课时作业50 圆的方程
一、选择题
1．若过点A(a，a)可作圆x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0的两条切线，则实数a的取值范围是()
A．(－∞，－3)
3???B.12? ??
3???1，C．(－∞，－3)∪2? ?
D．(－3，＋∞)
解析：圆的方程可化为(x－a)2＋y2＝3－2a.过点A(a，a)可作圆的两条切线，
2222??a＋a－2a＋a＋2a－3>0，所以? ??3－2a>0，
3解之得a<－3或1<a<2，
3??故a的取值范围为(－∞，－3)∪?1，2. ??
答案：C
2．已知方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆有最大的面积，则取最大面积时，该圆的圆心的坐标为()
A．(－1,1)
C．(1，－1)B．(－1,0) D．(0，－1)
解析：由x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0知所表示圆的半径
11r＝2k＋4－4k＝－3k＋4，
1当k＝0时，rmax＝24＝1，
此时圆的方程为x2＋y2＋2y＝0，
即x2＋(y＋1)2＝1，所以圆心为(0，－1)．
答案：D
3．已知圆C的方程为x2＋y2＋2x－2y＋1＝0，当圆心C到直线kx＋y＋4＝0的距离最大时，k的值为( )
1A.3
1C．－3 1B.51D．－5解析：圆的方程变形为(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆心C(－1，1)，半径r＝1，直线kx＋y＋4＝0恒过定点B(0，－4)，当直线与直线BC垂直时，圆心C到直线kx＋y＋4＝0的距离最大，由斜率公式可得直线
－4－11BC的斜率为5，故k＝－5. 0－?－1?
答案：D
4．若圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是( )
A．(－∞，4)
C．(－4，＋∞) B．(－∞，0) D．(4，＋∞)
解析：将圆的方程变形为(x－1)2＋(y＋3)2＝10－5a，可知，圆心为(1，－3)，且10－5a>0，即a<2.
因为圆关于直线y＝x＋2b对称，所以圆心在直线y＝x＋2b上，即－3＝1＋2b，解得b＝－2，所以a－b<4.
答案：A
5．已知圆(x＋1)2＋(y－1)2＝1上一点P到直线3x－4y－3＝0的距离为d，则d的最小值为( )
A．1
2C.5 4B.5D．2
解析：∵圆心C(－1,1)到直线3x－4y－3＝0的距离为|3×?－1?－4－3|2，∴dmin＝2－1＝1. 5
答案：A
6．已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长比为12，则圆C的方程为( )
?3?224A.?x＋y＝3 3??
?3?24C．x＋?y3 3??2?3?221B.?x?＋y＝3 3???3?21D．x＋?y?＝3 3??2
2解析：由已知得圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为3
ππ2π，设圆心(0，a)，半径为r，则rsin31，rcos3＝|a|，解得r＝，3
?4333?242?即r＝3|a|＝3，即a＝3，故圆C的方程为x＋y＝33??2
答案：C
二、填空题
7．已知圆C的圆心与点M(1，－1)关于直线x－y＋1＝0对称，并且圆C与x－y＋1＝0相切，则圆C的方程为____________________．
解析：所求圆的圆心为(－2,2)，设圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝
32r2(r>0)，则圆心(－2,2)到直线x－y＋1＝0的距离为r，得r＝2
9圆C的方程为(x＋2)＋(y－2)＝222
9答案：(x＋2)＋(y－2)＝2 22
48．圆C1的方程为(x－3)2＋y2＝25C2的方程为(x－3－cosθ)2
1＋(y－sinθ)2＝25(θ∈R)，过C2上任意一点P作圆C1的两条切线PM、
PN，切点分别为M、N，则∠MPN的最大值为________．
解析：圆C2的圆心的轨迹方程是(x－3)2＋y2＝1，当∠MPN取最
42大值时，P点与圆C1的圆心之间的距离最小，此时dmin＝5，r15，
π所以∠MPN的最大值为3π答案：39．已知直线2ax＋by＝1(a，b是实数)与圆O：x2＋y2＝1(O是坐标原点)相交于A，B两点，且△AOB是直角三角形，点P(a，b)是以点M(0,1)为圆心的圆M上的任意一点，则圆M的面积的最小值为________．
解析：因为直线与圆O相交所得△AOB是直角三角形，可知∠AOB＝90°，所以圆心O到直线的距离为122，所以a＝122a＋b
12－2b≥0，即－2≤b≤2.设圆M的半径为r，则r＝|PM|＝a＋?b－1?＝122－2b＋2＝又－2≤b2，所以2＋22－b)，
1≥|PM|≥2－1，所以圆M的面积的最小值为(3－22)π.
答案：(3－22)π
三、解答题
10．已知△ABC的顶点坐标分别为A(－1,5)，B(－2，－1)，C(4,3)，M是BC的中点．
(1)求AB边所在直线的方程．
(2)求以线段AM为直径的圆的方程．
解：(1)因为A(－1,5)，B(－2，－1)，所以由两点式得AB的方程y－5x－?－1?为y＝6x＋11. －1－5－2－?－1?
?－2＋4－1＋3?，即M(1,1)，(2)因为M是BC的中点，所以M?，2??2
所以|AM|?－1－1?＋?5－1?＝25， 所以圆的半径为5.
?－1＋15＋1?所以AM的中点为?，2?，即中点为(0,3)， ?2?
所以以线段AM为直径的圆的方程为x2＋(y－3)2＝5.
11．在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－3y＝4相切．
(1)求圆O的方程；
(2)圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P使|PA|，|PO|，|PB|
→→的取值范围． 成等比数列，求PA·PB
解：(1)依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x3y＝4的
|－4|距离，即r＝2，所以圆O的方程为x2＋y2＝4. 1＋3
(2)由(1)知A(－2,0)，B(2,0)．
设P(x，y)，则由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列得，
?x＋2?＋y?x－2?＋y＝x2＋y2，即x2－y2＝2.
→→＝(－2－x，－y)·PA·PB(2－x，－y)
＝x2－4＋y2＝2(y2－1)，
22??x＋y<4，由于点P在圆O内，故?22 ??x－y＝2，
→→的取值范围为[－2,0)．
由此得y2<1，所以PA·PB
1．已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B为切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为( )
A．4 B．3 C．2 2
解析：圆C的方程可化为x2＋(y－1)2＝1，因为四边形PACB的最小面积是2，且此时切线长为2，故圆心(0,1)到直线kx＋y＋4＝0的距5离为5，即5，解得k＝±2，又k>0，所以k＝2. 1＋k答案：C
2．已知直线l：x＋y－6＝0和⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，点A在直线l上，若直线AC与⊙M至少有一个公共点C，且∠MAC＝30°，则点A的横坐标的取值范围是( )
A．(0,5)
C．[1,3]
解析： B．[1,5] D．(0,3]
如图所示，设点A的坐标为(x0,6－x0)，圆心M到直线AC的距离
为d，则d＝|AM|sin30°.因为直线AC与⊙M有交点，所以d＝|AM|sin30°≤2?(x0－1)2＋(5－x0)2≤16?1≤x0≤5.
答案：B
3．(2014·湖北卷)已知圆O：x2＋y2＝1和点A(－2,0)，若定点B(b,0)(b≠－2)和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，则
(1)b＝________；
(2)λ＝________.
解析：因为对圆O上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，所以可取圆
??|b＋1|＝λ，上点(－1,0)，(1,0)，满足?解得b＝ ?|b－1|＝3λ，?
11111－2b＝－2(舍去)，b＝－2，λ＝2(1)－2(2)211答案：(1)－2(2)2
4．在以O为原点的直角坐标系中，点A(4，－3)为△OAB的直角顶点，已知|AB|＝2|OA|，且点B的纵坐标大于0.
→的坐标； (1)求AB
(2)求圆x2－6x＋y2＋2y＝0关于直线OB对称的圆的方程．
→＝(x，y)，由|AB|＝2|OA|，AB→·→＝0， 解：(1)设ABOA
22????x＋y＝100，?x＝6，?x＝－6，得?解得?或? ???4x－3y＝0，y＝8y＝－8.???
→＝(－6，－8)，则y＝－11与y>0矛盾． 若ABBB
??x＝－6，→＝(6,8)． 所以?舍去．即AB??y＝－8
(2)圆x2－6x＋y2＋2y＝0，即(x－3)2＋(y＋1)2＝10)2，其圆心为
C(3，－1)，半径r＝10，
→＝OA→＋AB→＝(4，－3)＋(6,8)＝(10,5)， ∵OB
1∴直线OB的方程为y＝2.
1设圆心C(3，－1)关于直线y＝2x的对称点的坐标为(a，b)，则
??b－11a＋3?2＝22b＋1＝－2，a－3 ??a＝1，解得? ??b＝3，
∴所求的圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10.
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