数列的概念与简单表示法
一、选择题
24681．数列3，57，910项是() 16A.17
20C.21 18B.19 22D.23
2n20解析：由已知得数列的通项公式an＝，∴a10＝21. 2n＋1
答案：C
2．数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5为()
A．－3
C．－5B．－11 D．19 解析：由an＋1＝an＋2－an，得an＋2＝an＋1＋an，又∵a1＝2，a2＝5，∴a3＝a1＋a2＝7，a4＝a3＋a2＝12，a5＝a4＋a3＝19，选D.
答案：D
n－13．数列{an}满足：a1＝1，且当n≥2时，an＝nan－1，则a5＝()
1A.5
C．51B.6D．6
n－1解析：因为a1＝1，且当n≥2时，an＝nan－1，
an－1则nan－1
aaaa43211所以a5＝a·a1＝54×32×1＝5.故选A. 4a3a2a1
答案：A
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5<ak<8，则k＝( )
A．9
C．7 B．8 D．6
???Sn?n＝1??－8?n＝1?，解析：由an＝?＝?得an＝2n－10.?Sn－Sn－1?n≥2????2n－10?n≥2?，
由5<2k－10<8得7.5<k<9，由于k∈N*，所以k＝8.
答案：B
5．已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＋Sn＋1＝an＋1(n∈N*)，则此数列是( )
A．递增数列
C．常数列
解析：∵Sn＋Sn＋1＝an＋1，
∴当n≥2时，Sn－1＋Sn＝an，
两式相减，得an＋an＋1＝an＋1－an，
∴an＝0(n≥2)．
当n＝1时，a1＋(a1＋a2)＝a2，∴a1＝0，
∴an＝0(n∈N*)．
答案：C
6．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，?为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差即a2 014－5＝( ) B．递减数列 D．摆动数列
A．2 020×2 012
C．1 010×2 012 B．2 020×2 013 D．1 010×2 013 解析：结合图形可知，该数列的第n项an＝2＋3＋4＋?＋(n＋
2)．所以a2 014－5＝4＋5＋?＋2 016＝1 010×2 013.
答案：D
二、填空题
n2
7．已知数列{，则0.98是它的第________项． n＋1
n249解析：＝0.98＝50，∴n＝7. n＋1
答案：7
8．数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N*，都有a1·a2·a3·?·an＝n2，则a3＋a5＝________.
解析：由题意知：a1·a2·a3·?·an－1＝(n－1)2，
n2∴an＝((n≥2)， n－1
325261∴a3＋a5＝(2＋(4＝16.
61答案：16
9．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，则a2 014的值为________．
解析：由an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，a1＝1，a2＝2，得a3＝2； 由a2＝2，a3＝2得a4＝1；
1由a3＝2，a4＝1得a5＝2
11由a4＝1，a5＝2得a6＝2；
11由a5＝2，a6＝2得a7＝1；
1a6＝2，a7＝1得a8＝2；
由此推理可得{an}是一个周期为6的数列，
所以a2 014＝a4＝1.
答案：1
三、解答题
10．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.
(1)这个数列的第4项是多少？
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
(3)该数列从第几项开始各项都是正数？
解：(1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.
(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，
解得n＝16或n＝－9(舍去)，
即150是这个数列的第16项．
(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍)．
∴从第7项起各项都是正数．
11．在数列{an}中，a1＝1，Sn为其前n项和，且an＋1＝2Sn＋n2－n＋1.
(1)设bn＝an＋1－an，求数列{bn}的前n项和Tn；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)∵an＋1＝2Sn＋n2－n＋1，
∴an＝2Sn－1＋(n－1)2－(n－1)＋1(n≥2)，
两式相减得，an＋1－an＝2an＋2n－2(n≥2)．
由已知可得a2＝3，
∴n＝1时上式也成立．
∴an＋1－3an＝2n－2(n∈N*)，an－3an－1＝2(n－1)－2(n≥2)． 两式相减，得(an＋1－an)－3(an－an－1)＝2(n≥2)．
∵bn＝an＋1－an，
∴bn－3bn－1＝2(n≥2)，bn＋1＝3(bn－1＋1)(n≥2)． ∵b1＋1＝3≠0，
∴{bn＋1}是以3为公比，3为首项的等比数列，
∴bn＋1＝3×3n－1＝3n，∴bn＝3n－1.
1n＋13∴Tn＝3＋3＋?＋3－n＝23－n－2. 12n
(2)由(1)知，an＋1－an＝3n－1，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋?＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1
＝3＋3＋3＋?＋3012n－11n－(n－1)＝2(3＋1)－n
.
1．已知函数y＝f(x)，数列{an}的通项公式是an＝f(n)(n∈N*)，那么“函数y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递增”是“数列{an}是递增数列”的( )
A．充分而不必要条件
C．充要条件 B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：若函数y＝f(x)在[1，＋∞)上递增，则数列{an}是递增数列
一定成立；反之不成立，现举反例说明：若数列{an}是递增数列，则函数在[1,2]上可以先减后增，只要在x＝1处的函数值比在x＝2处的函数值小即可．故“函数y＝f(x)在[1，
＋∞)上递增”是“数列{an}是递增数列”的充分不必要条件．选
A.
答案：A
a2．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则满足n2的正整数n
的集合为( )
A．{1,2}
C．{1,2,3} B．{1,2,3,4} D．{1,2,4}
解析：因为Sn＝2an－1，所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，两式相减得an＝2an－2an－1，整理得an＝2an－1，所以{an}是公比为2的等比数列，又因为a1＝2a1－1，解得a1＝1，故{an}的通项公式为an＝2n－1a.而n≤2，即2n－1≤2n，所以有n＝1,2,3,4.
答案：B
3．已知数列{an}满足an＋?aan为偶数?，21＝??an－2n?an为奇数?. 若a3＝1，则a1的所有可能取值为________．
解析：当a2为奇数时，a3＝a2－4＝1，a2＝5；
1当a2为偶数时，a3＝2a2＝1，a2＝2；
当a1为奇数时，a2＝a1－2＝5，a1＝7
或a2＝a1－2＝2，a1＝4(舍去)；
1当a1为偶数时，a2＝2a1＝5，a1＝10
1或a2＝2a1＝2，a1＝4
综上，a1的可能取值为4,7,10. 答案：4,7,10
24．已知数列{an}满足前n项和Sn＝n＋1，数列{bn}满足bn＝，an＋12
且前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)判断数列{cn}的增减性．
解：(1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)．
2??3n＝1?，
∴bn＝?1??nn≥2?.
(2)∵cn＝bn＋1＋bn＋2＋?＋b2n＋1 ＝111＋?＋ n＋1n＋22n＋1
111∴cn＋1－cn＝＋， 2n＋22n＋3n＋1
∴{cn}是递减数列．
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