且n＝212被8除后的余数是4.
答案：C
3．观察分析下表中的数据：
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________． 解析：由给出的数据归纳可得出F＋V－E＝2.
答案：F＋V－E＝2
4．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；
②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；
③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解：(1)选择②式，计算如下：
13sin15°＋cos15°－sin15°cos15°＝1－2＝422
(2)归纳三角恒等式
3sinα＋cos(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝4. 22
证明如下：
1－cos2αsinα＋cos(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝＋222
1＋cos?60°－2α?sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα) 2
111131＝2－2cos2α＋2＋2(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－2sinαcosα－2sin2α
1111331＝22cos2α＋2＋4α4sin2α－4sin2α－4(1－cos2α) 1113＝1－4α－4＋4α＝4
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