普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学模拟测试 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷以及答题卡和答题纸一并交回。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在试卷和答题纸规定的地方。
第Ⅰ卷（共50分）
注意事项：
每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其他答案标号。不能直接写在本试卷上
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若复数满足(3?4i)?z?|4?3i|，i是虚数单位，则z的虚部为（）
44C.4D. ? 55
12. 设集合P?{x||x?1|?3}，Q?{y|y?()x,x?(?2,1)}，则P?Q?（ ） 3
1111A. (?4,)B. (,2] C. (,2]D. (,2) 9933A.?4B.
3．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学共有学生2000名，
抽取了一个容量为200的样本，样本中男生103人，则该中学共有女生（）
A．1030人 B．97人C．950人 D．970人
4.
函数f(x)?） 1111A. (,??)B. (,2)?(2,??) C. [,2)?(2,??)D. [,??) 3333
15. “a?1”是“对任意的正数x，x??a恒成立”的（ ） x
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
?2x?y?0??6. 已知变量x,y满足：
?x?2y?3?0,则z?
???x?0
2x?y的最大值为（）
B.C.2D.4
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?x?7. 已知f(x)?cos(?),?(?0)的图象与y?1的图象的两相邻交点间的距离为?，要得到3
y?f(x)的图象，只须把y?sin?x的图象（ ）
A. 向左平移5
12?个单位B. 向右平移5
12?个单位
C. 向左平移1111
12?个单位D. 向右平移12?个单位
6
8. 已知???x?1?2a
ax??展开式的常数项是540，则由曲线y?x和y?x围成的封闭图形的面积为（
A. 5
12B. 5
3C. 1 D. 13
12
9. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）
A．160
3 B．160
C．64?322 D．88?82
10.过双曲线C:x2?y2
b2?1(b?1)的左顶点P作斜率为1的直线l，
若直线l与双曲线的两条渐近线分别相交于点Q,R，且???OP??OR????O?Q2????，则双曲线的离心率为（
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11. 已知随机变量?服从正态分布N?0,?2?，
若P???2??0.023，则P??2???2?? .
12.执行如右图所示的程序框图，
若m?4，则输出的结果为 .
13.在?ABC中，已知A,B,C分别为边a,b,c所对的角，已知 ???CA?????CB??2，a?b?ab， 高考提分，学霸之路
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））
其面积S?c? ．
214.在三棱柱ABC?A1B1C1中，侧棱AA1?平面AB1C1，AA1?1，底面△ABC是边长为的
正三角形，则此三棱柱的体积为 .
15. 符号[x]表示不超过x的最大整数，如[?]?3，[?1.08]??2，定义函数f(x)?x?[x]． 给出下列五个命题：
① 函数f(x)的定义域是R，值域为[0,1]；② 方程f(x)?1有无数个解； 2
③ 函数f(x)是周期函数； ④ 函数f(x)是增函数．
⑤ 函数F(x)?f(x)?1x?1有3个零点 2
其中正确命题的序号有．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分） 已知函数f(x)?cos2?x??
?1π?g(x)?1?sin2x． ，?212?（I）设x?x0是函数y?f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值．
（II）求函数h(x)?f(x)?g(x)的单调递增区间．
17.（本小题满分12分）
甲、乙两名篮球运动员，各自的投篮命中率分别为0.5与0.8，如果每人投篮两次．
（I）求甲比乙少投进一次的概率．
（II）若投进一个球得2分，未投进得0分，求两人得分之和?的分布列及数学期望E?．
18. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，?ADC?90?，
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平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱
PC上的点，PA?PD?2， BC?1AD?
1，CD? 2
（I）求证：平面MQB⊥平面PAD．
?（II）若二面角M?BQ?C大小为60 ，求QM的长．
19.（本小题满分12分）
已知数列{an}的前n项和Sn?n2?2n，
正项等比数列{bn}满足：b1?a1?1，且b4?2b2?b3.
（I）求数列{an}和{bn}的通项公式．
（II）若数列{cn}满足：cn?
20．（本小题满分13分）
设 f(x)?px?an3，其前n项和为Tn，证明：?Tn?5. 2bnqp?2lnx，且f(e)?qe??2（e为自然对数的底数） xe
(I) 求p与q的关系．
(II)若f(x)在其定义域内为单调函数，求p的取值范围．
(III)设g(x)?2e ，若在[1,e]上至少存在一点xo，使得f(xo)?g(xo)成立, x
求实数p的取值范围.
21．（本题满分14分） x2y21已知椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率为，长轴A1A2,短轴B1B2, 2ab
四边形A1B1A2B
2的面积为．
(I) 求椭圆的标准方程．
(II) 过椭圆的右焦点F的直线l交椭圆于P、Q,直线A1P与A2Q交于M, AQ1与A2P交于N． (i) 证明：MN?x轴，并求直线MN的方程．
（ii）证明：以MN为直径的圆过右焦点F．
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理科数学参考答案
一．选择题 题号 1 答案 B 二．填空题
2 C
3 D
4 C
5 A
6 D
7 A
8 A
9 C
10 B
②③⑤ 二．解答题
1π
[1?cos(2x?)]． (1分) 26
π
因为x?x0是函数y?f(x)图象的一条对称轴，所以2x0??kπ，
6
π
即2x0?kπ?（k?Z）． (3分)
611π
所以g(x0)?1?sin2x0?1?sin(kπ?)．
226
16．解：（I）由题设知f(x)?当k为偶数时，g(x0)?1?当k为奇数时，g(x0)?1?
113?π?
sin????1??，(5分) 2?6?441π15
sin?1??． (6分) 2644
（II）h(x)?f(x)?g(x)?
1?π??1?
1?cos2x??1?sin2x ???2?62???
?
?
?311??π??311π?3?
cos2x??sin2x??x?sin2x??sin2x??．(8分) ????????2??6?23?2?22??22?
πππ5ππ
≤2x?≤2kπ?，即kπ?≤x≤kπ?（k?Z）时， (10分) 2321212
当2kπ?
函数h(x)?
1?π?3
sin?2x???是增函数， 2?3?2
?
?
5ππ?
． (12分) ，kπ??（k?Z）
1212?
故函数h(x)的单增区间是?kπ?
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17. 解：（I）设“甲比乙少投进一次”为事件A，依题意可知它包含以下两个基本事件： ① 甲投进0次，乙投进1次，记为事件B，则有：
P(B)?0.52?C21?0.8?(1?0.8)?0.08；?(2分)
② 甲投进1次，乙投进2次，记为事件C，则有：
P(C)?C21?0.52?0.82?0.32；?(4分)
?P(A)?P(B)?P(C)?0.08?0.32?0.40?(5分)
答：甲比乙少投进一次的概率为0.40．?(6分)
（II）甲乙两人得分的分布列为：
概率分开写步骤
?E??0?0.01?2?0.10?4?0.33?6?0.40?8?0.16?5.2?(11分)
答：两人得分之和?的期望E?为5.2．?(12分)
18. 解答：（Ⅰ）∵AD // BC，BC=1AD，Q为AD的中点， 2
∴四边形BCDQ为平行四边形， ∴CD // BQ ． (2分)
∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BQ⊥平面PAD．∵BQ?平面MQB，
∴平面MQB⊥平面PAD．(4分)
（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点， ∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PQ⊥
平面ABCD． (5分)
如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．
则Q(0,0,0)，A
(1,0,0)，P
，B
，
C(?
?????????由
PM??PC??(?，且0???
1，得M(??)
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?????????所以QM?(????))
又QB?，
??1??∴ 平面MBQ
法向量为m?)． (8分) ?
?由题意知平面BQC的法向量为n?(0,0,1) (9分)
???1n?m1?∵二面角M-BQ-C为60°， ∴cos60?||?， ∴ ??． (10分) 2nm2
∴|QM
|?分) 219.解：（Ⅰ）∵Sn?n2?2n，当n?2,Sn?1?(n?1)?2(n?1)
则 an?Sn?Sn?1?2n?1，当n?1时，a1?3，适合上式，所以an?2n?1 (2分) 设正项等比数列{bn}的公比为q(q?0)
∵b4?2b2?b3，所以b2q?2b2?b2q，q?q?2?0，所以q?2,q??1（舍去） 22
b1?a1?1?3?1?2 所以bn?2?2n?1?2n (4分) （Ⅱ）∵cn?an2n?1?n bn2
1111Tn?3??5?2?7?3?……?(2n?1)?n 2222
11111Tn? 3?2?5?3?……?(2n?1)?n?(2n?1)?n?1 22222
22n?12n?5?5?两式相减得Tn?5?n?1? (8分) 22n2n
2n?52n?5?0T?5??5(9分) ∵，∴nnn22
2n?72n?52n?3?n?1?0，∴Tn?1?Tn 又∵Tn?1?Tn?5?n?1?5?n222
33∴Tn是一个增函数，所以Tn?T1? 综上 ?Tn?5 (12分) 22
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qp20. 解：(I) 由题意得 f (e) = pe－e－2ln e = qe－e－2
1而 e + e≠0∴ p = q ???? 2分 1? (p－q) (e + e) = 0
pp2px 2－2x + p(II) 由 (I) 知 f (x) = px－x －2ln x f’(x) = p + x x= ???? 3分 x令 h(x) = px 2－2x + p，要使 f (x) 在其定义域 (0,+?) 内为单调函数，
只需 h(x) 在 (0,+?) 内满足：h(x)≥0 或 h(x)≤0 恒成立. ????4分
2x① 当 p = 0时， h(x) = －2x，∵ x > 0，∴ h(x) < 0，∴ f’(x) = x < 0，
∴ f (x) 在 (0,+?) 内为单调递减，故 p = 0适合题意. ???? 5分
1② 当 p > 0时，h(x) = px 2－2x + p，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为 x = p ∈(0,+?)，∴h(x)min
11= p－p 只需 p－p≥1，即 p≥1 时 h(x)≥0，f’(x)≥0 ∴ f (x) 在 (0,+?) 内为单调递增， 故 p≥1适合题意. ???? 6分
1③ 当 p < 0时，h(x) = px 2－2x + p，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为 x = p ? (0,+?)
只需 h(0)≤0，即 p≤0时 h(x)≤0在 (0,+?) 恒成立.故 p < 0适合题意. ???? 7分 综上可得，p≥1或 p≤0 ???? 8分
另解：(II) pp212由 (I) 知 f (x) = px－x －2ln x f’(x) = p + xx = p (1 + x)x ??? 4分 要使 f (x) 在其定义域 (0,+?) 内为单调函数，
只需 f’(x) 在 (0,+?) 内满足：f’(x)≥0 或 f’(x)≤0 恒成立.
1222由 f’(x)≥0 ? p (1 + x)x≥0 ? p ? p≥(11 )max，x > 0
x + xx + x
∵ 2
1 ≤ 2
22 = 1，且 x = 1 时等号成立，故 (1)max = 1 ∴ 1x + xx· xp≥1 ??? 6分 x + x
122x2x由 f’(x)≤0 ? p (1 + x)x≤0 ? p≤ x + 1 ? p≤(x + 1 )min，x > 0
2x2x而 x + 1> 0 且 x → 0 时，x + 1→ 0，故 p≤0
综上可得，p≥1或 p≤0 ???? 8分 2e(III) ∵ g(x) = x在 [1,e] 上是减函数∴
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即 g(x) ? [2,2e] ???? 9分
① p≤0 时，由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 递减 ? f (x)max = f (1) = 0 < 2，不合题意。
1② 0 < p < 1 时，由x ? [1,e] ? x－x≥0∴ 11f (x) = p (x－x )－2ln x≤x－x－2ln x ?? 10分
右边为 f (x) 当 p = 1 时的表达式，故在 [1,e] 递增
111∴ f (x)≤xx－2ln x≤e－e －2ln e = e－e －2 < 2，不合题意。 ???? 11分
③ p≥1 时，由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 连续递增，f (1) = 0 < 2，又g(x) 在 [1,e] 上是减函数 ∴ 本命题 ? f (x)max > g(x)min = 2，x ? [1,e]
1 ? f (x)max = f (e) = p (e－e)－2ln e > 2 ? p > 4e ???? 12分 e－14e综上，p 的取值范围是 ( ,+?) ???? 13分 e－1
1b23b20、解（1
）?e?,?2?即
? 2a4aSA1B1A2B2?ab?------------------------------------2分
x2y2
?1---------------------4分 a?2,b?，椭圆方程为?43
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同理可得:xN?4, MN?x轴，直线MN的方程为x?4??????10分 (ii)M?4,?
?6y1??6y2??,N?4,? x1?2??x2?2?
36y1y236y1y2?9? x1?2x2?2my1?3my2?336??????????FM?FN?9??9
36y1y22?9?2?9??9m2?6mmy1y2?3my1?y2?9?3m?93m2?43m2?436?9??????13分 ?9??0222?9m?18m?27m?36
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FM?FN,以MN为直径的圆过定点F. ????????14分
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