课时作业51综合复习

课时作业51 直线与圆、圆与圆的位置关系

一、选择题

1．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有()

A．1条

C．3条B．2条 D．4条

解析：圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，内公切线条数为2.

答案：B

2．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，

→·→的值是() 且|AB|＝3，则OAOB

1A．－2

3C．－4 1B.23D.4解析：在△OAB中，由|OA|＝|OB|＝1，|AB|＝3，可得∠AOB＝

1→·→＝1×1×cos120°120°，所以OAOB＝－2答案：A

3．(2014·安徽卷)过点P(－3，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是()

πA．(0，6

πC．[0，6]πB．(0，3] πD．[0，3]

解析：设斜率为k，则直线l的方程为y＋1＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－1＝0，由题可得3k－1|≤1，解得0≤k3.设倾斜角为α，k＋1

π则0≤tanα≤3，得0≤α≤3答案：D

4．若直线x－y＋2＝0与圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4相交于A，B

→·→的值为( ) 两点，则CACB

A．－1

C．1 B．0 D．6

解析：由题意可知，圆心C(3,3)到直线AB：x－y＋2＝0的距离为|3－3＋2|d2d＝，又因2.又因为sin∠BAC＝r＝2BAC＝45°1＋1

→·→＝0. 为CA＝CB，所以∠BCA＝90°.故CACB

答案：B

5．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a，b满足的关系是( )

A．a2＋2a＋2b－3＝0

C．a2＋2a＋2b＋5＝0 B．a2＋b2＋2a＋2b＋5＝0 D．a2－2a－2b＋5＝0

解析：两圆的公共弦必过(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心，两圆相减得相交弦的方程为－2(a＋1)x－2(b＋1)y＋a2＋1＝0，将圆心坐标(－1，－1)代入可得a2＋2a＋2b＋5＝0.

答案：C

6．已知直线x＋y－k＝0(k>0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，

3→→→B，O是坐标原点，且有|OA＋OB|≥3|AB|，那么k的取值范围是( )

A．(3，＋∞)

C．[2，2)

解析：

B．2，＋∞) D．3，22)

3→→→当|OA＋OB|＝3|AB|时，O，A，B三点为等腰三角形的三个顶点，

其中OA＝OB，∠AOB＝120°，从而圆心O到直线x＋y－k＝0(k>0)

3→→→的距离为1，此时k2；当k>2时|OA＋OB|>3|AB|，又直线与圆

x2＋y2＝4存在两交点，故k2，综上，k的取值范围为2，22)，故选C.

答案：C

二、填空题

7．(2014·重庆卷)已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________．

解析：圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝9，则圆心C(－1,2)，

32半径r＝3.由题可得AB＝32，则圆心到直线的距离d＝2，所以|－1－2＋a|32＝2a＝0或6. 1＋?－1?答案：0或6

8．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为23，则a＝________.

解析：方程x2＋y2＋2ay－6＝0与x2＋y2＝4相减得2ay＝2，则y

1122＝a2－?3?＝aa＝1.

答案：1

9．两圆相交于两点(1,3)和(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，且m，c均为实数，则m＋c＝________.

解析：根据两圆相交的性质可知，两点(1,3)和(m，－1)的中点?1＋m??，1?在直线x－y＋c＝0上，并且过两点的直线与x－y＋c＝0垂?2??

直，故有?3－?－1??1－m×1＝－1，

答案：3

三、解答题 1＋m21＋c＝0， ∴m＝5，c＝－2，∴m＋c＝3.

10．已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.

(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为3，求l的方程；

(2)求过P

点的圆C的弦的中点的轨迹方程．

解：

(1)如图所示，|AB|＝3，将圆C方程化为标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝16，

∴圆C的圆心坐标为(－2,6)，半径r＝4，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，

∴|AD|＝23，|AC|＝4.

C点坐标为(－2,6)．

在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.

设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即 kx－y＋5＝0.

|－2k－6＋5|由点C到直线AB的距离公式：＝2， k＋?－1?

3得k＝4故直线l的方程为3x－4y＋20＝0.

又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0. ∴所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.

(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，

→·→＝0，即CD⊥PD，即CDPD

∴(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0，

化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.

11．在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：2x－y－4＝0，设圆C的半径为1，圆心在直线l上．

(1)若圆心C也在直线2x－3y＝0上，过点A作圆C的切线，求切线的方程．

(2)若圆C与圆D：x2＋y2＋2y－3＝0有公共点，求圆心C的横坐标a的取值范围．

??2x－y－4＝0，解：(1)由?得圆心C(3,2)， ?2x－3y＝0?

又因为圆的半径为1，

所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝1，

设过点A的切线方程为y＝kx＋3，

|3k＋3－2|圆心到直线的距离为＝1， 1＋k3解得k＝0或k＝－4故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.

(2)因为圆心在直线2x－y－4＝0上，

设圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1，

圆D：x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，

因为圆C与圆D有公共点，

则|2－1|≤|CD|≤2＋1，即1a＋?2a－3?≤3，

12所以5a－

12a≤0，得0≤a≤52

1．动圆C经过点F(1,0)，并且与直线x＝－1相切，若动圆C与直线y＝x＋22＋1总有公共点，则圆C的面积( )

A．有最大值8π

C．有最小值3π B．有最小值2π D．有最小值4π

解析：设圆心为C(a，b)，半径为r，r＝|CF|＝|a＋1|，即(a－1)2

?12?1212??，b＋b＝(a＋1)，即a＝4b，∴圆心为4，r＝4＋1，圆心到直??22

线y＝x＋22＋1的距离为d＝?b??－b＋22＋1??4?2

2b2≤4＋1，∴b≤－

12(22＋3)或b≥2，当b＝2时，rmin＝44＋1＝2，∴Smin＝πr2＝4π.

答案：D

2．(2014·江西卷)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴

上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为( )

4πA.5

C．(6－25)π 3πB.45πD.4

解析：∵∠AOB＝90°，∴点O在圆C上．

设直线2x＋y－4＝0与圆C相切于点D，则点C与点O间的距离等于它到直线2x＋y－4＝0的距离，

∴点C在以O为焦点，以直线2x＋y－4＝0为准线的抛物线上， ∴当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|.

|2×0＋0－4|4又|OD|＝ 55

2∴圆C的最小半径为， 5

?2?24∴圆C面积的最小值为π?＝5π. ?5?答案：A

3．在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3,0)在圆C：x2＋y2－2mx－4y＋m2－28＝0内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积的最大值为16，则实数m的取值范围为________．解析：由题意得圆心C(m,2)，半径r＝42.因为点P(3,0)在圆C：x2＋y2－2mx－4y＋m2－28＝0内，所以32＋0－6m－0＋m2－28<0，解

1得3－27<m<3＋27.设C到直线的距离为d，则d≤|CP|.又S△ABC2

2222d＋r－d1r222d·|AB|＝2d·2r－d≤＝＝16，当且仅当d＝r－d，即22

d2＝16，d＝4时取等号，因此|CP|≥4，?m－3?＋4≥4，即m≥3＋

23或m≤3－23.综上，实数m的取值范围为[3＋3，3＋7)∪(3－7，3－3]．

答案：[3＋23，3＋27)∪(3－27，3－3]

4．已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x－4y＋7＝0相切，且被y轴截得的弦长为23，圆C的面积小于13.

(1)求圆C的标准方程；

(2)设过点M(0,3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．

解：(1)设圆C：(x－a)2＋y2＝R2(a>0)，由题意知 |3a＋7|??R?3＋4??a＋3＝R 13，解得a＝1或a＝8，

又∵S＝πR2<13，∴a＝1，

∴圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.

(2)当斜率不存在时，直线l为：x＝0，不满足题意．