课时作业55 圆锥曲线中的热点内容
?6?1．已知椭圆C过点M?1，，点F(2，0)是椭圆的左焦点，2??
点P，Q是椭圆C上的两个动点，且|PF|，|MF|，|QF|成等差数列．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A.
x2y2
解：(1)设椭圆C的方程为a＋b＝1(a>b>0)，由已知，得???a－b＝2，22614ab1， 2??a＝4，解得?2 ?b＝2，?
x2y2
∴椭圆的标准方程为4＋2＝1.
x2y2
(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由椭圆的标准方程为421，可知|PF|＝?x1＋2?2＋y21＝x?x1＋2?＋2－22
22＝2＋2x1，同理|QF|＝2＋2x2，
|MF|＝?6?22?1＋2?＋?＝2＋2， ?2?2∵2|MF|＝|PF|＋|QF|，
?22?∴2?2＋?＝4＋2(x1＋x2)，∴x1＋x2＝2. 2??
22??x1＋2y1＝4，(ⅰ)当x1≠x2时，由?2 2??x2＋2y2＝4.
222得x21－x2＋2(y1－y2)＝0，
y1－y21x1＋x2∴2. x1－x2y1＋y2
y1－y21设线段PQ的中点为N(1，n)，由kPQ＝2n x1－x2
得线段PQ的中垂线方程为y－n＝2n(x－1)，
?1?∴(2x－1)n－y＝0，该直线恒过一定点A?20?. ??
???6?6?6?(ⅱ)当x1＝x2时，P?1，－，Q?1?或P?1，， 2?2?2????
?6?Q?1， 2??
?1?线段PQ的中垂线是x轴，也过点A?2，0?. ??
?1?综上，线段PQ的中垂线过定点A?2，0?. ??
x2y222a＋b＝1(a>b>0)的离心率为2，且过点(22)．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，
b2
若kAC·kBD＝－a求证：四边形ABCD的面积为定值．
c242解：(1)由题意ea2ab＝1，又a2＝b2＋c2，解得a2＝8，22xyb2＝4，故椭圆的标准方程为84＝1.
(2)证明：设直线AB的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，??y＝kx＋m，222联立?2得(1＋2k)x＋4kmx＋2m－8＝0， 2??x＋2y＝8.
Δ＝(4km)2－4(1＋2k2)(2m2－8)＝8(8k2－m2＋4)>0，①
??由根与系数的关系得?2m－8xx＝.??1＋2k212－4kmx1＋x2＝，1＋2k
b21yy1∵kAC·kBD＝－a2xx＝－2 12
2m2－4112m－8∴y1y2＝－2x1x2＝－2＝－1＋2k1＋2k又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2
2－4kmm2－8k2
22m－82＝k＋＋m＝ 1＋2k1＋2k1＋2km2－4m2－8k2
222∴－2＝2，∴－(m－4)＝m－8k， 1＋2k1＋2k∴4k2＋2＝m2.
设原点到直线AB的距离为d，则
11|m|S△AOB＝2|AB|·d＝1＋k·|x2－x1 1＋k|m|＝2?x1＋x2?－4x1x2 |m|＝2?－4km?22m2－8|m|?－4×221＋2k1＋2k??8m ?1＋2k2?2＝22，
∴S四边形ABCD＝4S△AOB＝82，
即四边形ABCD的面积为定值．
3．在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点(－3，0)，(3，0)的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线l过点E(－1，0)且与曲线C交于A，B两点．
(1)求曲线C的轨迹方程；
(2)△AOB的面积是否存在最大值，若存在，求出△AOB的面积的最大值；若不存在，说明理由．
解：(1)由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(－3，0)，(3，0)为焦点，长半轴长为2的椭圆．
x22故曲线C4y＝1.
(2)△AOB的面积存在最大值．
因为直线l过点E(－1,0)，所以可设直线l的方程为x＝my－1或
2x?＋y2＝1，y＝0(舍)．由?4 ?x＝my－1.
整理得(m2＋4)y2－2my－3＝0，Δ＝(2m)2＋12(m2＋4)>0.
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中y1>y2.
m＋2m＋3m－2m＋3解得y1＝，y2＝m＋4m＋4
4m＋3则|y2－y1|＝2. m＋4
2m＋31因为S△AOB＝2OE|·|y1－y2|＝ m＋4
＝1m＋3＋m＋32
11设t＝m＋3，t≥3，g(t)＝t＋t，则g′(t)＝1－t，故当t≥3时，g′(t)>0恒成立，则g(t)在区间[3，＋∞)上为增函数，所以
3g(t)≥g3)＝3.
3所以S△AOB2，当且仅当m＝0时取等号．
3所以S△AOB
2.
x2y2
1．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知点A(0，－2)，椭圆E：a＋b3231(a>b>0)的离心率为2，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为3O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
23解：(1)设F(c,0)c＝3，得c＝3.
c3又a2a＝2，b2＝a2－c2＝1. x22故E的方程为4y＝1.
(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
x22将y＝kx－2代入4y＝1得
(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.
8k±4k－3322当Δ＝16(4k－3)>0，即k>4时，x1,2＝. 4k＋1
4k＋4k－3从而|PQ|＝k＋1|x1－x2|. 4k2＋1
2又点O到直线PQ的距离d.所以△OPQ的面积 k＋1
4k－31S△OPQ＝2·|PQ|＝4k＋1
4t4设4k－3＝t，则t>0，S△OPQ＝4. t＋4t＋t
47因为t＋t4，当且仅当t＝2，即k＝2时等号成立，且满足Δ>0.
所以，当△OPQ的面积最大时，l的方程为
77y＝2－2或y＝－2－2.
x2y222a＋b＝1(a>b>0)经过点M6，1)，离心率为2(1)求椭圆的标准方程．
→→(2)已知点P6，0)，若A，B为已知椭圆上两动点，且满足PA·PB
＝－2，试问直线AB是否恒过定点？若恒过定点，请给出证明，并求出该定点的坐标；若不过，请说明理由．
c解：(1)a＝2，①
61因为椭圆经过点M6，1)a＋b＝1.②
又a2＝b2＋c2，③
由①②③，解得a2＝8，b2＝c2＝4.
x2y2所以椭圆方程为841.
(2)①当直线AB与x轴不垂直时，设直线的方程为y＝kx＋m，代x2y2入841，消去y整理得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－8＝0.
由Δ>0，得8k2＋4－m2>0，(*)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
2m2－84kmx1＋x2＝－x1x2＝2k＋12k＋1
→→＝(x6)(x－6)＋yy 所以PA·PB1212
＝(x1－6)(x2－6)＋(kx1＋m)(kx2＋m)
＝(k2＋1)x1x2＋(km－6)(x1＋x2)＋6＋m2＝－2，
得(k2＋1)x1x2＋(km－6)(x1＋x2)＋8＋m2＝0，
22m－8－4km2(k＋(km－8＋m2＝0， 2k＋12k＋1
6整理得(3m＋2k)＝0，从而m＝－3k，且满足(*)， 2
?26?，故直线AB经过定点所以直线AB的方程为y＝k?x－3??
?26??0?. 3??
26②当直线AB与x轴垂直时，若直线为x＝3A，B的
?2626??626?→→＝－2. ???，亦有P坐标分别为，A·PB，－3??33??3
?6?综上，直线AB经过定点?，0?. 3??
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