第二章 函数、导数及其应用
课时作业4 函数及其表示
一、选择题
1．(2014·江西卷)函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为()
A．(0,1)
C．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．[0,1] D．(－∞，0]∪[1，＋∞) 解析：由题意可知x2－x>0，解得x<0或x>1.
故函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)．
答案：C
2??x＋1，x≤1，2．已知函数f(x)＝?x若f(f(1))＝4a，则实数a等于?2＋ax，x>1，?
()
1A.2
C．2 4B.3D．4
解析：∵f(1)＝2，∴f(f(1))＝f(2)＝4＋2a＝4a，解得a＝2.故选C. 答案：C
3?x?，0≤x<5，3．设函数f(x)＝?那么f(2 013)＝() ?f?x－5?，x≥5，?
A．27
C．3 B．9 D．1
解析：根据题意，当x≥5时，f(x)＝f(x－5)，
∴f(2 013)＝f(3)，而当0≤x<5时，f(x)＝x3，
∴f(3)＝33＝27，故选A.
答案：A
4．(2014·江西卷)已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)，若f(g(1))＝1，则a＝( )
A．1
C．3 B．2 D．－1
解析：由题意可知f(g(1))＝1＝50，得g(1)＝0，
则a－1＝0，即a＝1.故选A.
答案：A
5．若函数f(x)＝x＋ax＋1的定义域为R，则实数a的取值范围是( )
A．(－2,2)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D．[－2,2]
解析：由题意知，对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0恒成立，则Δ＝a2－4×1×1＝a2－4≤0，解得－2≤a≤2，故选D.
答案：D
2??x＋1，x>0，6．(2014·福建卷)已知函数f(x)＝?则下列结论正确?cosx，x≤0，?
的是( )
A．f(x)是偶函数
C．f(x)是周期函数 B．f(x)是增函数 D．f(x)的值域为[－1，＋∞) 解析：由题意，可得函数图象如下：
所以f(x)不是偶函数，不是增函数，不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．故选D.
答案：D
二、填空题
?1?7．设函数f(x)满足f(x)＝1＋f?2log2x，则f(2)＝________. ??
?1??1??1?11????解析：由已知得f2＝1－f2·log22，则f2＝2则f(x)＝1＋2log2x，??????
13故f(2)＝1＋2log22＝23答案：22??x＋2ax，x≥2，8．已知函数f(x)＝?x若f(f(1))>3a2，则a的取值??2＋1，x<2，
范围是________．
解析：由题知，f(1)＝2＋1＝3，f(f(1))＝f(3)＝32＋6a，若f(f(1))>3a2，则9＋6a>3a2，即a2－2a－3<0，解得－1<a<3.
答案：(－1,3)
9．已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[33]，则函数y＝f(x)的定义域是________．
解析：∵y＝f(x2－1)的定义域为[3，3]，
∴x∈[－33]，x2－1∈[－1,2]，
∴y＝f(x)的定义域为[－1,2]．
答案：[－1,2]
三、解答题
10．二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x)>2x＋5.
解：(1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
∵f(0)＝1，∴c＝1.
把f(x)的表达式代入f(x＋1)－f(x)＝2x，有
a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x.
∴2ax＋a＋b＝2x.∴a＝1，b＝－1.
∴f(x)＝x2－x＋1.
(2)由x2－x＋1>2x＋5，即x2－3x－4>0，
解得x>4或x<－1.
故原不等式解集为{x|x>4或x<－1}．
11．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米
(50≤x≤100，单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽
x????2车每小时耗油360?升，司机的工资是每小时14元． ?
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；
(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
130解：(1)行车所用时间为t＝x，
x2?14×130?130y＝x×2×?2＋360＋，x∈[50,100]． x??
所以，这次行车总费用y关于x的表达式是 2
2 34013y＝x18x，x∈[50,100]．
2 340132 34013(2)y＝x＋18x≥2610，当且仅当x18x，
即x＝10时，上述不等式中等号成立．
当x＝10时，这次行车的总费用最低，最低费用为10元．
1．(2014·浙江卷)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0<f(－1)＝f(－
2)＝f(－3)≤3，则( )
A．c≤3
C．6<c≤9 B．3<c≤6 D．c>9
解析：由f(－1)＝f(－2)＝f(－3)得
???－1＋a－b＋c＝－8＋4a－2b＋c，?a＝6，?解得? ???－1＋a－b＋c＝－27＋9a－3b＋c，?b＝11.
所以f(x)＝x3＋6x2＋11x＋c，由0<f(－1)≤3，得
0<－1＋6－11＋c≤3，即6<c≤9，故选C.
答案：C
2．(2014·四川卷)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈
2??－4x＋2，[－1,1)时，f(x)＝? ?x，? －1≤x<0，0≤x<1，
3则f(2＝________.
311解析：f(2＝f(－2＝－4×42＝1.
答案：1
2??x＋x，x<03．(2014·浙江卷)设函数f(x)＝?2若f(f(a))≤2，则实数?－x，x≥0?
a的取值范围是________．
??f?a?<0，解析：由题意?2 ?f?a?＋f?a?≤2，?
??f?a?≥0，或?2解得f(a)≥－2， ??－f?a?≤2，
???a<0，?a≥0，即?2或?解得a≤2. 2?a＋a≥－2，???－a≥－2，
答案：a2
4．规定[t]为不超过t的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对任意实数x，令f1(x)＝[4x]，g(x)＝4x－[4x]，进一步令f2(x)＝f1[g(x)]．
7(1)若x＝16，分别求f1(x)和f2(x)；
(2)若f1(x)＝1，f2(x)＝3同时满足，求x的取值范围．
77解：(1)∵x＝16时，4x＝4
?7?∴f1(x)＝?4＝1. ??
7?7?3∵g(x)4?4?4， ??
?3?∴f2(x)＝f1[g(x)]＝f1?4＝[3]＝3. ??
(2)∵f1(x)＝[4x]＝1，g(x)＝4x－1，
∴f2(x)＝f1(4x－1)＝[16x－4]＝3.
??1≤4x<2，71∴?∴16≤x<2??3≤16x－4<4，
?71?故x的取值范围为?16，2. ??
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