课时作业45 直线、平面平行的判定及其性质
一、选择题
1．平面α∥平面β，点A，C∈α，点B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是()
A．AB∥CD
C．AB与CD相交B．AD∥CB D．A，B，C，D四点共面 解析：充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立．
答案：D
2．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是()
A．l∥α
C．l与α相交但不垂直B．l⊥α D．l∥α或l?α
解析：l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等；l?α时，直线l上所有的点到α的距离都是0；l⊥α时，直线l上有两个点到α距离相等；l与α斜交时，也只能有两个点到α距离相等．故选D.
答案：D
3．已知不重合的两条直线l，m和不重合的两个平面α，β，下列命题正确的是()
A．l∥m，l∥β，则m∥β
B．α∩β＝m，l?α，则l∥β
C．α⊥β，l⊥α，则l∥β
D．l⊥m，m⊥β，l⊥α，则α⊥β
解析：对于选项A，m可能在β内，故A错；对于选项B，l可能与β相交，故B错；对于选项C，l可能在β内，故C错，所以选
D.
答案：D
4．已知l、m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )
A．若l∥α，m∥α，则l∥m
B．若l⊥m，m∥α，则l⊥α
C．若l⊥m，m⊥α，则l∥α
D．若l∥α，m⊥α，则l⊥m
解析：A选项，l与m可能平行，异面或相交，A错；B选项，l与α可能平行，相交或l在α内，B错；C选项，l有可能在α内，C错，故选D.
答案：D
5．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：
①若m⊥α，m?β，则α⊥β；②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；③如果m?α，n?α，m，n是异面直线，那么n与α相交；④若α∩β＝m，n∥m，且n?α，n?β，则n∥α且n∥β.
其中正确的命题是( )
A．①②
C．③④ B．②③ D．①④
解析：由面面垂直的判定定理得①正确，若m∥n时，α，β有可能相交，所以②错误．对③来说，n可能与α平行，则③错．α∩β＝m，∴m?α，m?β，n?α，n∥m，则n∥α，同理n∥β，选D.
答案：D
6．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线( )
A．有无数条
B．有2条
C．有1条
D．不存在
解析：因为平面D1EF与平面ADD1A1有公共点D1，所以两平面有一条过D1的交线l，在平面ADD1A1内与l平行的任意直线都与平面D1EF平行，这样的直线有无数条．
答案：A
二、填空题
7．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．
解析：
如图，连接AC，BD交于O点，连接OE，因为OE∥BD1，而OE?平面ACE，BD1?平面ACE，所以BD1∥平面ACE.
答案：平行
8．α、β、γ是三个平面，a、b是两条直线，有下列三个条件：①a∥γ，b?β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a?γ.如果命题“α∩β＝a，b?γ，
且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的题号填上)．
解析：①中，a∥γ，a?β，b?β，β∩γ＝b?a∥b(线面平行的性质)．③中，b∥β，b?γ，a?γ，β∩γ＝a?a∥b(线面平行的性质)．
答案：①③
9．在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO.
解析：假设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥PA.连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，又D1B?平面PAO，QB?平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q满足条件Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.
答案：Q为CC1的中点
三、解答题
10．如图，已知四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，
1∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝2＝1，M是PB
的中点．
(1)求证：AM＝CM；
(2)若N是PC的中点，求证：DN∥平面AMC.
1证明：(1)∵在直角梯形ABCD中，AD＝DC＝2＝1，
∴AC2，BC＝2，
∴BC⊥AC，又PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD， ∴BC⊥PA，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，
∴BC⊥PC.
1在Rt△PAB中，M为PB的中点，则AM＝2，
1在Rt△PBC中，M为PB的中点，则CM＝2，
∴AM＝CM.
(2)如图，连接DB交AC于点F，
11∵DC綊2，∴DF＝2.
取PM的中点G，连接DG，FM，则DG∥FM，
∴又DG?平面AMC，FM?平面AMC，
∴DG∥平面AMC.
连接GN，则GN∥MC，GN?平面AMC，MC?平面AMC. ∴GN∥平面AMC，又GN∩DG＝G，
∴平面DNG∥平面AMC，
又DN?平面DNG，∴DN∥平面AMC
.
11．如右图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF＝3，G和
H分别是CE和CF的中点．
(1)求证：AC⊥平面BDEF；
(2)求证：平面BDGH∥平面AEF.
解：(1)因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.
又因为平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD＝BD，且AC?平面ABCD，所以AC⊥平面BDEF
.
(2)在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GH∥EF，
又因为GH?平面AEF，EF?平面AEF，所以GH∥平面AEF. 设AC∩BD＝O，连接OH，
在△ACF中，因为OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF， 又因为OH?平面AEF，AF?平面AEF，所以OH∥平面AEF. 又因为OH∩GH＝H，OH，GH?平面BDGH，
所以平面BDGH∥平面AEF
.
1．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是
( )
A．①③
C．①④ B．②③ D．②④
解析：对于图形①：平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP，对于图形④：AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP，图形②，③都不可以，故选C.
答案：C
2．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.
题图 答图
解析：如图，连接FH，HN，FN，
由题意知HN∥面B1BDD1，FH∥面B1BDD1.
且HN∩FH＝H，
∴面NHF∥面B1BDD1.
∴当M在线段HF上运动时，有MN∥面B1BDD1.
答案：M∈线段HF
3．(2014·四川卷)在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．
(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；
(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．
解：(1)证明：因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC.
因为AB，AC为平面ABC内两条相交直线，所以AA1⊥平面ABC. 因为直线BC?平面ABC，所以AA1⊥BC
.
又由已知，AC⊥BC，AA1，AC为平面ACC1A1内两条相交直线， 所以BC⊥平面ACC1A1.
(2)取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点．
由已知，O为AC1的中点．
连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，
11所以，MD綊2AC，OE綊2AC，
因此MD綊OE.
连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则ED∥MO. 因为直线DE?平面A1MC，MO?平面A1MC，
所以直线DE∥平面A1MC.
即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线A1MC. DE∥平面
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