课时作业42
空间几何体的结构特征及三视图与直观图
一、选择题
1．下列命题中正确的个数是()
①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；
②用一个平面去截棱锥便可得到棱台；
③仅有一组对面平行的五面体是棱台；
④有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥．
A．0个
C．2个B．1个 D．3个
解析：对于①，五个面围成的多面体也可以是三棱柱或三棱台，故①错；对于②，当平面与棱锥底面不平行时，截得的几何体不是棱台，故②错；对于③，仅有一组对面平行的五面体也可能是三棱柱，故③错；对于④，当三角形面没有一个公共顶点时，也不是棱锥，故④错．
答案：
A
2．一个底面是等腰直角三角形，侧棱垂直于底面且体积为4的三棱柱的俯视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为()
A．2B．2
C．2
解析：
D．4
1由俯视图得底面积S＝22×2＝1，结合体积得三棱柱高为4，
所以侧视图面积S＝4×1＝4.
答案：D
3．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为(
)
解析：给几何体的各顶点标上字母，如图(1)．A，E在侧投影面上的投影重合，C，G在侧投影面上的投影重合，几何体在侧投影面上的投影及把侧投影面展平后的情形如图(2)所示，故正确选项为B(而不是A)．
答案：B
4．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )
解析：对于选项A，两个圆柱的组合体符合要求；对于选项B，一个圆柱和一个正四棱柱的组合体符合要求；对于选项D，一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱与一个正四棱柱的组合体符合要求．故选C.
答案：
C
5．如图正四棱锥(底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心)P－ABCD的底面边长为6 cm，侧棱长为5 cm，则它的侧视图的周长等于( )
A．17 cm B.119＋5 cm
C．16 cm
D．
14 cm
解析：如右图，侧视图为△PEF，PE＝PF＝5－3＝4，EF＝6，所以△PEF的周长＝4×2＋6＝14.
答案：D
6．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于( )
A．1 2－1C.2 2 2＋12
解析：由题意可知正方体的底面与水平面平行，先把正方体正放，然后将正方体按某一侧棱逆时针旋转，易知当正方体正放时，其正视图的面积最小，为1×1＝1；当正方体逆时针旋转45°时，其正视图的
2－1面积最大，为1×2＝2.2<1，所以正方体的正视图的面积不2－1可能等于2.
答案：C
二、填空题
7．一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为________．
1解析：依题意得该几何体的侧视图面积为2＋22×3＝43. 2
答案：43
8．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上、下底面的面积之比为116，截去的圆锥的母线长是3 cm，则圆台的母线长为________cm.
解析：
由圆台上、下底面积之比为116，设圆台上下底面的半径分别
3r为r,4r.圆台的母线长为l，根据相似三角形的性质得＝4r，解得l3＋l
＝9.
答案：9
9．给出下列命题：①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中正确命题的序号是________．
解析：
①正确，正四面体是每个面都是等边三角形的四面体，如正方体ABCD—A1B1C1D1中的四面体A—CB1D1；②错误，反例如图所示，底面△ABC为等边三角形，可令AB＝VB＝VC＝BC＝AC，则△VBC为等边三角形，△VAB和△VCA均为等腰三角形，但不能判定其为正三棱锥；③错误，必须是相邻的两个侧面．
答案：①
三、解答题
10．正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上的斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？
解：
如图所示，在正四棱锥S—ABCD中，高OS3，侧棱SA＝SB＝SC＝SD＝7，
在Rt△SOA中，OA＝SA－OS＝2，∴AC＝4.
∴AB＝BC＝CD＝DA＝22.
作OE⊥AB于E，则E为AB的中点．
连接SE，则SE即为斜高，
1在Rt△SOE中，∵OE＝2＝2，SO＝3，
∴SE＝55.
11．在四棱锥P—ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm的全等的等腰直角三角形．
(1)根据图所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；
(2)求PA的长．
解：(1)该四棱锥的俯视图如下(内含对角线)，为边长为6 cm的正方形，如下图，其面积为36 cm2
.
(2)由侧视图可求得PD＝PC＋CD＝6＋6＝62.由正视图可知AD＝6，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA＝PD＋AD＝?2?2＋62＝
63 cm.
1．用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图1所示的几何体，则它的俯视图是( )
解析：由三视图的知识可知B选项正确．
答案：B
2．(2014·北京卷)在空间直角坐标系O—xyz中，已知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,12)．若S1，S2，S3分别是三棱锥D—ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则( )
A．S1＝S2＝S3
B．S2＝S1且S2≠S3
C．S3＝S1且S3≠S2
D．S3＝S2且S3≠S1
解析：
D—ABC在xOy平面上的投影为△ABC，故S1＝2，设D在yOz和zOx平面上的投影为D2和D3，则D—ABC在yOz和zOx平面上的投影分别为OCD2和△OAD3，易知D2(0,12)，D3(1,02)，故S2＝S3＝2，综上，选项D正确．
答案：D
3．已知半径为5的球O被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为4，若其中一圆的半径为4，则另一圆的半径为
________．
解析：由题知，球心到另一圆的距离d＝4－2＝3，另一圆的半径R＝5－d＝13. 答案：
13
4．如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC＝5，DC＝3，AD＝4，∠PAD＝60°.
→的方向相同时，(1)当正视方向与向量AD画出四棱锥P—ABCD的
正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；
(2)若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC；
(3)求三棱锥D—PBC的体积．
解：
(1)在梯形ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E， 由已知得，四边形ADCE为矩形，AE＝CD＝3，
在Rt△BEC中，由BC＝5，CE＝4，依勾股定理得BE＝3，从而AB＝6.
又由PD⊥平面ABCD得，PD⊥AD，
从而在Rt△PDA中，由AD＝4，∠PAD＝60°，得PD＝43. 正视图如图所示：
(2)证明：取PB中点N，连接MN，CN.
在△PAB中，∵M是PA中点，
1∴MN∥AB，MN＝2＝3.
又CD∥AB，CD＝3，
∴MN∥CD，MN＝CD.
∴四边形MNCD为平行四边形．
∴DM∥CN.
又DM?平面PBC，CN?平面PBC，∴DM∥平面PBC.
1(3)VD—PBC＝VP—DBC＝3△DBC·PD，
又S△DBC＝6，PD＝43，所以VD—PBC＝3.
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