课时作业52 椭圆
一、选择题
x221．已知△ABC的顶点B，C在椭圆3＋y＝1上，顶点A是椭圆
的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是
()
A．3
C．3B．6 D．12
解析：由椭圆的定义知：|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a(F是椭圆的另外一个焦点)，∴周长为4a＝3.
答案：C
x2y2
2．已知椭圆1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m10－mm－2
等于()
A．4
C．7B．5 D．8
y2x2
解析：将椭圆的方程转化为标准形式为22＝1，?m－2?10－m?显然m－2>10－m，即m>6，且m－2)2－10－m)2＝22，解得m＝8.
答案：D
x2y243．椭圆91的离心率为5，则k的值为() 4＋k
A．－21B．21
19C．－25或21 19D.25或21 解析：若a2＝9，b2＝4＋k，则c5－k，
5－k4c419由a5，即35k＝－25；
由a2＝4＋k，b2＝9，则ck－5，
k－54c4由a5，即5k＝21. 4＋k
答案：C
x2y2
4．已知椭圆：4b＝1(0<b<2)，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是( )
A．1
3C.2 2 D.3 解析：由题意知a＝2，所以|BF2|＋|AF2|＋|AB|＝4a＝8，因为|BF2|＋|AF2|的最大值为5，所以|AB|的最小值为3，当且仅当AB⊥x轴时，
3??3??c9??－c，－c，－取得最小值，此时AB代入椭圆方程得44b＝2?，2?，??
224－b9b91，又c2＝a2－b2＝4－b2，所以4＋4b＝1，即1－4＋4b＝1，所2
b29以44b，解得b2＝3，所以b＝3. 答案：D
x2y2
5．设F1，F2分别是椭圆Cab＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为( )
1A.6
3C.6 解析： 1B.333
设PF1的中点为M，连接PF2，由于O为F1F2的中点，则OM为△PF1F2的中位线，所以OM∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.
由于∠PF1F2＝30°，所以PF1＝2PF2，
由勾股定理得F1F2＝PF1－PF23PF2，
3PF由椭圆定义得2a＝PF1＋PF2＝3PF2?a22c＝F1F23PF2
3PF?c＝2， c3PF23所以椭圆的离心率为ea＝23PF23.
答案：D
x2y2
6．已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆ab1的两个焦点，P为椭
2→·→圆上一点且PF1PF2＝c，则此椭圆离心率的取值范围是( )
?3?A.?1? ?3?
?32??C.，2 3???11?B.?32? ???2??D.0 2??
2→·→＝(－c－m，－n)·解析：设P(m，n)，PFPF(c－m，－n)＝m12
－c2＋n2＝c2，∴2c2－m2＝n2，①
x2y2
把P(m，n)代入椭圆a＋b1得b2m2＋a2n2＝a2b2，②
2222ab－2ac把①代入②得m2＝≥0，∴a2b2≤2a2c2， b－ac3∴b≤2c，∴a≤3c，∴e＝a3. 2222
2222ab－2acc22222又m＝a，∴a≥2c，∴e＝a2. b－a?2?综上，此椭圆离心率的取值范围是?，，故选C. 2??3
答案：C
二、填空题
x2y2
7＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a|a|－1a＋3
的取值范围是________．
x2y2
解析：因为方程1表示焦点在x轴上的椭圆，所以|a|－1a＋3
|a|－1>a＋3>0，解得－3<a<－2.
答案：(－3，－2)
x2y2
8．椭圆Γ：ab＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y3(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝
2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．
解析：
如图，△MF1F2中，
∵∠MF1F2＝60°，∴∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°， 又|F1F2|＝2c，
∴|MF1|＝c，|MF2|＝3c，
∴2a＝|MF1|＋|MF2|＝c＋3c，
c得e＝a23－1. 3＋1答案：3－1
x2y239．已知椭圆C＝1(a>b>0)的离心率为ab2过右焦点F且斜
→＝3FB→，则k＝率为k(k>0)的直线与椭圆C相交于A，B两点．若AF
________.
c3421222解析：根据已知a2，可得a＝3c，则b＝3，故椭圆方程为
3x23y22221，即3x＋12y－4c＝0.设直线的方程为x＝my＋c，代入4cc
椭圆方程得(3m2＋12)y2＋6mcy－c2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则根据→＝3FB→，得(c－x，－y)＝3(x－c，y)，由此得－y＝3y，根据韦AF112212
2cmc2达定理y1＋y2＝－，y1y2＝－y1＝3y2代入得，y2m＋43?m＋4?
cmc212222＝－3y2＝－，故9m＝m＋4，故m＝2从而k2＝2，m＋43?m＋4?
k＝2.又k>0，故k2.
答案：2
三、解答题
?5x2y22?10．已知椭圆ab＝1(a>b>0)，点P?a，?在椭圆上． 2??5
(1)求椭圆的离心率；
(2)设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点，若点Q在椭圆上且满足
|AQ|＝|AO|，求直线OQ的斜率．
?52?解：(1)因为点P?a，?在椭圆上， 2??5
a2a2b25故5a＋2b1，可得a8.
222a－bb3于是e2＝a＝1－a8，
6所以椭圆的离心率e＝4.
(2)设直线OQ的斜率为k，则其方程为y＝kx.设点Q的坐标为(x0，
?y0＝kx0.
2y0)．由条件得?xy2?ab＝1.
22ab2消去y0并整理得x0＝22.① ka＋b2
由|AQ|＝|AO|，A(－a,0)及y0＝kx0得，
222(x0＋a)2＋k2x20＝a，整理得(1＋k)x0＋2ax0＝0.
－2a而x0≠0，故x0＝. 1＋ka2a283222代入①，整理得(1＋k)＝4kb4.由(1)知b5(1＋k)＝5222
k2＋4，
即5k4－22k2－15＝0，可得k2＝5.
所以直线OQ的斜率k＝5.
11．(2014·北京卷)已知椭圆C：x2＋2y2＝4.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．
x2y2解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为421. 所以a2＝4，b2＝2，所以c2＝a2－b2＝2. 因此a＝2，c＝2.
c2故椭圆C的离心率e＝a2.
(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x0≠0.
→·→＝0，即tx＋2y＝0，解得t＝－2y0因为OA⊥OB，所以OAOB00x0
2又x20＋2y0＝4，
所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2
2y?2?4y222?x＋＝0x＋(y0－2)＝x0＋y0＋x4 ?0?0
224－x2?4－x00?2＝x0＋2＋x＋4 02
x28＝2x4(0<x20≤4)． 0
2x822因为2＋x≥4(0<x20≤4)，且当x0＝4时等号成立，所以|AB|≥8. 0
故线段AB长度的最小值为
22.
x2y2
1．设F1，F2是椭圆E：ab＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直3a线x2上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( ) 1A.2 2B.3
3C.4
解析：
4D.5
令ca－b.如图，据题意，|F2P|＝|F1F2|，∠F1PF2＝30°，∴∠F1F2P＝120°，
∴∠PF2x＝60°，
?3a?∴|F2P|＝2?2c?＝3a－2c. ??
∵|F1F2|＝2c，∴3a－2c＝2c，
c3∴3a＝4c，∴a4，
3即椭圆的离心率为4答案：C
x2y2
2．已知椭圆C1：ab＝1(a>b>0)与圆C2：x2＋y2＝b2，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是( )
?1??，1A.2? ??
?2?C.?，1? ?2??2??B.，2? 2???3?D.?，1? ?2?
解析：椭圆上长轴端点向圆外引两条切线P′A，P′B，则两切线形成的角∠AP′B最小，若椭圆C1上存在点P使切线互相垂直，则只需∠AP′B≤90°，即α＝∠AP′O≤45°.
b2∴sinα＝asin45°＝2，解得a2≤2c2，
12∴e≥2e≥2，而0<e<1， 2?2?2∴2e<1，即e∈?1?. ?2?
答案：C
x2y2
3．(2014·江西卷)设椭圆C：ab1(a>b>0)的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________．
－b2b2
解析：由题可知直线AB方程为x＝c，则A(c，a)，B(c，a，2b2
|AB|＝a.
∵AB⊥x轴，OD⊥x轴，∴AB∥OD，又O为F1F2中点，∴D为F1B中点，又AD⊥F1B，∴|AF1|＝|AB|， 则b22b2
?c＋c?＋?a＝a，整理得4a2c2＋b4＝4b4. 2
∴2ac＝3b23(a2－c2)
3c2＋2ac3a2＝0
3e2＋2e－3＝0
3(3e－1)(e＋3)＝0，解得e3.
3答案：3
4.(2014·江苏卷
)
x2y2
如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆a＋b＝1(a>b>0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.
41(1)若点C的坐标为(33)，且BF22，求椭圆的方程；
(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．
解：(1)由题意，F2(c,0)，B(0，b)，|BF2|＝b＋c＝a＝2，又
41?3?2?3?2
41C(33)，∴2b1，
x22解得b＝1，∴椭圆方程为2y＝1.
xyx2y2
(2)直线BF2方程为cb＝1，与椭圆方程ab＝1联立方程组，
2a2cb32a2cb3
解得A点坐标为()，则C点坐标为(，，a＋ca＋ca＋ca＋cb3
a＋cb3bb3
kF1C＝2ac，又kAB＝－cF1C⊥AB得(－3ac＋c3ac＋cca＋cbc54224222224c＝－1，即b＝3ac＋c，∴(a－c)＝3ac＋c，化简得e＝a5.
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