课时作业43 空间几何体的表面积与体积
一、选择题
1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为()
A．7
C．5B．6 D．3
解析：设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r. 由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.
答案：A
S2．设一个球的表面积为S1，它的内接正方体的表面积为S2，则S2
的值等于()
2A.π
πC.66B.ππD.23解析：设球的半径为R，其内接正方体的棱长为a，则易知R2＝4
23S2a，即a＝3R，则S＝24πR2π?3?226×?R?3??
答案：D
3．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为()
A．38＋π
C．40＋π B．38＋2π D．40＋2π
解析：由三视图可知，该组合体下方是一个长方体，上方是一个
1半圆柱，所以表面积为2(4×2＋4×2＋2×2)－2＋2×2π×1＋π＝38
＋2π.
答案：B
4．(2014·陕西卷)已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )
32πA.3
C．2π B．4π 4πD.3
解析：依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设
4π34π球半径R，则2R＝1＋1＋?2?＝2，解得R＝1，所以V＝3＝3. 222
答案：D
5．把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高之比为( )
A．1:2
C．2:1 B．1:2π D．1:π
x解析：设底面周长为x cm，则2πr＝x，即r2π，高为6－x，故
?x?21123?V＝π·2π(6－x)＝4π(6x－x)，则V′＝4π(12x－3x2)，由V′＝0得x??
＝4.易知当x＝4时，圆柱的体积最大，此时圆柱的底面周长是4 cm，圆柱的高为2 cm，从而底面周长与高之比为42＝21.
答案：C
6．(2014·新课标全国卷Ⅱ)如下图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为(
)
17A.27
10C.27 5B.91D.3解析：由三视图可知切削得到的零件是由两个圆柱组成的一个组合体，一个是底面半径为2，高为4的圆柱，一个是底面半径为3，高
222为2的圆柱，于是零件的体积V1＝πr21h1＋πr2h2＝π×2×4＋π×3×2
＝34π，而原来毛坯的体积V＝πr2h＝π×32×6＝54π，所以切削掉部分
V－V120π10的体积与原来毛坯体积的比值之比＝V54π＝27，故选C.
答案：C
二、填空题
7．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．
解析：设圆锥底面半径为r，母线长为l，高为h，
?πl＝2πr，
则?12?2πl＝2π， ??l＝2，∴?∴h＝3. ??r＝1，
13∴V圆锥＝3×1233π. 3答案：3π
8．(2014·江苏卷)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积
S9V分别为V1，V2.若它们的侧面积相等，且S4，则V的值是________． 22
解析：设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为r1、h1，r2、h2；由题
hrSπr29r3Vπr2h意知2πr1h1＝2πr2h2hr又Sπr＝4所以r2，从而Vπrh21222222
r2r2r3hr＝rrr22h22r123答案：29．已知三棱锥O—ABC中，∠BOC＝90°，OA⊥平面BOC，其中AB＝AC＝7，BC＝11，O，A，B，C四点均在球S的表面上，则球S的表面积为________．
解析：易知以O点为顶点的三条棱两两垂直，则球S即为以O为顶点，以OA，OB，OC为棱的长方体的外接球，所以2R＝
152OA＋OB＋OC＝×2?OA＋OB＋OC?＝2(R为球S的半2225π2径)，所以R＝4，表面积S＝4πR＝2.
25π答案：2
三、解答题
10．一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的表面积S.
解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为
3.
所以V＝1×1×3＝3.
(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形，所以S＝2×(1×1＋1×3＋1×2)＝6＋23.
11．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E分别是AA1和B1C的中点．
(1)求证：DE∥平面ABC；
(2)求三棱锥E—BCD的体积．
题图 答图
解：(1)证明：如图，取BC的中点G，连接AG，EG，因为E是
1B1C的中点，所以EG∥BB1，且EG＝21.
由题意知，AA1綊BB1.
而D是AA1的中点，所以EG綊AD.
所以四边形EGAD是平行四边形．
所以ED∥AG.
又DE?平面ABC，AG?平面ABC，
所以DE∥平面ABC.
(2)因为AD∥BB1，所以AD∥平面BCE.
所以VE—BCD＝VD—BCE＝VA—BCE＝VE—ABC.
由(1)知，DE∥平面ABC，
111所以VE—BCD＝VE—ABC＝VD—ABC＝3ADAG＝6×3×6×4＝
12. 2·
1．(2014·湖南卷)一块石材表示的几何体的三视图如下图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于(
)
A．1 B．2
C．3
解析：
D．4
由三视图可得原石材为如右图所示的直三棱柱A1B1C1—ABC，且AB＝8，BC＝6，BB1＝12.
若要得到半径最大的球，则此球与平面A1B1BA，BCC1B1，ACC1A1相切，故此时球的半径与△ABC内切圆的半径相等，故半径r＝6＋8－10＝2.故选B. 2
答案：B
2．(2014·湖北卷)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公
12式V≈36Lh.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那
22么，近似公式V≈75Lh相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )
22A.7
157C.50 25B.8 355D.113解析：借助圆锥的体积公式，底面圆的面积、周长公式求解．设圆锥的底面圆半径为r，则圆锥的底面圆周长L＝2πr，所以圆锥底面
L1121L212圆的半径r2πV＝3＝3πrh34πh＝12πLh.
22122225又V≈75h，所以12πLh≈75Lh，解得π8
.
答案：B
3．如图，在三棱锥D—ABC中，已知BC⊥AD，BC＝2，AD＝6，AB＋BD＝AC＋CD＝10，则三棱锥D—ABC的体积的最大值是________．
解析：
由题意知，线段AB＋BD与线段AC＋CD的长度是定值，因为棱AD与棱BC相互垂直．
设d为AD到BC的距离．
11则VD—ABC＝AD·BC×d×2×32d，
当d最大时，VD—ABC体积最大，
∵AB＋BD＝AC＋CD＝10，
∴当AB＝BD＝AC＝CD＝5时，
d4－115.
此时V＝15.
答案：15
4．如图所示，从三棱锥P—ABC的顶点P沿着三条侧棱PA，PB，PC剪开成平面图形得到△P1P2P3，且P2P1＝P2P3
.
(1)在三棱锥P—ABC中，求证：PA⊥BC.
(2)若P1P2＝26，P1P3＝20，求三棱锥P—ABC的体积． 解：
(1)证明：由题设知A，B，C分别是P1P3，P1P2，P2P3的中点，且P2P1＝P2P3.
从而PB＝PC，AB＝AC，
取BC的中点D，连AD，PD，
则AD⊥BC，PD⊥BC，AD∩PD＝D，
∴BC⊥平面PAD.
∵PA?平面PAD，故PA⊥BC.
(2)由题设有
1AB＝AC＝2P1P2＝13，PA＝P1A＝BC＝10，
PB＝PC＝P1B＝13，
∴AD＝PD＝AB－BD＝12，
在等腰三角形DPA中，
底边PA上的高
h＝?1?2AD－?2A?＝119， ??2
1∴S△DPA＝2PA·h＝5119.
又BC⊥平面PAD， ∴VP—ABC＝VB—PDA＋VC—PDA 11＝3·S△DPA＋3·S△PDA 1150＝3·S△PDA＝3×10×5119＝3119.
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