课时作业54 抛物线
一、选择题
2y1．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－31的渐近线的距离是
()
1A.2C．1
23B.2 D.3 2y2
解析：抛物线y＝4x的焦点F(1,0)，双曲线x－31的渐近线方程是y＝3x，即3x±y＝0，故所求距离为
B.
答案：B
2．(2014·辽宁卷)已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()
4A．－3
3C．－4 B．－1 1D．－23±0|3＝.选222?3?＋?±1?
p解析：准线方程为x＝－22，则p＝4，焦点为(2,0)，则直线
3－03AF的斜率kAF＝＝－4. －2－2
答案：C
3．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，
5y0)是C上一点，|AF|＝40，则x0＝( )
A．1
C．4 B．2 D．8
15解析：由题可知准线方程为x＝－4|AF|4x0＝
1x0＋4x0＝1，选A.
答案：A
4．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝( ) 30A.3
C．12 B．6 D．73
333解析：由题知F(40)，则直线的方程为y＝3x－4，代入抛物13221921212线方程得3x－4＝3x，即x－2x＋160，则xA＋xB＝2∴|AB|＝23＋212.
答案：C
5．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A、B、C为抛物线上三点，若
→→|＋|FC→|的值为( ) F为△ABC的重心，则|FA|＋|FB
A．1
C．3 B．2 D．4
解析：设A、B、C三点的横坐标分别为x1，x2，x3，由抛物线的
p1→1→1→定义|FA|＝x1＋2＝x1＋2|FB|＝x2＋2|FC|＝x3＋2F为△ABC的
p3→→|＋|FC→|＝x＋x＋x＋重心，所以x1＋x2＋x3＝322，从而|FA|＋|FB123
323.
答案：C
6．过抛物线y2＝4x焦点F的直线交其于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为( ) 2A.2
2C.2 2 D．22
p解析：设A(x1，y1)，由抛物线定义得AF＝x1＋2＝x1＋1＝3，∴
x1＝2代入抛物线方程得y1＝22，∴A2)．又直线AB过F(1,0)得kAB＝22，∴直线AB的方程为y＝22(x－1)与抛物线联立得2x2
1159－5x＋2＝0，解得x2＝2B(22)，|AB|＝x2＋x1＋p＝22＝22292212又O到直线AB的距离d＝3S△AOB＝2322.
答案：C
二、填空题
7．抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是________．
1解析：设M(x0，y0)，y＝－4x得x＝－4y，抛物线的焦点F(0，22
1115－16，由抛物线定义得－y0＋161，解得y0＝－1615答案：－16
8．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程是________．
解析：作BB′⊥l，AA′⊥l，由抛物线定义得AF＝AA′＝3，BF＝BB′，由BC＝2BF＝2BB′得∠BCB′＝30°，作FM⊥AA′于
33M，则∠AFM＝∠BCB′＝30°，AF＝3，则AM＝2A′M＝2p，
∴抛物线方程为y2＝3x.
答案：y2＝3x
22xy9．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线331相
交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝
________.
3解析：如图，在等边三角形ABF中，DF＝p，BD＝3p，∴B点
?3p?坐标为?，－. 2??3
12p2
3p4又点B在双曲线上，故331.解得p＝6.
答案：6
三、解答题
10．设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点．
(1)设l的斜率为1，求|AB|的大小；
→·→是一个定值． (2)求证：OAOB
解：(1)∵由题意可知抛物线的焦点F为(1,0)，准线方程为x＝－1，∴直线l的方程为y＝x－1，
??y＝x－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由?2 ??y＝4x
得x2－6x＋1＝0，∴x1＋x2＝6，
由直线l过焦点，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝8.
(2)证明：设直线l的方程为x＝ky＋1，
??x＝ky＋1，由?2得y2－4ky－4＝0. ??y＝4x
→＝(x，y)，OB→＝(x，y)． ∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，OA1122
→·→＝xx＋yy＝(ky＋1)(ky＋1)＋yy ∵OAOB12121212
＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2
＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3.
→·→是一个定值．
∴OAOB
11．如图，已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，焦点为F，过点G(p,0)作直线l交抛物线C于A，M两点，设A(x1，y1)，M(x2，y2)．
(1)若y1y2＝－8，求抛物线C的方程；
(2)若直线AF与x轴不垂直，直线AF交抛物线C于另一点B，直线BG交抛物线C于另一点N.求证：直线AB与直线MN斜率之比为定值．
解：(1)设直线AM的方程为x＝my＋p，代入y2＝2px得y2－2mpy－2p2＝0，
则y1y2＝－2p2＝－8，得p＝2.
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)设B(x3，y3)，N(x4，y4)．
由(1)可知y3y4＝－2p2，y1y3＝－p2.
y3－y12p又直线AB的斜率kAB＝ x3－x1y1＋y3
y4－y22p直线MN的斜率kMN＝＝， x4－x2y2＋y4
－2p2－2p2－2p2
y1y3y1y3?y1＋y3?ky2＋y4∴k＝
2. y1＋y3y1＋y3y1＋y3MN
1．已知直线l1：4x－3y＋11＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A．1
C．3 B．2 D．4
解析：因为x＝－1恰为抛物线y2＝4x的准线，所以可画图观察．如图，连接PF.d2＝|PF|，
∴d1＋d2＝d1＋|PF|≥|FQ|＝
答案：C
2．(2014·辽宁卷)已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( )
1A.2
3C.4 2B.34D.3|4×1－3×0＋11|15＝5＝3. 4＋?－3?
解析：依题意得准线为x＝－2，从而y2＝8x，F(2,0)，设直线AB
??y－3＝k?x＋2?为y－3＝k(x＋2)，由题意，?2联立Δ＝0，又因交点在?y＝8x?
8－01第一象限所以k>0，解得k＝2所以B(8,8)则直线BF的斜率为8－2
4
3D.
答案：D
3．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________．
解析：
方法1：如图，以(0，a)a为半径作圆，当圆与抛物线有三个或四个交点时，C存在．
联立y＝x2，x2＋(y－a)2＝a有(y－a)(y－a＋1)＝0.
即y＝a或y＝a－1.
故a－1≥0，即a≥1.
方法2：当C与原点重合时，∠ACB最小．
π故若存在C使得∠ACB为直角，则∠AOB≤2，
→·→≥0，故a2－a≥0， 即OAOB
又a>0，所以a≥1.
答案：[1，＋∞
)
4．(2014·安徽卷)如右图，已知两条抛物线E1：y2＝2p1x(p1>0)和E2：y2＝2p2x(p2>0)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点．
(1)证明：A1B1∥A2B2；
(2)过原点O作直线l(异于l1，l2)与E1，E2分别交于C1，C2两点．记
S△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求S 2
解：(1)证明：设直线l1，l2的方程分别为y＝k1x，y＝k2x(k1，k2≠0)，则
??y＝k1x，?2p2p?由?2得A1?k，k， ?11???y＝2p1x，
??y＝k1x，?2p2p??由2得A2?k，k. ?11???y＝2p2x，
?2p2p??2p2p???，，k. 同理可得B1kk2?，B2?k?222?
?2p2p2p2p??1111??，所以A→B＝＝2p111?k－kkk， kkkk?2121 ??2121??2p2p2p2p??1111??，－A→B＝＝2p222?k－kkk， kkkk?2121??2121?p→→故A1B1＝p2B2，所以A1B1∥A2B2. 2
(2)由(1)知A1B1∥A2B2，同理可得B1C1∥B2C2，C1A1∥C2A2.所以△A1B1C1∽△A2B2C2.
→?|AB|?S因此S? 2. 2?|A→2B2|?
p→|A→pB|→又由(1)中的A1B1＝pA2B2知＝p 22→|A2B2|
Sp2故Sp22
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